随机分析在寿险精算中的应用

山东大学 硕士学位论文 随机 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 在寿险精算中的应用 姓名：赵晶 申请学位级别：硕士 专业：金融数学与金融工程 指导教师：吴臻 20090430 山东大学硕士学位论文 随机分析在寿险精算中的应用 赵晶 (山东大学数学学院，济南，山东250100) 中文摘要 这篇文章介绍了有关随机分析在精算学中的应用，特别是对于人寿保险， 进行了详细的阐述．首先引入计数过程和示性过程来描述只有生死两种状态 的简单保险，然后引入Markov模型来描述多状态的保险单．有别于传统的精 算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，进一步引入利率的随机性，对保单有重大影响的利率进行了更加深入 的讨论．对于准备金和盈余的讨论主要分为两个步骤，第一步是根据设定的参 数定价，参数包括利率、转移强度、费用率等，此时参数的假设都比较保守， 得到的定价结果和准备金也都是比较保守的，但是参数会在下一步中进行更 加准确的设定；随着时间的推进和保单效用的展开，会得到更加符合实际经营 情况的参数值，利用这些参数重新进行准备金的计算为第二步．比较两步骤 得到的准备金的不同结果，分析它们的不同功用，可以进一步明确盈余的来 源。在某一时刻保险公司的盈余，只与两个部分有关。一是盈余本身所产生的 利息；二是对投保人进行退保给付的费用．最后给出了数值计算的例子． 关键词t计数过程；示性过程；前瞻式准备金；后顾式准备金； Markov 模型；随机利率；盈余； I 山东大学硕士学位论文 theApplicationofStochasticAnalysis ● ▲ ● ' 一 ● lnACtUarlalbClence JingZhao (SchoolofMathematics，ShandongUniversity, Jinan，Shandong250100，P．R．China) ABSTRACT Abstract：Thepurposeofthispaperistointroducetheapplicationofstochastic analysisinactuarialscience，especiallyforlifeinsurance．First，WCintroducecount— ingprocessesandindicatorprocessestodescribethesimpleinsurancepolicy,which haveonlytwostates——liveanddead．ThenwesketchtheMarkovchainmodelfor themulti-stateinsurancepolicy．Amodelframeworkwherethetraditionalset—up isextendedbylettingtheexperiencebasis(interest)bestochastic．Thediscussion ofreservesandsurplusareintroducedinthefollowingways：Attheoutsetthe premiumissetaccordingly,onafirstorderbasis：whichisasetofhypothetical assumptionsaboutinterest，intensitiesoftransitionbetweenpolicystates，costs，and possiblyotherrelevantelements．Thefirstordermodelisameanofprudentcalcu- lationofpremiumsandreserves，anditselementsarethereforeplacedtothesafe sideinasensethatwillbemadepreciselater．Astimepasses，realityrevealstrue elementsthatultimatelysettherealisticscenariofortheentiretermofthepolicy andconstitutewhatiscalledthesecondorderbasis．Uponidentifyingreservesof firstandsecondorder，oneobtainsallexpressionforthesurplusshowinghowit stemsintheindividualtechnicalelements．