期权定价

期权定价理论介绍 期权的定义 期权是指在未来一定时期可以买卖的权力，是买方向卖方支付一定数量的金 额（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日 期（指欧式期权）以事先规定好的价格(指履约价格）向卖方购买（指看涨期权） 或出售（指看跌期权）一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖 出的义务。期权交易事实上就是这种权利的交易。买方有执行的权利也有不执 行的权利，完全可以灵活选择。 期权的类型 按期权的权利来划分，主要具有以下三种：看涨期权和看跌期权以及双向期 权。（1）看涨期权。所谓看涨期权，是指期权的买方享有在规定的有效期限内 按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同 时负有必须买进的义务。 （2）看跌期权。所谓看跌期权，是指期权的买方享有在规定的有效期限内按 某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时 负有必须卖出的义务。 （3）双向期权。所谓双向期权，是指期权的买方既享有在规定的有效期限内 按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，又享有 在商定的有效期限内按同一敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的 权利。 期权履约 期权的履约有以下三种情况 1.买卖双方都可以通过对冲的方式实施履约。 2.买方也可以将期权转换为期货合约的方式履约（在期权合约规定的敲定价 格水平获得一个相应的期货部位）。 3.任何期权到期不用，自动失效。如果期权是虚值，期权买方就不会行使期 权，直到到期任期权失效。这样，期权买方最多损失所交的权利金 期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能 从好的结果中获益。金融期权创立于 20 世纪 70 年代，并在 80 年代得到了广泛 的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。 因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。 而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black） 和斯科尔斯（Scholes）于 1971 年完成其论文，并于 1973 年发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 时，世界上第 一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973 年 4 月 26 日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。 布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。 期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为 B—S 定 价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴 舍利耶（Lowis Bachelier）于 1900 年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf，1969 年)、斯普里克尔（Sprekle，1961 年）、博内斯（Boness，1964 年）、萨缪尔 森（Samuelson，1965 年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完 全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的 B—S 定价理 论。 一、预备知识 （一）连续复利 我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍 生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分 必要的。 假设数额为 A的资金，以年利率 r 投资了 n年，如果利率按一年计一次算， 则该笔投资的终值为 nrA )1( + 。如果每年计 m次利息，则终值为： mn m rA )1( + 。 当 m趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利 的情况下，金额 A以利率 r投资 n年后，将达到： rnAe 。 对一笔以利率 r连续复利 n年的资金，其终值为现值乘以 rne ，而对一笔以 利率 r连续复利贴现 n年的资金，其现值为终值是乘上 rne− 。 在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为 S投资 股票，期望以复利 μ计息，经过 T时期后（T一般以年为单位），股票的期望价 格为： TT SeS μ= ，从而可得： S S T Tln1=μ 。也就是说，股票价格的期望收益 率为股票价格比的对数。 （二）股票价格的行为过程 众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划 股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变 化，则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测 值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程 为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。 1、基本的维纳过程 要理解遵循维纳过程的变量 z的行为，可以考虑在短时间间隔上变量 z值的 变化。设一个小的时间间隔长度为 tΔ ，定义 zΔ 为在 tΔ 时间内 z的变化。如果满 足： （1） tΔεzΔ = （6.1） 其中，ε 是服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布 )1,0(N 的一个随机变量； （2）对于任何两个不同的时间间隔 tΔ ， zΔ 的值相互独立。 则称变量 z 遵循基本维纳过程。 由（1）知， zΔ 也服从正态分布，且其均值为 0，方差为 tΔ ，标准差为 tΔ 。 由（2)知，z 遵循马尔科夫过程（无后效性）。 设 z 值在时间 T 后的增量为 )0()( zTz − ，这可以被看作在 N 个长度为 tΔ 的 小时间间隔后 z 的变化的总量。其中 t TN Δ= ，从而 i N i tzTz ε∑ = Δ=− 1 )0()( (6.2) 其中 ),,2,1( Nii ⋅⋅⋅=ε 是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而 )0()( zTz − 也服从正态分布，其均值为 0，方差为 )( tNT Δ⋅= ，标准差为 T 。 另外，6.1 式的极限形式可表示为： εdtdz = (6.3) ),0(~ dtNdz ，在连续时间下，dz的瞬间期望值为零，瞬间标准差为 dt 。 2、一般化的维纳过程 变量 x的一般化维纳过程定义如下： bdzadtdx += (6.4) 其中 ba, 为常数， dz为同 6.3 式的基本维纳过程。 adt项表示变量 x在单位时间内的漂移量，其期望值为a。 bdz项可被看作为增加到 x轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的b倍。 在缺省bdz项的情况下，方程变为： adtdx = 对其积分 adsdx tt ∫∫ = 00 ，可得： atxx += 0 其中 x0 为变量 x在零时刻的值。经过 t时间后，x增加的值为 at。 6.4 式的离散形式为： εtbtazbtax Δ+Δ=Δ+Δ=Δ (6.5) 从而， xΔ 具有正态分布，且 xΔ 的均值为 taΔ ，方差为 tb Δ2 ，标准差为 tb Δ 。 经过时间 T 后， x值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为 aT， 方差为 Tb2 ，标准差为 Tb 。 方程 6.4 给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望 值为 a，方差率（即单位时间的方差）的期望值为 2b 。如图 6.1 所示。 3、 oIt ˆ 过程（ oIt ˆ process 伊藤过程） oIt ˆ 过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为： dztxbdttxadx ),(),( += oIt ˆ 过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。 在 B—S 期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循 oIt ˆ 过程。 但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价 S 的变动可用瞬时期望漂移率为 Sμ ，瞬时方差率为 22Sσ 的 oIt ˆ 过程来表达。表示 为： SdzSdtdS σμ += (6.6) dzdt S dS σμ += (6.7) 这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的 方差率恒为 0 时： SdtdS μ= ，得： teSS ⋅= μ0 。其中， 0S 是零时刻的股价。 这说明了当方差率为 0 时，股价以单位时间为μ 的连续复利方式增长。 6.7 式的离散形式为： ttzt S S Δ+Δ=Δ+Δ=Δ σεμσμ (6.8) 例：考虑一种不付红利的股票，波动率为每年 30%，预期收益率以连续复 利计每年 15%，即 30.0,15.0 == σμ ，则股票价格的行为过程为： dzdt S dS 30.015.0 += 化为离散形式： tt S S Δ+Δ=Δ ε30.015.0 图7.1 一般化的维纳过程 时间t 变量x 方程 6.8 的左边是短时间 tΔ 后股票的收益比, tΔμ 项是这一收益的期望 值, tΔσε 项是收益的随机部分,其方差(也是整个收益的方差)为 tΔ2σ ,该方程表 明 S SΔ 服从均值为 tΔμ ,方差为 tΔ2σ 的正态分布。