习题1 习题1 1-1 与 有无不同？ 和 有无不同？ 和 有无不同？其不同在哪里？试举例说明. 解：（1） 是位移的模， 是位矢的模的增量，即 ， ； （2） 是速度的模，即 . 只是速度在径向上的分量. ∵有 （式中 叫做单位矢），则 式中 就是速度径向上的分量， ∴ 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3) 表示加速度的模，即 ， 是加速度 在切向上的分量. ∵有 表轨道节线方向单位矢），所以 式中 就是加速度的切向分量. ( 的运算较复杂，超出教材
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，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为 ，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 ，然后根据 及 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 及 . 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 ， 故它们的模即为 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 其二，可能是将 误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 及速度 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为 x＝3t＋5， , 式中t以s计，x，y以m计.(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t＝1 s时刻和t＝2 s时刻的位置矢量，计算这1s内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4 s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量的表示式，计算t＝4 s时质点的速度；(5)计算 t＝0 s到t＝4 s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4 s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度和瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式). 解：（1） (2)将 , 代入上式即有 (3)∵ ∴ (4) 则 (5)∵ (6) 这说明该点只有 方向的加速度，且为恒量。 1-4 在离水面高h m的岸上.有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示.当人以 的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小. 题1-4图 解： 设人到船之间绳的长度为 ，此时绳与水面成 角，由图可知 将上式对时间 求导，得 题1-4图 根据速度的定义，并注意到 , 是随 减少的， ∴ 即 或 将 再对 求导，即得船的加速度 1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 ，a的单位为 ，x的单位为m.质点在x＝0处，速度为10 ，试求质点在任何坐标处的速度值. 解： ∵ 分离变量： 两边积分得 由题知， 时， ,∴ ∴ 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度a＝4＋3t .开始运动时，x＝5 m，v＝0，求该质点在t＝10 s时的速度和位置. 解：∵ 分离变量，得 积分，得 由题知， , ,∴ 故 又因为 分离变量， 积分得 由题知 , ,∴ 故 所以 时 1-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动，运动方程为 ，式中θ以rad计，t以s计，求：(1)t＝2 s时，质点的切向加速度和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？ 解： (1) 时， (2)当加速度方向与半径成 角时，有 即 亦即 则解得 于是角位移为 1-8 质点沿半径为R的圆周按 的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长， ，b都是常量.求：(1)t时刻质点的加速度；(2)t为何值时，加速度在数值上等于b. 解：（1） 则 加速度与半径的夹角为 (2)由题意应有 即 ∴当 时， 1-9 以初速度 抛出小球，抛出方向与水平面成α＝60°的夹角.求：(1)球轨道最高点的曲率半径 ；(2)落地处的曲率半径 . (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题1-9图所示． 题1-9图 (1)在最高点， 又∵ ∴ (2)在落地点， , 而 ∴ 1-10 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度 ，求t＝2 s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度. 解：当 时， 则 1-11 一船以速率 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何？在艇上看船的速度又为何？ 解：(1)大船看小艇，则有 ，依题意作速度矢量图如题1-11图(a) 题1-11图 由图可知 方向北偏西 (2)小船看大船，则有 ，依题意作出速度矢量图如题1-11图(b)，同上法，得 方向南偏东
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