Numericalillustrationsareprovided． Keywords：countingprocesses；indicatorprocesses；prospectivereserves；ret- rospectivereserves；Markovchainmodel；stochasticinterest；surplus； II 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 盘黾 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 (保密论文在解密后应遵守此规定) ． J 论文作者签名： 垫函 导师签名：缝日 期：．迎呈：￡：!查 山东大学硕士学位论文 第一章引言 像所有学科一样，精算学也是--fl不断发展的学科．自1999年中国正式 开始中国精算师资格考试至今，中国的精算理论和精算实践都取得了飞速的 发展，寿险经营也趋于 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 ．从精算学在国际上的发展趋势来说，随机分析已 经成为其越来越重要的组成部分，并逐渐体现于保险监管中．可见，研究随机 分析在寿险精算中的应用，具有非常重要的实际意义． 本文主要从以下几个方面探讨了随机分析在寿险精算中的应用。第二章 给出了利息理论和生命表的背景知识，这些都是后面讨论所必需的，这里只是 简单提出，不再详述；第三章首先提出了计数过程和示性过程，从而提出了只 有生存和死亡两种状态的模型，并完整的补充了概率测度、鞅等基本概念，然 后引入了支付量函数，给出了准备金的简单表达形式； e片6／0；e-Io6dA，=e196(Z二e一片6d4+／Te一石6dA，)=阢一K 其中 ，‘ ，E Vt：e砖6|e-r丁6dAr=|ej：6dA下 vt：舻llrI[,6dBr：11rl：6dBT 第四章引入了Markov链，建立了存在多种状态的随机模型，给出了—个 通过Markov性质解决问题的小例子，重点讨论了多状态下准备金的形式和所 满足的Thiele微分方程； 罢哪Ⅲ(⋯)vAM(沪三删(蜊“@)_yj(D)’ 第五章是本文的重点，其中第一个问题是针对传统精算模型的利率为定 值的不足，建立了关于利率的Markov模型： Y,At)=El／e—F6dB(T)Iy(t)=e，z(亡)=Jl 并且通过一个例子探讨利率变动对保费的影响。当初始利率为中等利率 时。利率的波动会增大保险合同最终结果的不确定性，但如果利率变化足够频 山东大学硕士学位论文 繁，那么最终结果就与中等水平固定利率下的结果相似．这一点对保险公司的 定价活动的指导意义在于：当外界环境变动较为频繁，特别是导致利率变动频 繁时，选择初始利率水平的重要性大大降低，此时只需选择中等同定利率下的 保费结果即可． 第二个问题是针对保险公司在实际操作过程中，由于事前定价和事后评 估所用到的参数不同，从而会得到关于准备金的两种不同结果，这两种结果分 别对应于保险公司必须依法持有的法定责任准备金，和用于向申请退保的保 单持有人支付的保单价值准备金，这二者之间的差额，也就构成了盈余的一部 分重要来源，即dCn。(t) 2 dSn。(t)=6(t)dtSn。(￡)+ecn。(￡)+dMn。(t) 山东大学硕士学位论文 第二章背景知识提示 §2．1利息理论 设i为年利率，0时刻的金额为a(O)=1，则第n年末的金额很容易表 示为a(n)=(1+i)”．其中，1+i称为积累因子． 相反，若已知在礼年末的金额为a(n)=1，则第礼一1年末的金额为 o(n—1)=(1+i)～，0时刻的金额就是a(o)=(1+i)一，记口=(1+i)一， 称为贴现因子． 引入瓯，定义为 。 ∥(t) 仇。雨 用来表示利息在时刻t时运行强度的一种度量，称为在时刻t的利息效 力，简称为利息力． 可以得到 o(t)=e后矗dr 若利息效力在时间区间(0，n)上为常数，则 e口民出 ： en6 =a(n) =(1+i)” 所以 ∥=1+i 或 6=In(1+i1 同样可以定义贴现效力《t 《=一错=瓯 3 山东大学硕士学位论文 为表示方便，以下都记．『．6=l厂爵打． §2．2生命表基础 对于一个刚出生的婴儿来说，其死亡年龄x是一个连续型随即变量，用 F(x)表示这个随机变量x的分布函数，则F(x)=PⅨ≤z】．假设F(x)是 可导的，且用f(x)表示随机变量x的密度函数，则f(x)=F7(z)。 假设某一新生婴儿群体的死亡年龄的分布函数为F(x)，则s(。)=1一F(z) 称为生存函数，即s(x)=pⅨ>z】．通常，我们假设F(0)=0，则s(o)=1， 其实际意义是，新生婴儿会以100％的概率保证在出生时是活着的． 