即： ),(~ ttN S S ΔΔΔ σμ 4、 oIt ˆ 定理和股票价格的对数正态分布 由前面的讨论知道，股价 S的运动遵循 oIt ˆ 过程： SdzSdtdS σμ += 如果变量 G是股价 S 和时间 t的函数，即 ),( tSGG = 由泰勒展开式，有： ⋅⋅⋅+Δ∂ ∂+ΔΔ∂∂ ∂+Δ∂ ∂+Δ∂ ∂+Δ∂ ∂=Δ 22 22 2 2 2 2 1 2 1 t t GtS tS GS S Gt t GS S GG (6.9) 由 6.8 式得， tStSzStSS Δ+Δ=Δ+Δ=Δ εσμσμ 因此， )(2222 totSS Δ+Δ=Δ εσ 由于ε 服从标准正态分布，所以 101)()()( 22 =−=−= εεε EDE 因此 tΔ2ε 的期望值为 tΔ ，其方差的阶数为 2tΔ （当 0→tΔ 时， 2tΔ 为 tΔ 的 高阶无穷小，收敛于零，方差为零，说明 tΔ2ε 不变化）。当 tΔ 趋于 0 时， tΔ2ε 变为非随机项，且等于该值对 tΔ 的期望值，所以 tS Δ222 εσ 就变成非随机项，且 当 tΔ 趋向于零时，其值等于 tS Δ22σ 。将上述结果代入 6.9 式，且令 SΔ 和 tΔ 趋 向于零，得其微分形式： Sdzσ S GdtSσ S G t GSμ S GdG ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ) 2 1( 222 2 (6.10) 这就是 oIt ˆ 定理。它表明 oIt ˆ 过程 S和时间 t的函数 G 也遵循 oIt ˆ 过程。 由于 G 是 S 的函数，因此 G 与 S 都受到同一个基本的不确定性来源的影响。 上式中，令 SG ln= ，得： dzdtdG σσμ +−= ) 2 ( 2 这表明 G 遵循恒定的漂移率为 2 2σμ − ，方差率为 2σ 的一般化维纳过程。由 前面的结果知，在当前时刻 t0 和将来某一时刻 t1 之间 G 的变化是正态分布， 均值为： T) 2 ( 2σμ − 方差为： T2σ 其中 T 为时间间隔 01 tt − 。 t0 时刻 G 的值为 0ln S ，t1 时刻 G的值为 TSln 。其中 ST是 T 时刻的股票价格， 因此在 T期间 G的变化为： 0lnln SST − 。 从而有： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− TTNSST σσμ ,)2(~lnln 2 0 （6.11） ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ TTSNST σσμ ,)2(ln~ln 2 0 ∫∫∫ +−= TTT dzσdtσμSd 00 2 0 ) 2 (ln )()0)( 2 (ln 0 2 0 ZZσTσμS T T −+−−= TT ZΔσT σ μSS +−=− ) 2 (lnln 2 0 （ TεZΔ tT = ） ])2/[( 0 2 TσεTσμ T teSS +−= 这表明，当 S 给定时， TS 服从对数正态分布，且有： ][)( )2/(0 2 tTT T eEeSSE εσσμ−= T TTT eS eeS μ σσμ 0 2/)2/( 0 22 = = − 2 0 ])2/[( 0 ][)( 2 TTT T eSeSESD t μσεσμ −= +− ]1[ 22 0 −= TT eeS σμ 另外，由 6.11 式得： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − TTN S ST σσμ ,) 2 (~ln 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − T N S S T T σσμ , 2 ~ln1 2 而我们又知道，时刻 t0与 t1 之间的连续复利年收益率为： S S T Tln1=η 从而有： ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 22 , 2 ~ T σσ μNη 也就是说，连续复利年收益率服从均值为： 2 2σμ − ，标准差为： T σ 的 正态分布。 说明：此处的μ 为无限短时间的预期收益率，而 ) 2 ( 2σμη −= 是指预期连 续复利收益率。 期权定价理论介绍（2） 二、B-S 微分方程的导出 （一）假设条件 B—S 微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的： 1．股价遵循预期收益率μ 和标准差σ 为常数的马尔科夫随机过程； 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率 r 为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。 （二）B—S 微分方程的建立 由前面的讨论可知，股价 S 遵循马尔科夫随机过程： SdzSdtdS σμ += 其离散形式为： zStSS Δ+Δ=Δ σμ (6.12) 又假设 f是依赖于 S的衍生证券的价格，则变量 f一定是 S和 t的某一函数。 由方程 9.3.12 可得： Sdz S fdtS S f t fS S fdf σσμ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ) 2 1( 222 2 (6.13) 其离散形式为： zS S ftS S f t fS S ff Δ∂ ∂+Δ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=Δ σσμ ) 2 1( 222 2 (6.14) 由于 f必定是 S与 t的函数，所以方程 6.12 与方程 6.14 遵循的维纳过程相 同，即 )( tz Δ=Δ ε 相同。所以我们可以选择该股票和衍生证券的组合来消除维 纳过程。 