高考立体几何-三垂线定理

null立 体 几 何 三垂线定理 立 体 几 何 三垂线定理 木子德舟 提供null复习目标：三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。null 一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。 思考： （1）证明线线垂直的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，PB在平面PAB内，∴BC⊥PB null线线垂直的方法 ： （1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b （2）a∥b，m⊥b，则a⊥m （3）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。null三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直①线面垂直③ 线斜垂直直 线 和 平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直null线射垂直线斜垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理和其逆定理？null三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。定 理逆 定 理null二、定理内容阐述： 1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线。 顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直线垂直null“一面四线”的不同情况null三、巩固性练习： 1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形 （C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形DCnull四、例题分析： 例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理）， ∴∆PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理）， ∴∆PQR是直角三角形。 null小结：凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。null例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC ⊥BD。证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO⊥平面BCD于O，连结BO，∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理），同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC（三垂线定理）。 若AB ⊥平面BCD，垂线即是AB，由条件BC⊥AD，则BC⊥BD（三垂线逆定理），而BC是AC的射影， ∴BD⊥AC（三垂线定理）null小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要的。null例题3、如图示，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面，且BC=EC=2DB，求平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角。F解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF为二面角的棱，由已知DB、EC都垂直正三角ABC，∴ DB//EC，又BC=EC=2DB∴ FB=BC=AB，∴ ∆FAC为Rt ∆，且FA⊥AC，而EC ⊥平面ABC，∴ AF⊥AE（三垂线定理），于是∠EAC为平面ABC与平面ADE的平面角，又EC=AC，∴ ∠EAC= 45°，∴ 二面角的平面角为45°。 思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？（用 ）null小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角的方法有（1）定义法，（2）三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。(学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等.)null例题4、直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°，D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线AC的距离？解：过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥平面ABC，由三垂线定理知EF⊥AC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt ∆ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2， ∴BC= ，∵DF⊥AC， ∴ 在Rt ∆EDF中 为所求null小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、三计算”的步骤求解。方法规律：三垂线定理及其逆定理的应用： （1）证明两条异面直线垂直； （2）确定二面角的平面角； （3）确定点到直线的垂线段。运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。null能力拓展：1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°，∠BAC=30°，BC=1， ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。证明：连结AF， ∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF， ∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°， ∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三垂线定理知AE⊥DM null能力拓展：2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH，又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC，∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC，∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C，∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射影。 null1.直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM(1)(2)(3)null(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD证明:∵ABCD为正方形 O为BD的中点∴ AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BDnull(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵ PB=PC M是BC的中点PM ⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影null(3) 在正方体AC1中， 求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影证明：同理可证， A1C⊥B1D1由三垂线定理知 A1C⊥BC1 null√×面ABCD →面α 直线A1C →斜线 a 直线B1B →垂线 b××面ABCD →面α 面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b面ABCD →面α 直线A1C →斜线 a 直线B1B →垂线 bnull已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO分析： 要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥ACP ???证明：∵ PO ⊥ ∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵ PE=PF∴ OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立 3. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。null4. 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。O∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，null1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF， 则EF与GD所成的角的大小为（ ） (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°DM EB1是EC1在平面AB1 内的射影EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG练习与作业null2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。4.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面BC1D