下面用T(x)来表示生存者的未来寿命，并引用一组国际通用的精算函数 符号来描述随机变量T(x)的概率分布，记 tq==pIT@)≤t】 tm=1一￡％=P[T(x)>t】 其中，t％可解释为年龄为z岁的生存者(z)将在t年内死亡的概率，而 轨可解释为(z)将在z+t岁时仍生存的概率． 另外，kltq=表示在z+k与z+k+t岁之间死亡的概率，当t=1时， 简记作klq=． 容易得到 一1一等 ．． s@+t)纰2百 下面介绍死力，即在到达z岁的人当中，在此一瞬问里死亡的人所占的比 例．死力也称瞬间死亡率或死亡密度，通常在z岁时的死力用符号，b表示． 其基本关系式是 p。=lim △z—'0+ s7(z) 8(x)一8(x+Ax)1 △z F7(z)==一一=———————-—·——一s(x) 1一F(x) 4 山东大学硕士学位论文 容易得到 tm2e一鬈¨lh-d7=e一詹p外r打 从而随机变量X的分布函数与密度函数分别为 取@) 厶(z) =l—s(z)=1一e-臂pr打 =一s7@)=p。．e一臂加打=。伽．p。 5 山东大学硕士学位论文 第三章寿险数学基础 §3．1基本概念 本章试图从随机分析的观点阐述寿险数学．寿险与相关的保险依赖于生 命事件(如疾病、死亡)，它们按一定次序构成了个体的生命历史，这正是应 用随机分析阐述寿险数学的内在原因一生命历史可视为一个适当的随机过程 的样本路径． 需要注意的是，金融数学与寿险数学的主要区别在于：前者是以连续路径 的过程为基础，而后者是以跳跃的过程为基础．寿险数学中的基本研究对象是 计数过程，它是一类比较特殊的随机过程． §3．1．1计数过程与示性过程 (1)计数过程 首先，讨论最简单的情况．假设生命事件只有两个状态：生存和死亡，生 存状态为0，死亡状态为1．从0到1的转移是一个Markov过程，转移强度 为№，表示年龄z时的死亡力．这个过程的样本路径是时间t的函数，记为 Ⅳol(￡)．从单个样本来看，由Ⅳol(t)可知在时刻t时，死亡是否已经发生． 从样本总量来看， N01(亡)表示到t时已经发生的事件次数，即已经死亡的个 数． 进一步，考虑Ⅳ01(t)的增量．如果在时刻t时，过程没有出现跳跃，那 么增量为0，记为dNm(t)=0；如果在时刻t时，过程出现跳跃。那么增量 为1，记为dN01(t)=1． 假设歹(T)表示从0时刻到T时刻所有可能发生跳跃的时刻点，那么 6 Ⅳo·(T)=∑dⅣ0·(t) teJ(T) 山东大学硕士学位论文 得到 若时间单位无限小。即有无限多个时刻点可能发生跳跃，那么取极限后就 Ⅳ0。(T)=厶歹(ndⅣ0。(t)=d／roTd眠-(t)‘，t∈歹(刃 这样，计数过程成为一个连续的过程，可能发生跳跃的时刻点集合是区间(0，卅． 现在考虑一种最普通的保险，终身寿险一在被保险人死亡的时刻，保险 公司支付保险金(这里设支付额为1个单位) 对于被保险人(x)，若用x表示此终身寿险的现值，用疋表示(X)的剩 余寿命随机变量。那么X=口死=e-6T= 但(X)的剩余寿命却是无法得到的，所以就要结合上面讨论的计数过程 来求． 注意到在时刻t时支付额为1个单位的现值是∥，那么进一步来讲，如 果在时刻￡时没有死亡发生，那么计数过程的增量为dNol(t)=0，现值就是 vtdgol(t)=0；如果在时刻￡时死亡发生，那么计数过程的增量为d901rCt)=1， 现值就是,OrdNol(亡)=1．求积分后可以得到 x=Z。。讹删 (2)示性过程 上面讨论了保险公司因为被保险人死亡而给付保险金的情况，下面要讨 论另外一种保险责任，即只要被保险人生存，保险人就要不断向其支付生存年 金，(这里设支付率为1，并且只讨论连续支付的理想情况)．特别的，当被保 险人生存时，要履行向保险公司支付保险费的义务，即保险公司要向投保人收 取保费，对于保险公司来说，这可以看作是支付量为负的生存年金． 针对支付保险费的特征(只有生存的人支付)，仿照上面对终身寿险的讨 论，构造示性过程-10(t)：如果在t时刻没有死亡发生，那么Io(t)=1，否则 Io(￡)=0．若用y表示生存年金的现值，那么结合示性过程，就可以得到 y=Z”∥如(t)出 7 山东大学硕士学位论文 §3．1．2支付函数 由前面对计数过程和示性过程的讨论，现在引入一般的支付函数： (1)如果g(t)=0，即生存状态，那么保费的支付率为ao(t)； (2)如果在时刻t，N由0跳跃到1，即死亡发生，那么保额为Aol(￡) 以下从保险公司的角度考虑，保险公司的支付率可以表示为如下dL(t)的 形式。 dL(t)=Aol(t)dN01(t)+ao(t)Io(t)dt 假设时刻T之后没有支付量(T可为∞)，那么总支付量为， L=ZOTdL(t)=ZoTAol(t)dⅣo-(t)+ZOTa0(￡)如(t)班 用v(o)表示总支付在时刻0的价值，那么 y(。)=／oTvtdL@)=．