函数与极限 1. 集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合 组成集合的事物叫做元素 设元素为a 集合为M 那么a M 包含于， 2. 设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说y是x的函数，记做y=f（x），y是因变量，x是自变量。（简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y） F（D）为值域 x D是定义域 函数的三要素：定义域 值域 对应法则 注意： 强烈建议只要写函数就写定义域 eg：求下列函数的自然定义域 (1) (2) (3) 3. 函数的特性 （1） 单调性：增函数 和 减函数 如果对于I 上任意两点 ，当 注意：增减性在解间断点时候有重要性 （下文解释） eg：设f（x）为定义在（-a，a）内的奇函数，若f（x）在（o，a）上单点增加，证明f（x）在（-a，0）上也单点增加 （2）有界性： 则称f（x）为有界函数 则函数在D上面有界 注意：上界大于等上界 下界小于等于最小值 千万不要搞错了 （3） 奇偶性：奇函数特性 注意：奇偶性的定义与一定是对称的 不对称就没有这个性质而言 （4） 周期性：正弦余弦就是明显的特点 f（x+T）=f（x） 注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函数周期大小的一半。 4. 反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反 但是奇和偶函数的反函数奇偶性质不变 。 复合函数的定于与要明确，增减为减 增增 减减为增 5. 数列的极限：如果给定的数列{ }，当变量n趋近于无穷大时，数列趋近于一个常数a，则称a是数列的极限 当然如果a不存在，说明这个函数是发散的 注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要 Eg：证明：当 6. 极限的性质：（1）唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的 假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗 （2）有界性： （3）保号性：若 7. 数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界 eg：证明 =1 8. 我主要讲讲极限的一些重要求的
方法
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： （1） 两个重要极限 （有兴趣可以证明） （2） 7个重要的等价无穷小 且都x 0 （1） （2） （3） （4） （6） （7） （3） 两个准则：夹逼 还有单调有界 （4） 有限个无穷小的乘积也是无穷小 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小 常数与无穷小的乘积仍是无穷小 （5） 利用极限的四则运算和指数预算 （6） 利用泰勒公式 （7） 洛比达法则 （8） 利用导数极限求极限 （9） 函数的性质求 因为数列是特殊的函数 注意：这里就有一些小方法了，有换元 等价代换 拆项求和 三角的和差化积 数列求和的公式 … （10） 间断点和连续性 间断点：除去不成立的点，一般都是间断点 连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的 注意：可导的函数一定连续 连续的函数不一定可导 闭区间上连续函数一定有界 第一类间断点：可去和跳跃间断点 eg： ） 且x=1 y=0.5 可去间断点 第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点 y=tanx x= 为无穷间断点 y= x=0为振荡间断点 （11） 渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a值 （水平渐近线） 还有一些点 怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近 （铅直渐近线） 0这点很重要 还有一个斜渐近线 说明图像到达一个点变化的斜率很小 这样的话 一般是图像上面有部分是直线 eg求 的渐近线 课后练习 求下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6）
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