2010-2011广州高三第一次模拟理科数学试题word(附答案)

2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学理科2011.3 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， , 则 A． B． C． D． 2. 若复数 i i 是实数 i是虚数单位 ，则实数 的值为 　 A． B． C． D． 3. 已知向量 , ,且 ，则 的值为 A． B． C． D． 4. 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 在区间 上 A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入 , 则输出 的值为. A． B． C． D． 6. “ ” 是“ ”成立的 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A．96 B．114 C．128 D．136 图1 8. 如图2所示,已知正方体 的棱长为2, 长 为2的线段 的一个端点 在棱 上运动, 另一端点 在正方形 内运动, 则 的中点的轨迹的面积为 A． B． C． D． 图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间 上共有150户, 则月均用电 量在区间 上的居民共有 户. 10. 以抛物线 上的一点 为圆心作圆， 若该圆经过抛物线 的顶点和焦点 ，那么 该圆的方程为 . 11. 已知数列 是等差数列, 若 , 则该数列前11项的和为 . 12. △ 的三个内角 、 、 所对边的长分别为 、 、 ，已知 , 则 的值为 . 13. 某所学校 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 招聘男教师 名,女教师 名, 和 须满足约束条件 则该校招聘的教师最多是 名. （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图4, 是圆 的切线, 切点为 , 点 、 在圆 上， ，则圆 的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点 且与 极轴垂直的直线交曲线 于 、 两点，则 . 图4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（12分） 已知函数 ( R). (1)​ 当 取什么值时,函数 取得最大值,并求其最大值; (2)​ 若 为锐角，且 ，求 的值. 17.（12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为 元. 等级 一等品 二等品 三等品 次品 等级 一等品 二等品 三等品 次品 利润 (1) 求 的值； (2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率. 18.（14分）如图5，在三棱柱 中，侧棱 底面 , 为 的中点, .(1) 求证： 平面 ； (2) 若四棱锥 的体积为 , 求二面角 的正切值. 19.（14分） 已知直线 上有一个动点 ,过点 作直线 垂直于 轴,动点 在 上,且满足 ( 为坐标原点),记点 的轨迹为 . (1)​ 求曲线 的方程； (2)​ 若直线 是曲线 的一条切线, 当点 到直线 的距离最短时,求直线 的方程. 20.（14分） 已知函数 满足 ,对于任意 R都有 ,且 ,令 .（1）求函数 的表达式；（2）求函数 的单调区间；（3）研究函数 在区间 上的零点个数. 21.（14分） 已知函数 的定义域为R, 且对于任意 R,存在正实数 ,使得 都成立. (1)​ 若 ,求 的取值范围； (2)​ 当 时，数列 满足 ， . 1​ 证明： ； 2​ 令 ，证明： . 2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C B A B D 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题 5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 10. 11. 33 12. 13. 10 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: …… 1分 …… 2分 . …… 3分 ∴当 ,即 Z 时,函数 取得最大值,其值为 . …… 5分 (2)解法1:∵ , ∴ . …… 6分 ∴ . …… 7分 ∵ 为锐角，即 , ∴ . ∴ . …… 8分 ∴ . …… 9分 ∴ . …… 10分 ∴ . ∴ . ∴ 或 (不合题意,舍去) …… 11分 ∴ . …… 12分 解法2: ∵ , ∴ . ∴ . …… 7分 ∴ . …… 8分 ∵ 为锐角，即 , ∴ . …… 9分 ∴ . …… 10分 ∴ . …… 12分 解法3:∵ , ∴ . ∴ . …… 7分 ∵ 为锐角，即 , ∴ . ∴ . …… 8分 ∴ …… 9分 …… 10分 . …… 12分 17．