／：0TvtAol(t)cfⅣo-(￡)+，oTvtao@)％(t)砒 用y(s)表示在任意时刻s的价值，那么 忡)=；1／oT砌础)=嘉ZT‰∽‰∽+嘉p州籼)班 §3．1．3仃一代数与概率侧度 到此，只定义了样本空间的元素，即样本路径No-(￡)，以及一些相关函 数，下面要引入口一代数、概率测度，从而可以进行概率运算，如计算期望等． (1)在时刻t时，对所有的8≤t。由Ⅳ0·(s)的所有可能值构成的所有事 件，构成了口一代数兀 (2)总体盯一代数厂=t9五 (3)概率测度对应于生命表。根据不同的目的，精算师会选择不同的生命 表，即样本空间和概率测度的选择是独立的． 8 山东大学硕士学位论文 ‘所有的计算都依赖于概率测度(即生命表)的选择，这可以由现值变量X 和y的期望来说明．假设精算师选择概率测度P，等价于选择生命表概率测 度。m，考虑关于(X)的终身寿险的现值的期望EPⅨ】 Ep[x]=EP小‰∽] =／∥EF【dNol(t)】 =／∥p[aNoKt)=1】 =／∥tm如+￡dt 如果精算师选择另一个概率测度矿，它等价于另一个生命表概率c磋， 那么可以得到另一个不同的期望 EP．【x】=fOcQt*：肛：+t出 类似的，年金变量的现值的期望为 哪】=蜘旷椰叫 =／∥Er【Zo(t)】dt =／∥p‰(t)=1】dt =／∥舭出 以上为了计算各种寿险的精算现值，都需要用到以下两个关系式 E【厶】=仇 NaN,】=t鼽；Ik+￡班 9 山东大学硕士学位论文 §3．1．4鞅 下面要讨论的鞅非常简单，但在后面应用中起着很重要的作用．令 蚍m)=Ⅳo心)一Z。坼)M。d5 称Mo，(t)为补偿计数过程，等式右边的积分项称为Ⅳ0-(￡)的补偿因子． 下面可以看到，Mo，(t)是鞅s dMol(￡)=dN01(t)一矗(t)№+tdt EP[dMol(￡)]=EP【dNol(t)】一Ee【％(f)肛。+tdt】 =tp$p善+￡一tPz肛z+￡=0 如果改变概率测度，如选择对应于c纯的概率测度p，那么可以得到另 外一个鞅 ，．f 咏1(t)=Nol(t)一／如(s)疋扣ds J0 对于更复杂的模型，可以得到一系列鞅，每个鞅对应于某种状态到另一种 状态的转变，鞅的形式为 坞础)=％觯)一Z。驰)磷庙 §3．2支付量函数与准备金 §3．2．1逐段可微函数与积分 (1)首先设函数X是有界变差的，即它可以表示为两个非减函数之差． 特别的，考虑有界变差函数类中的子类，要求函数是右连续而且左极限存在 的，简称RCI．L．保险中的支付量函数就属于这个子类． 10 山东大学硕士学位论文 若X属于这个子类，而且△五=五一五一不为零，那么称AX为X 在时刻t的跳跃度． 以下考虑具有如下形式的X 五=Xo+／!髫rdr+∑(墨一墨一) ．，U Oo可表示为两个非减函数之差，它们 分别表示收入和支出．因此(A)。>o是有界变差函数，进一步假设它是右连续 的，左极限存在．为了处理方便，可设(At)t>o是逐段可微的，即它有如下表 示 At2 A。+'otardr+u、．<￡△Ar 其中，△A，=A，一A，一．也可以写成微分形式 dAt=a￡dt+TAt 在保险中，为了强调保险人对被保险人的义务，会将支付量函数表示为保 险公司的支出与收入的差．可以引入符号口=一A． 假设在时刻r附近的小区间内的支付量为dAf，它在0时刻的价值为 e-fJ6dA，，则在时刻t的价值就是e’o。6e一片tdAr，关于变量下取积分，可得 到所有支付量在时刻t的价值为 e靠6jT_e-聆6dAt=ej：6LI—e一站6dA，+／tt T e-，；6dAl=Ut—V； 其中 阢：e后6 Ⅵ：e后6 j．e-鼬dAT=l≯dA。3；6 T=le鼬 ， 1 =Te-e-Ig 6dB． si6dB，：l：6dB， (1) 因此，仉是时刻t之前的收入与支出的差在时刻t的积累值，而K是 未来的支出与收入的差在时刻t的贴现值． 阢由过去的支付和利率决定，称为后顾式准备金。K由未来的支付和利 率决定，称为前瞻式准备金，它是在时刻t应准备的额度，以满足未来的给付 12 厂，加厂，H 山东大学硕士学位论文 义务．后顾式准备金与前瞻式准备金的差就是保险合同在日寸刻t时的当前价 值． 下面给出准备金的几种表示． (1)由ut的定义可知，后顾式准备金仉满足下面的向前微分方程 dUt=Ut6tdt+dAt (3) 上述方程的初始条件为 Vo=Ao 可以知道阢的积分形式为 Ut--At+}：U．&dr 阢的解析解为 Ut：At+ftej：5A，&dr 阢：e詹6A。一厂‘eI*，6(At—A，)露打 为得到上面两式，从阢的定义(1)式出发 ·．+(e啊‰r=¨p舻dA =山+e一瞄6A—Ao一／Are一片6(一玉)打 4‘ ．，0 =e—I：tAt+fo‘厶e一·膳6矗打 ．．．Ut：e后6厂‘e一盯6以r do- =e詹6PA+．Z0tAre-肼叫 =A+．