我们可以构造这样的投资组合： （1）卖出一份衍生证券 （2）买入 S f ∂ ∂ 份股票 则该证券组合的价值为： S S ff ∂ ∂+−=Π (6.15) tΔ 时间后，该证券组合的价值变化： S S ff Δ∂ ∂+Δ−=ΔΠ (6.16) 将方程 6.12 和 6.14 代入上式，得： zΔSσ S ftΔSσ S f t fSμ S f ΔΠ ∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−= ) 2 1( 222 2 )( zΔSσtΔSμ S f +∂ ∂+ tS S f t f Δ∂ ∂−∂ ∂−=ΔΠ ) 2 1( 222 2 σ (6.17) 因为这个方程不含有 zΔ ，经过 tΔ 时间后证券组合必定没有风险。因此，该 证券组合的瞬时收益率一定与其它短期无风险证券的收益率相同。否则，将存 在无风险的套利机会。所以： trΠΔ=ΔΠ (6.18) 其中 r 为无风险利率。 将方程 6.15 和 6.17 代入上式可得： tS S ffrtS S f t f Δ∂ ∂−=Δ∂ ∂+∂ ∂ )() 2 1( 222 2 σ 化简得： rf S fS S frS t f =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 2 2 22 2 1σ (6.19) 这就是著名的 B—S 微分方程。 对应于不同基础证券 S 定义的不同衍生证券，方程 6.19 有不同的解。解方 程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键 的边界条件为： )0,max( XSf T −= 对欧式看跌期权，边界条件为： )0,max( TSXf −= 一个非常重要的现象是，从方程 6.19 我们可以发现，它不包含投资者对股 票的预期收益μ ，从而它独立于风险偏好。因此，我们在对进行定价可以使用 任何一种风险偏好。我们可以提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风 险中性的，这样所有证券的预期收益率都是无风险利率 r，且其衍生证券的目前 价值可以用其期末价值的期望值以无风险利率 r 来贴现来得到。 期权定价理论介绍（3） 三、风险中性定价法导出 B-S 定价公式 根据风险中性定价理论，欧式看涨期权到期日的期望值为： [ ])0,max(ˆ XSE T − 其中 Eˆ表示风险中性定价下的期望值。 因此，欧式看涨期权的价格 C 是这个值以无风险利率 r 贴现的结果： [ ])0,max(ˆ)( XSEec TtTr −= −− (6.20) 由前面的讨论知道,股价的对数 TSln 服从正态分布。在风险中性的情况下， 可将μ 换成 r，即： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ TTrSNST σσ ,)2(ln~ln 2 0 (6.21) 记 TTrS σσσμ =−+= 1 2 01 ,)2 (ln ， 那么 ),(~ln 211 σμNST ，也就是 TS 服从对数正态分布。 假设 ),(~ 2σμNX ，求 Xe 的密度函数。 解：当 0>x 时有 dte σπ xXPxeP σ μt xX 2 2 2 )( ln 2 1}ln{}{ −− ∞−∫=≤=≤ 2 2 2 2 2 )(ln 2 )(ln 2 11 2 1)( σ μx σ μx X e σπxx e σπ ef −−−− == 当 0≤x 时有 0)( =Xef 设 TS 的概率密度为 )(yg Ts ，则 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ >= −− 0 0 0 2 1 )( 2 1 2 1 2 )(ln 1 y ye yyg y sT σ μ σπ [ ] ∫+∞ −=− X ST dyygXyXSE T )()()0,max(ˆ ∫ ∞+ −− −= X σ μy dye yσπ Xy 2 1 2 1 2 )(ln 12 1)( ∫∫ ∞+ −−∞+ −− −⋅= X σ μt X σ μtt dte σπ Xdte σπ ety ln 2 )( 1 ln 2 )( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 ln ，上式＝令 上式中，右边第一项 ∫∞ + +−− ⋅= X t dtee ln 22 )]([ 1 2 1 12 1 22 11 2 1 σμσ σμ σπ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−−= + 1 2 112 )(ln1 2 1 1 σ σμσμ XNe ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⋅= Tσ Tσr X S NeS rT )5.0()ln( 2 0 )( 1dNSe rT ⋅= 第二项 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= )ln(1 1 1 σ μXNX )ln( 1 1 σ μ−−⋅= XNX ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ⋅= Tσ Tσr X S NX )5.0()ln( 2 )( 2dNX ⋅= 其中： Tσ Tσr X S d )5.0()ln( 2 1 ++ = Tσd Tσ Tσr X S d −= −+ = 1 2 2 )5.0()ln( 所以， [ ])0,max(ˆ XSEec TrT −⋅= − [ ])()( 21 dXNdNSee rTrT −= − )()( 21 dNXedSN rT−−= (6.22) 根据欧式看涨期权 c 与看跌期权 p 之间的平价关系，有： SpXec rT +=+ − 因此，欧式看跌期权的价值为： ( ) ( )12 dNSdNXeXeXcp rTrT −⋅−−⋅=+−= −− (6.23) 例：一种还有六个月的有效期的期权，股票的现价为$42，期权的执行价格 为$40，无风险利率为每年 10%，波动率为 20%，即： 5.0,2.0,1.0,40,42 ===== TrXS σ 所以： 7693.0 5.02.0 5.0)2.05.01.0()40 42ln( 2 1 =⋅ ××++=d 6278.0 5.02.0 5.0)2.05.01.0()40 42ln( 2 2 =⋅ ××−+=d 049.3840 05.0 == −− eXe rT 又查表，得： 2651.0)6278.0( ,7349.0)6278.0( 2209.0)7693.0( ,7791.0)7693.0( =−= =−= NN NN 将上述数据代入公式计算，得： 76.4)()( 21 =⋅−⋅= − dNXedNSc rT 81.0)()( 12 =−⋅−−⋅= − dNSdNXep rT 注：波动率的计算 在 B—S 定价公式中，不能直接观察到的一个参数是股票价格的波动率，我 们一般从股价的历史数据来估计波动率。观察股价的时间间隔通常是固定的（例 如每天、每周或每月） 定义如下： 1+n 观察次数 Si： 第 i个时间间隔末的股票价格 τ ： 以年为单位的时间间隔的长度 令： ),,2,1( ln 1 ni S S u i i i ⋅⋅⋅== − 因为 iuii eSS 1−= ， iu 为第 i 个时间间隔后的连续复利收益（并不是以年为单 位） iu 的标准差 s 的通常估计值为： 2 11 2 1 2 )( )1( 1 1 1)( 1 1 ∑∑∑ === −−−=−−= n i i n i i n i i unn u n uu n s 其中，u是 iu 的均值。而由 6.11 式可知， iu 的标准差为 τσ ，因此变量 s 是 τσ 的估计值。从而 τ ss =∗ 可以作为σ 的估计值。 一般取交易日作为 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 ，以 n 取 90 天~180 天为宜。 Merton 期权定价公式 tΔSσ S f t f ΔΠ ) 2 1( 222 2 ∂ ∂−∂ ∂−= 在 tΔ 时间内，该组合价值的变动包括两项： 1. 股息的分布，分布额为 tΔS S fq )(∂ ∂ 。此处 S S f )(∂ ∂ 代表持股价值，q是每单位时 间 tΔ 的股息。 2. 该组合的资本利得或损失(capital gain or loss)为 tΔSσ S f t f ) 2 1( 222 2 ∂ ∂−∂ ∂− 在 tΔ 时间内，该组合价值的总变量 *ΔΠ 为 tΔS S fqtΔSσ S f t f ΔΠ )() 2 1( 222 2 * ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂−= tΔS S fqSσ S f t f ))( 2 1( 222 2 ∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂−= 因该组合在 tΔ 时间内是无风险组合，故其总变量应等于无风险报酬 tΠΔr ，所以 tΔS S ffrtΠΔrtΔS S fqSσ S f t f )())( 2 1( 222 2 ∂ ∂+−==∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂− 求解期权的偏微分方程为： rfSσ S fSqr S f t f =∂ ∂+−∂ ∂+∂ ∂ 22 2 2 2 1)( 求解欧式期权的偏微分方程为： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= =∂ ∂+−∂ ∂+∂ ∂ )0,max( 2 1)( 222 2 XSC rCSσ S CSqr S C t C TT )()()]0,[max( 2 ))( 1 )())(( dNXedNSeXSEeC tTrtTqT tTqr −−−−−−− −=−= tTσ tTσqr X S d − −+−+ = ))( 2 ()ln( 2 1 tTσ tTσqr X S Tσdd − −−−+ =−= ))( 2 ()ln( 2 12 直观方式求解：以 TSS , 分别代表在无股息分布下的现在股价及到期日股价，则 在连续分布股息下，到期日的股价应是 )( tTqTeS − （含权 )( tTqe − ）。于是如果要使 到期日股价为 TS ，则现在的不含权股价应是 )( tTqSe −− 在 B-S 公式中，将初始价格用 )( tTqSe −− 代入即可 )()( 2 ))( 1 )( dNXedNSeC tTrtTq −−−− −= tTσ tTσqr X S tTσ tTσr X Se d tTq − −+−+ =− −++ = −− ))( 2 ()ln())( 2 ()ln( 22)( 1 TS (不分布股息，不含权) t T S )( tTq TeS − （含权） S TS （不含权）)( tTqSe −− tTσ tTσqr X S tTσ tTσr X Se Tσdd tTq − −−−+ =− −−+ =−= −− ))( 2 ()ln())( 2 ()ln( 22)( 12