（本小题满分12分） (本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：设1件产品的利润为随机变量 ，依题意得 的分布列为： …… 2分 ∴ ,即 . …… 3分 ∵ , 即 , …… 4分 解得 . ∴ . …… 6分 (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分 故所求的概率 C . …… 12分 18. （本小题满分14分） (本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接 ,设 与 相交于点 ,连接 , ∵ 四边形 是平行四边形, ∴点 为 的中点. ∵ 为 的中点， ∴ 为△ 的中位线, ∴ . …… 2分 ∵ 平面 , 平面 , ∴ 平面 . …… 4分 (2)解: 依题意知， ， ∵ 平面 , 平面 , ∴ 平面 平面 ，且平面 平面 . 作 ，垂足为 ，则 平面 ， ……6分 设 ， 在Rt△ 中， ， ， ∴四棱锥 的体积 . …… 8分 依题意得， ，即 . …… 9分 (以下求二面角 的正切值提供两种解法) 解法1:∵ , 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 取 的中点 ，连接 ，则 ,且 . ∴ 平面 . 作 ，垂足为 ，连接 ， 由于 ，且 ， ∴ 平面 . ∵ 平面 , ∴ . ∴ 为二面角 的平面角. …… 12分 由Rt△ ～Rt△ ,得 , 得 , 在Rt△ 中, . ∴二面角 的正切值为 . …… 14分 解法2: ∵ , 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 以点 为坐标原点,分别以 , , 所在直线为 轴, 轴和 轴,建立空间直角坐标系 . 则 , , , . ∴ , 设平面 的法向量为 , 由 及 ,得 令 ,得 . 故平面 的一个法向量为 , …… 11分 又平面 的一个法向量为 , ∴ , . …… 12分 ∴ , . …… 13分 ∴ , . ∴二面角 的正切值为 . …… 14分 19．（本小题满分14分） (本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)​ 解:设点 的坐标为 ,则点 的坐标为 . ∵ , ∴ . 当 时,得 ,化简得 . …… 2分 当 时, 、 、 三点共线，不符合题意，故 . ∴曲线 的方程为 . …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线 与曲线 相切,∴直线 的斜率存在. 设直线 的方程为 , …… 5分 由 得 . ∵ 直线 与曲线 相切, ∴ ,即 . …… 6分 点 到直线 的距离 …… 7分 …… 8分 …… 9分 . …… 10分 当且仅当 ，即 时，等号成立.此时 . ……12分 ∴直线 的方程为 或 . …… 14分 解法2：由 ，得 ， …… 5分 ∵直线 与曲线 相切, 设切点 的坐标为 ，其中 ， 则直线 的方程为： ，化简得 . …… 6分 点 到直线 的距离 …… 7分 …… 8分 …… 9分 . …… 10分 当且仅当 ，即 时，等号成立. ……12分 ∴直线 的方程为 或 . …… 14分 解法3：由 ，得 ， …… 5分 ∵直线 与曲线 相切, 设切点 的坐标为 ，其中 ， 则直线 的方程为： ，化简得 . …… 6分 点 到直线 的距离 …… 7分 …… 8分 …… 9分 . …… 10分 当且仅当 ，即 时，等号成立,此时 . ……12分 ∴直线 的方程为 或 . …… 14分 20．（本小题满分14分） (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解：∵ ，∴ . …… 1分 ∵对于任意 R都有 , ∴函数 的对称轴为 ，即 ，得 . …… 2分 又 ，即 对于任意 R都成立， ∴ ,且 ． 　　　　∵ ， ∴ ． 　　　　∴ ． …… 4分 (2) 解： …… 5分 ① 当 时，函数 的对称轴为 ， 若 ，即 ，函数 在 上单调递增； …… 6分 若 ，即 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． …… 7分 ② 当 时，函数 的对称轴为 ， 　则函数 在 上单调递增，在 上单调递减． …… 8分 综上所述，当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； …… 9分 当 时，函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ． …… 10分 (3)解：① 当 时，由(2)知函数 在区间 上单调递增， 　　　　　又 ， 　　　　　故函数 在区间 上只有一个零点． …… 11分 　　　　② 当 时，则 ，而 ， 　　　　 ， （ⅰ）若 ，由于 ， 且 ， 此时，函数 在区间 上只有一个零点； …… 12分 　　　　（ⅱ）若 ，由于 且 ，此时，函数 在区间 上有两个不同的零点． …… 13分 　　 　综上所述，当 时，函数 在区间 上只有一个零点； 　　　　　　　 　当 时，函数 在区间 上有两个不同的零点． …… 14分 21．（本小题满分14分） (本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)​ 证明：对任意 R，有 . …… 2分 由 ,即 . 当 时,得 . 且 ， ∴ . …… 4分 ∴要使 对任意 R都成立,只要 . 当 时, 恒成立. ∴ 的取值范围是 . …… 5分 (2) 证明：①∵ ， , 故当 时， . …… 6分 ∴ …… 7分 . …… 8分 ∵ , ∴ 当 时,不等式也成立 . …… 9分 ②∵ , ∴ . …… 11分 ∴ . ……14分