／'otec6A．矗d丁 另外，令e-詹6=l—Soe-126&dr ．·．Z二e一后6dA，=[1一Z。e一盯6爵打]At+fOOtAre-岳6西打 =氐一lt、e-sp6TdTAt+fotAre-弱66T曲 13 山东大学硕士学位论文 ．．．Ut：e蜘le-舯dAT do—— =e片6[4t一／。e一石6西d丁以t+Z。A，e一盯6薛d下] =e后6A￡一／ef6(A￡一A，)4打 (2)由Ⅵ的定义可知，前瞻式准备金Ⅵ满足下面的向后微分方程 dVt==VtStdt——dBt 上述方程的初始条件为 Vr=0 可以知道K的积分形式为 Vt=BT—Bt—tu6Td丁 K的解析解为 BT—Bt—re，：弋BT—BTl6，打 e_3圣6LBT—Ba七／tTe-3：6I、Bf—B,)5，dT (3)式和(4)式给出的两个微分方程式都有很直观的解释：向前微分 方程式(3)式表明累计值的增加来自当前的利息和新的净收入；向后微分方 程式(4)式表明负债的增加来自当前的利息，而负债的减少来自已经偿还的 部分． (3)进一步考虑前瞻式准备金y，设 14 dBt=b,dt+A且 由(4)式即得如下结论 丢Ⅵ=K院一玩 山东大学硕士学位论文 §3．2．3准备金的一般形式及Thiele微分方程 考虑一种较一般的险种一两全保险．设被保险人投保年龄为X，保险期 限为n年．以(X)表示年龄为X的被保险人．当(X)在时刻t∈(0，佗)死亡 时，保额为bt，在时刻t支付；当(X)生存至时刻礼时，保额k在时刻礼支 付．在投保时的保费为丌o，在t∈(0，n)时，保费以连续方式支付，支付率为 7h． 在所有的小区间内考虑保额与保费的差，并贴现到时刻0，得到的期望 现值为 一Iro+le-fg5 tp￡心tx+rbT一，rr)dr+b．e—j：6npz ．，0 若保单在时刻t时仍然有效，前瞻式准备金为 K=／e—F6，一￡m+t∞x+r6r一以)打+bne一∥6n—tP=+t ‘，t 把，一fPx+￡=e-Ⅳp小ds代入上式即得 K=／e-f[(6a+p计·)如(p。+rbr一7rr)打+bne—J?慨+肛外·)幽(6) ．，t 比较(6)式与(2)式，可见，(6)式可以表示为(2)式的形式， 此时，dBt=(肛抖t一仉)蹴，△上k=bn． 由(5)式和(6)式可得tK满足如下Thiele微分方程 爰Ⅵ=(魂+p。+t)Ⅵ+几一阮+tbt §3．2．4储蓄保费与风险保费 将上式变形，即得 丌t=丢Ⅵ一文Ⅵ+(6。一K)p霉+t 此式表明，在时刻t时的保费支付率可以分解为如下两部分 群=丢K一民K 《=(bt—K)舰+t 15 山东大学硕士学位论文 称丌?为储蓄保费，它表示为使准备金达到应有的水平，还需要的超过利 息以上的部分；称《为风险保费，它表示为履行保险责任，还需要的超过准 备金以上的部分。储蓄保费与风险保费两部分之和，构成了为履行保险义务所 应缴纳的保费数额，也称为净保费，后面将会看到，除了净保费以外，投保人 还应缴纳一部分额外费用。 16 山东大学硕士学位论文 第四章寿险中的Markov链 之前，讨论的保险都是只包含生死两个状态的最简单的寿险保单．但在通 常情况下，考虑一份广泛意义上的保险单，它应该不只含有生死两个状态，而 是应该包含多个状态，如寿险、养老保险、疾病保险、伤残保险等．在保单期 限内，给付额和保费也要视保险合同中规定的被保险人的状态而定，或者视 转移情况而定．假设存在有限状态空间z={l，⋯，J}，保单在时刻0从状 态1开始，在任一时刻保单仅处于一种状态．以z(t)表示保单在时刻t的状 态，则Z：【0，00)_z，z在任意有限的时间区间内至多存在有限多个跳跃 点，并且z(0)=1．可设Z是定义于某个概率空间(Q，咒，P)上的一个随机 过程． 以下讨论基于Markov模型，在Markov性假设下，可以很容易计算相关 概率和期望．其次，Markov模型具有普遍适用性，能够描述影响保单进展的 各种机制． §4．1连续时间Markov链 §4．1．1Markov性质及转移强度 设随机过程z的状态空间是有限的，记为Z={l，⋯，‘，)．假设对于所 有的tl<⋯ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的多状态保险合同 §4．2．1保险合同涉及的支付量 当用随机过程描述保单状态的变化时，假设Z是右连续的、至多存在有 限多个间断点，以下定义的计数过程心lIl和示性过程‘也是右连续的、至多 存在有限多个间断点． 虬^(t)=#{r；Z(-r-)=g，z(r)=h，7-∈(0，纠) ％，I(￡)表示在时间区间(0，t】内发生的从状态9转移到状态h(h≠g)的次数． 厶(t)=Ⅱ[z(t)=9】 L(t)表示保单在时刻t是否处于状态9，它取1或0． 