null通信原理通信原理第2章 确知信号第2章 确知信号第2章 确知信号2.1 确知信号的类型
按照周期性区分:
周期信号:
T0-信号的周期, T0 > 0
非周期信号
按照能量区分:
能量信号:能量有限,
功率信号:
归一化功率:
平均功率P为有限正值:
能量信号的功率趋于0,功率信号的能量趋于 第2章 确知信号第2章 确知信号2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱(函数)的定义
式中,f0 = 1/T0,n为整数,- < n < +。
-双边谱,复振幅 (2.2 - 4)
|Cn| -振幅, n-相位第2章 确知信号第2章 确知信号周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号,由式(2.2-1)有
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系,即
Cn的模偶对称
Cn的相位奇对称第2章 确知信号第2章 确知信号将式(2.2-5)代入式(2.2-2),得到
式中
式(2.2-8)
表
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明:
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐波(n = 1, 2, 3, …)。
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
4. 频谱函数Cn又称为双边谱, |Cn|的值是单边谱的振幅之半。第2章 确知信号第2章 确知信号若s(t)是实偶信号,则 Cn为实函数。 因为
而
所以Cn为实函数。 第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
由式(2.2-1):第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。
由式(2.2-1) :
因为此信号不是偶函数,其频谱Cn是复函数。 第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
由式(2.2-1):
由于此波形为偶函数,故其频谱为实函数。 第2章 确知信号第2章 确知信号2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义:
能量信号s(t) 的傅里叶变换:
S(f)的逆傅里叶变换为原信号:
S(f)和Cn的主要区别:
S(f)是连续谱,Cn是离散谱;
S(f)的单位是V/Hz,而Cn的单位是V。
注意:在针对能量信号讨论问题时,也常把频谱密度简称为频谱。
实能量信号:负频谱和正频谱的模偶对称,相位奇对称,即复数共轭,因第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
设
它的傅里叶变换为
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数,在这里它等于(1/) Hz。- 单位门函数第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。
函数的定义:
函数的频谱密度:
函数的物理意义:
一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。
第2章 确知信号第2章 确知信号函数的性质1: 函数可以用抽样函数的极限表示:
因为,可以证明
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越
小、波形振荡的衰减越快,但积分等于1。
(见左图)
和下式比较:
(2.2-26)
可见
(2.2-28)
即抽样函数的极限就是函数。第2章 确知信号第2章 确知信号函数的性质2:单位冲激函数(t)的频谱密度第2章 确知信号第2章 确知信号函数的性质3:
(2.2-30)
【证】因为
物理意义:可以看作是用函数在 t = t0时刻对f(t)抽样。
由于单位冲激函数是偶函数,即有(t) = (-t),所以式(2.2-30)可以改写成:
(2.2-31)第2章 确知信号第2章 确知信号函数的性质4: 函数也可以看作是单位阶跃函数 的导数。
单位阶跃函数的定义:
即 u(t) = (t)
用函数可以表示功率信号的频谱密度,见下例。第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。
设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2f0t,则其频谱密度S(f)按式(2.2-21)计算,可以写为
参照式(2.2-28),上式可以改写为
引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。 第2章 确知信号第2章 确知信号2.2.3 能量信号的能量谱密度
定义:由巴塞伐尔(Parseval)定理
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。
式(2.2-37)可以改写为
(2.2-38)
式中 G(f) = |S(f)|2 -能量谱密度
由于信号s(t)是一个实函数,所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成
(2.2-40)第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度
在例2.4中,已经求出其频谱密度:
故由式(2.2-39)得出第2章 确知信号第2章 确知信号2.2.4 功率信号的功率谱密度
定义:首先将信号s(t)截短为sT(t),-T/2 < t < T/2
sT(t)是一个能量信号,可以用傅里叶变换求出其能量谱密度 |ST(t)|2,由巴塞伐尔定理有
(2.2-41)
将
定义为信号的功率谱密度P(f) ,即第2章 确知信号第2章 确知信号周期信号的功率谱密度:
令T 等于信号的周期T0 ,于是有
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
(2.2-46)
式中 |Cn|2 -第n次谐波的功率
利用函数可将上式表示为
(2.2-47)
式中
上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f),即
(2.2-48)第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。
该例中信号的频谱已经求出,它等于式(2.2-14):
所以由式(2.2-48):
得出
(2.2-50)第2章 确知信号第2章 确知信号2.3 确知信号的时域性质
2.3.1 能量信号的自相关函数
定义:
(2.3-1)
性质:
自相关函数R()和时间t 无关,只和时间差 有关。
当 = 0时,R(0)等于信号的能量:
(2.3-2)
R()是 的偶函数
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换: 第2章 确知信号第2章 确知信号2.3.2 功率信号的自相关函数
定义:
(2.3-10)
性质:
当 = 0时,自相关函数R(0)等于信号的平均功率:
(2.3-11)
功率信号的自相关函数也是偶函数。
周期性功率信号:
自相关函数定义:
(2.3-12)
R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系: 第2章 确知信号第2章 确知信号【例2.9】试求周期性信号s(t) = Acos(t+)的自相关函数。
【解】先求功率谱密度,然后对功率谱密度作傅里叶变换,即可求出其自相关函数。
求功率谱密度:结果为
求自相关函数:第2章 确知信号第2章 确知信号2.3.3 能量信号的互相关函数
定义:
性质:
R12()和时间 t 无关,只和时间差 有关。
R12()和两个信号相乘的前后次序有关:
【证】令x = t + ,则
互相关函数R12()和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换
互能量谱密度的定义为:第2章 确知信号第2章 确知信号2.3.4 功率信号的互相关函数
定义:
性质:
R12()和时间t 无关,只和时间差 有关。
R12()和两个信号相乘的前后次序有关: R21() = R12(-)
若两个周期性功率信号的周期相同,则其互相关函数的定义可以写为
式中 T0 -信号的周期
R12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系:
互功率谱定义:第2章 确知信号第2章 确知信号小结
能量信号、功率信号
确知信号再频域中的四种性质:频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度
确知信号在时域中的 特性:自相关函数、互相关函数