过程z到达或离开状态g时，相应的毛就增加或减少1，这样就把示 性过程{厶(t)}t≥o和计数过程{％^(亡))t≥o联系起来 at9(t)=dN．口(t)一dⅣ9．(t) 现在考虑标准型保单．保单的支付量函数就是合同利益(保险额)与保费 的差，-E-／ff以下形式 aB(t)=∑Ig(t)dBg(t)+∑bgh(t)dNgh(t) g g#h '1 山东大学硕士学位论文 其中， dBg(￡)=bg(t)dt+△岛(t) B是保单处于状态g时的确定性支付量函数(它是年金的一般形式)，％^ 是从状态g转移到状态h时的确定性支付量函数(它是保险的一般形式)． △RAt)是在时刻t的纯生保险．假设函数69和‰取有限值而且是分段连续 的． 对保险人来说，支付量取正值表示保额或保险义务，而保费收入可看作是 支付量为负．在实际中，保费是以年金的方式缴付的． 假设保险合同的有限期限是礼，当t>71,时，所有的支付函数dBg(t)和 ‰(￡)都取0． §4．2．2前瞻准备金和Thiele微分方程 在保单有效期内，保险人必须始终保持能够满足其未来净负债要求的准 备金．在任何时刻t∈f0，叫，总负债是未来保险义务与保费之差的现值， y(￡)=／e—F6dB(r) ．，t v(t)在时刻t时是随机变量，为得到可行的准备金，需对V(t)进行评 估．准备金评估建立在到时刻t时已有的信息基础．在任意时刻t，给定保单 历史信息为咒，则保险人应保持的准备金为如下的条件期望 vu。(t)=E[v(t)I％】 由Markov性可知，上式中的条件期望仅依赖于保单的当前状态 魄。(￡)=vz(c)(亡)=E[y(￡)lz(t)]=∑乃(t)巧(t) 22 山东大学硕士学位论文 所以仅需考虑依赖于当前状态的前瞻准备金，即对t∈【0，叫，J=1，⋯，‘厂 K(￡)=E【v(t) =E旷 =E[Z” z(t)=J1 一I；6dB(丁脚㈠] 彬d(莩砧煅㈩+萎㈨哪㈩)㈨=刁＼9 夕尹^ ／ J =．It"e-ff'‘莩砒r，(吲丁，+聂w州丁，打) 其中， 15l阮(丁)IZ(t)=歹1=乃9(t，r) E【dNgh(r)Izct)=J】=乃g(￡，丁)pg^(1-)打 上述结果有如下解释t保单在时刻丁处于状态g的概率为乃g(￡，丁)， 在时刻7I附近年金的支付量为d岛(7．)，此支付量在时刻t的期望现值为 e一Ⅳ6Pj9(t，T)dBg(1-)；保单在|r，7-+dr】时期从状态g转移到状态h的概 率为约。(亡，r)‰，l(r)打，此时保险人的支付量为‰(7-)，它在时刻的期望现值 为e-Jt～b9hO-)Pj9(￡，T)Zgh(r)ar． 对Vj(t)求导，并应用Kolmogorov向后方程，可以得到前瞻准备金所满 足的微分方程，称为Thiele微分方程的一般形式· 罴巧(￡)=6(t)vj(t)一幻(t)一∑ttjk(t)(b知(t)+K(￡)一巧(￡))。。。 k；k≠j 上式对满足以下条件的t成立t△B9(t)=0，且6(￡)，心知(t)，bat)，b知(z) 等系数都是连续的．当△岛(t)≠0时，巧@一)一巧(t)=△岛(亡)． §4．2．3储蓄保费和风险保费 把Thiele微分方程变形，可以得到 删=丢哪Ⅲ㈣哪)+毛酬删 其中， 马知(t)=bj七(t)+耽(t)一K(t) 山东大学硕士学位论文 上式表明了保费如何分解为储蓄保费和风险保费两部分． 称Rf七(￡)为在时刻t时状态J转移到k的风险保额，这是因为在发生转 移时，保险人需要立刻支付保险金额6仙，另外提供对应于新状态k下的准备 金，而保险人已有对应于原来状态J下的准备金． 因此，∑鼬≠f忍k(t)心k(￡)是当前状态J转移到其他状态时，单位时间内 预期净支出，称为风险保费． 甍K(￡)一6(￡)yj(￡)两项之和称为储蓄保费，它表示为保持当前状态下的 准备金，单位时间内的补充量等于准备金的增量与准备金产生的利息之差． 山东大学硕士学位论文 第五章实际问题的解决 §5．1关于利息力Markov模型的讨论 在传统的精算方法中，都是把利息率作为一个常数来考虑，在不同的经济 时期，可能会对其有所调整．但这种调整往往是滞后的，无法充分反映当前的 经济状况，也就更无法保证保险公司对于保费定价的准确性．下面，借用上节 讨论的Markov模型，引入关于利息力的Markov模型，以求能够尽量准确的 捕捉到经济中决定利率因素的变化，保证定价的公正准确． §5．1．1利息力Markov模型 假设经济的变化(或经济中决定利率因素的变化)以连续时间的齐次Markov 链y来描述，状态空间为y=．[1，⋯，∥)，转移强度为九，，e，f∈y，e≠ ，．当经济处于状态e时，对应的利息力为以， d(￡)=∑F(t)也 其中，蟛(t)=II【y(t)=e】是y在时刻t处于状态e的示性函数． 应用上—章中的Markov模型，并在相应的示性过程和计数过程中给出上 标z，以区别于关于利息力的Markov模型y． 进—步，假设过程y和z是独立的，那么X=(y'Z)是Markov链，状 态空间为疋=YXz。转移强度为 I A。， ， e≠^歹=危 瓦巧，弘(t)={蛳(t)，e=，，歹≠k 1 0 ，e≠，，歹≠k 结合对利息力Markov模型的讨论，重新评估保险合同的负债．在时刻t 已有信息的条件下，根据Markov性假设，条件期望仅依赖于当前状态， ％∽=E[／竹e吖铀(训y∽=e，猁=刁 25 山东大学硕士学位论文 §5．1．2利息力Markov模型中的高阶矩 前瞻准备金是未来支付量的贴现值的条件期望，它是一阶矩．为了讨论此 模型中的利息力的影响情况，这里简单介绍高阶矩，并且只需考虑依赖于状态 的条件矩，对q=1，2，⋯，记 W们(￡)=E【V4(￡)Iz(t)=J] 函数曙4’是如下微分方程的解 抄∽却∞)协㈤】曙q)(t)-qbj(t)∥∽一毛删妄㈠础盯w) 由此我们知道，在时刻t已有信息的条件下，考虑保险合同负债的条件 矩，根据Markov性假设，条件矩仅依赖于当前状态， 拶㈣=EMe啊伽))gIy㈣一e，邵一] 并且堵’(功是以下微分方程的解 罢堵’(t)=[q6e+pj．(t)+入e，]堵’(t)一如(￡)睹。’(t) 一毛删妾㈠嗽)嘲旷f∑；f≠e-啪D §5．1．3数值例子 下面给出一个含有多种状态保单的例子，试图讨论利率变动对保单定价 的影响． 设年龄为z的人购买包含寿险和伤残养老金两项保障的组合保单．记保 单签发的时刻为0，与保单相关的状态有n=健康，扛伤残，d=死亡．在 时刻t，即当被保险人年龄为z+t时，这些状态的转移强度为 p。d(t)=ptd(亡)=0．0005+0．000075858×100·038(￡+‘) ，l。t(t)=0．0004+0．0000034674×100．06(蚪‘) 胁。(￡)=o．005 26 山东大学硕士学位论文 人=A(吾÷10i) 单在健康状态下连续支付的支付率一k=7r．选取基准保费丌是状态下(2，a) 的净保费，这里的(2，a)表示“中等利率，健康”． 入 7r q (1,a)(2,a)(3,a)(1,i) (2,i) (3,i) 1 0．15 0．00 ．O．39 13．397．65 5．03 0 0．01312 2．55 0．49 0．13 12．502．70 0．80 3 20．452．11 0．37—99．02．12．12．2．38 1 0．06 0．00 —0．03 11．3l 7．90 5．78 0．050．01372 1．6l 0．62 0．25 12．26 5．41 2．43 3 11．943．20 0．94．42．87-4．33．0．08 1 0．02 0．00 ．0．02 8．43 7．81 7．24 0．5 0．01342 0．65 0．55 0．46 4．90 4．15 3．52 3 3．34 2．59 2．02 ．13．35．10．13．7．74 1 O．00 0．00 0．00 7．77 7．70 7．64 5 0．01322 0．5l 0．50 0．49 2．86 2．91 2．86 3 2．26 2．20 2．14．12．51．12．19．11．88 1 0．00 0．00 0．00 7．69 7．69 7．69 o。 0．01322 0．50 0．50 0．50 2．74 2．74 2．74 3 2．15 2．15 2．15 —12．37—12．37—12．37 前三列构成了一个基准． 入=0表示没有利息波动，所得到的结论也就 对应于固定利率下的情形．随着A变大，利率的变化越来越频繁，波动性增 大．可以看出，现值变量的二阶矩和三阶矩都很大的依赖于初始利息力．当利 27 山东大学硕士学位论文 息力增大时，每行中“健康”和“伤残”两种情况下的对应值的绝对值变小。 这是因为利息力的增大会减小贴现因子，从而未来额度的贴现值就变小． 随着入值增大，“健康”和“伤残”两种情况下相对应的三列，如(1，n)， (2，Ⅱ)，(3，n)之间，或者(1，z)，(2，i)，(3，i)之间，差异越来越小，最后完全消失． 可以解释为：如果利率变化很频繁，那么初始利率水平的重要性就越来越减 弱． 分别看与中等利率水甲对应的两列，即(2，a)对应的一列和(2，i)对应的 一列，当A从0开始不断增大时，现值变量的方差在开始时是增大的，在达 到最大值后开始减小，然后达到稳定值．这一现象可以解释为：当初始利率为 中等利率时，利率的波动会增大保险合同最终结果的不确定性，但如果利率变 化足够频繁，那么最终结果就与中等水平固定利率下的结果相似。 第二列丌所对应的净保费，也有类似的变化趋势，可做同样的解释．这 一点对保险公司的定价活动具有很有意义的指导作用：当外界环境变动较为 频繁，特别是导致利率变动频繁时，选择初始利率水平的重要性大大降低，此 时只需选择中等固定利率下的保费结果即可． §5．2关于保险公司盈余的讨论 本节将对保险公司产生盈余的过程进行讨论，进一步明确从精算定价到 盈余产生的过程，具有非常重大的实际意义．盈余是保险公司产生利润的基 础，只有明确了盈余产生的过程，才能更及时的发现产品定价、销售等备环节 中存在的问题，不断调整和明确经营思路，保持公司良好的盈利能力． §5．2．1两种参数下的准备金 在保险产品的定价过程中，也就是确定保费的过程中，计算所用到的利 率、死亡率等参数往往是比较保守的，这也是保险公司遵循稳健经营的原则， 但在保单期限内，实际发生的利率、死亡率等却不一定与定价时的参数完全一 致．很明显，对于一种保险产品，往往涉及到两种不尽相同的参数，前一种参 数涉及到保险产品的定价，后一种参数是对生效后保单的评估，对两种不同参 数下准备金的讨论是非常有必要的． 山东大学硕士学位论文 (1)为区别两种不同的参数，将在第一阶段运用保守参数定价时所涉 及的量加上符号宰．如参数利息力和死力分别为一p；七，对应的概率测度为 驴，期望为F．以下就可以得到上面讨论过的准备金的形式： ％。(￡)=眨(￡)(￡)=彤IV‘(圳z(￡)】=∑IZ(t)Vj*(t) J 利用定价参数得到的准备金称为法定责任准备金． 吁(￡)=彤【V‘(￡)Iz(t)=J】 =E’[／”e一Ⅳ扩dB(丁)Iz(力=歹] ：f”e一胪∑唬化下)(，d岛(丁)+∑以下mg·打)打、)Jt g ＼h；h≠g ／ W(t)满足以下微分方程(Thiele微分方程)。 dVj*(t)=扩(t)Vj*(t)dt—dBj(t)一∑啄(t)咏(t)at k；k#j 其中 碍知(t)=如七(亡)十W(亡)一V(t) 另外，在0时刻。也就是保单还没有开始生效的时刻，保险人是没有保险 责任的，即在精算中，初始时刻满足平衡原理。 E’[仁e舻嘶)]--0 根据平衡原理，可以求出在初始时刻投保人应当缴纳的保费量，这也是精 算中常说的求净保费的方法． 当然，投保人在购买—份保险时，所缴纳的保费不仅包括净保费，还会有 一些保险公司经营费用的分摊，两者相加才是投保人应当缴纳的保费，称为毛 保费．对于毛保费的计算，同样满足平衡原理，这里称为广义的平衡原理，即 把公司经营的费用也放进等式中，在下面的例子中将会看到具体的计算． (2)在保单的有效期间，按照实际发生的参数可以得到一个形式相同 的准备金； dVj(t)=6(t)K(t)一dBj(t)一∑Rjk(t)ttjk(t) k；k手j 山东大学硕士学位论文 利用实际发生的参数得到的准备金称为保单价值准备金． 保单价值准备金是投保人未来实际得到保额的现值与未来实际缴纳保费 现值的差，这部分利益应归投保人所有．所以，保单价值准备金通常作为当投 保人退保或保险公司解除保险合同时，由保险公司向投保人退还的那部分金 额，称为保单现金价值．在下面的例子中可以看到，在实务中，可以直接把保 单价值准备金作为保单的现金价值，也可以在保单价值准备金的基础上再进 行抵扣，这是由不同情况下的规定所限制． 下面的讨论中认为就是以保单价值准备金为退保给付，由于定价的参数 较为保守，显然可以知道，退保给付·般都小于法定责任准备金，这个差可以 认为是解约费用，记为C．形成C的原因主要有以下几点：①过多的退保 给付会造成保险人财务稳定性下降，保险人要准备多于必要储备的流动资金 用于保单持有人随时可能提出的退保要求； ②如果退保给付太高，以致达到 责任准备金的数额，会促使大量身体较好、风险较低的人解约，而将高风险人 群留给保险人；③每一个保单都能为保险公司带来利润，而退保会使保险公 司丧失部分利润；④投保人提出退保后，保险公司会有一定的费用支出。 现在把C放到准备金中去重新讨论，设dC(t)=∑f乎(t)dCj(￡)，其中 dCj(￡)=cj(t)dt． 准备金的形式变为t d巧(￡)=6(t)巧(t)一d马(￡)一d0(￡)一∑Rjk(t)p,Jk(t) 颤幻巧 经过加入C的调整后，(1)(2)两个不同阶段计算出来的准备金具 有相同的值，即W(t)=W(￡)．因此可以得到 勺(￡)=陋(t)一矿(t)】吁(￡)+∑巧k(￡)[瞄％(￡)一mk(t)】 髓幻句 从上式可以看出，向投保人收取的这部分费用C，来源于两个方面t一 是实际利息力与精算假设的利息力的差；二是精算假设的转移强度(死力)与 实际转移强度的差． 在实际经营中，保险公司都会要求这部分费用是非负的，即 30 sign{#；k(t)一心七(￡))=signR；k(t) 山东大学硕士学位论文 这也体现了参数在初期选择时的保守，一般利率设定的较低，而转移强度 的设定(如死亡率)与状态转移时的支付额有关，一般设定的较高． §5．2．2盈余及其来源 考虑在时刻t时保险公司的