上海大学高等代数历年考研真题

2000上海大学 高等代数 2000上海大学 高等代数 (1)​ 计算行列式: (2)​ 把二次型 用非退化线性替换化成平方和. (3)​  分别为 和 矩阵, 表示 单位矩阵.证明: 阶矩阵 可逆当且仅当 可逆，可逆时求出 的逆. (4)​ 设 是 维线性空间 的一组基，对任意 个向量 ，证明：存在唯一的线性变换 ，使得 (5)​ 设 是 维线性空间 的线性变换，求证： 当且仅当若 为 的一组基则 是 的一组基. (6)​ 设 为 级实方阵，适合 ，求证： 相似于 . (7)​ 已知 均为线性空间 上线性变换，满足 试证： （1） 与 有相同的值域 . （2） 与 有相同的核 . 2001上海大学 高等代数 （一）计算行列式： （二）设 为 阶非零方阵，且 . （1）求证：存在 ， ， （2）求方程组 的基础解系. （三）用正交的线性替换化二次行 为MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713922354576_0形 （四）设 为 阶实矩阵，且 .若 ，求证 . （五）设 是 （ 为奇数）维线性空间 上线性变换，若 求证：存在 ，使 为 的一组基，并求 在此组基下的矩阵. （六）设 是欧式空间 上的对称变换.求证：对任意 ，都有 的所有特征值都小于0. （七）设 ，其中 为 阶负定矩阵， 为 维列实向量， 为实数.求证 正定的充分必要条件为 . （八）若 是正交阵，且 特征值为1的重数是 ，求证： （ 为 的行列式）. 2002 上海大学 高等代数 （一）计算行列式：若 ，求 . （二）设 是 阶可逆方阵， . （1）计算 （ 是整数）， （2）假设 ， 为 阶方阵，而且 ，求 . （三）设 ， 是 阶矩阵（ ），求 的基础解系. （四）构造一个 阶实对称方阵 ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量 ， . （五）设向量组 ： 的秩为 （ ），则 中任意 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量 ，若 ，则 或全为0或全不为0. （六）设 为 阶正定矩阵， 为秩为 的实矩阵，求证 （ ， 为单位矩阵）为正定矩阵. （七）设 为欧式空间 上的线性变换，且 . （1）求证： 是 上的正交变换的充分必要条件为 是 上的对称变换. （2）设 ，求证： 是直和. （八）设 为 阶实正交矩阵， 为 维列向量，且线性无关，若 线性无关，则 . 2003上海大学 高等代数 （一）计算行列式： （ 为 阶矩阵）， （1）求 （2）求 （二）设 为 阶反对称矩阵，求 . （三）设 为 阶整数方阵（ 中元素为整数），若 （1）求证： ， （2）若 ，求 . （四）设 为 阶方阵， ，且 ，求 的解. （五）设 是 阶可逆方阵，且 每行元素之和为 ，求证： 的每行元素之和为 （ 为正整数） （六）设 为 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵 使 . （七）设 ，且 为 阶方阵， . （1）求证： （2）求证： （3）若 ，求 的解. （八）构造一个 阶实对称方阵 ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量 . （九）设二次型 （1）求 对应的实对称矩阵 . （2）求正交变换 ，将 化为标准型. （十）设 是 维线性空间 上的线性变换， 是对应的不同特征值 的特征向量.若 ，而 是 的不变子空间，则有维（ ） （十一）设 为欧式空间 上的变换， 为欧式空间 上的线性变换且有： .证明： （1） 为欧式空间 上的线性变换. （2） 2004 上海大学 高等代数 （一）设 阶可逆方阵 中每一行元素之和为 ，证明： （1） ，其中 为 的代数余子式. （2）如果 都是整数 ，则 整除 . （二）设 为实矩阵，且 . （1）求行列式 . （2）求 的解（ 是 维列向量）. （三）设 为 阶整数方阵，若 . （1）求证： . （2）若 ，求 . （四）若 为非零的半正定矩阵， 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵 ，使 . （2） . （3） . （五）设 为 的特征值的最小者.求证:对任意的 维列向量 ,有 . (六) 设 为 阶方阵 的特征值,且 分别为其对应的特征向量,求 . (七) 是 维欧氏空间, 是 维空间 上的线性变换,如果 是 中 个线性无关的向量,且 分别与 正交( 不为0).求证: 为 的特征向量. (八)设 ，求证： （1） （2） 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型与钱吉林书习题类示。 （九）设 为数域， 为数域上 阶方阵，且 ， 求证： 。 （十）设 ， 为 阶方阵， 为 阶正交方阵，求证： （十一）设 求证： 。 （十二）设 为 阶实可逆矩阵，则 为正定矩阵充分必要条件为存在 阶上三角实可逆矩阵 ，使 。 （十三）设 为秩为 的 阶矩阵，证明： 的充要条件是存在秩为 的 阶矩阵 和秩为 的 矩阵 ，使 且 。 （十四）设 为数域 上 维线性空间，设 是 维线性空间 上的线性变换， 为 的值域， 为 的核。 （1）​ 求证：维 ， （2）​ 求证：维 充分必要条件为： ，并举出这样的线性变换 。 2005​ 上海大学 高等代数 （1）​ 已知 ，求 在有理数域上的不可约多项式并说明理由。 （2）​ 已知 ， 是 阶方阵， 。求 和 。 （3）​  是方程组 的一个解， 是其导出组的一个基础解系。求证： （1）​  ， 线性无关， （2）​  也线性无关。 （四）同2007年第一大题. （五） 是复矩阵， ，求证：在复数域上 相似于一个对角阵。 （六） 是 阶实对称方阵， ，是 的特征值， ， 是对应的特征向量，求矩阵 。 （七） 是反对称变换 的不变子空间，求证： 也是 的不变子空间。 （八）已知 是 阶实对称方阵，求证： 正定。 （九） 是 矩阵的全体，已知 ， 求证： 的充分必要条件为 。 （十）已知 ， 求证： 。 （十一）设 求证： 。 （十二） 是 阶实对称方阵，证明： 正定的充要条件是存在实 阶上三角阵 ，使 。 （十三） 是 阶矩阵， 是 阵， 。求证： 的充要条件是 且 。 （十四） 是 维线性空间 的象， 是 的核。求证： （1） ， （2） 的充要条件是 ，举个例子。 2006​ 上海大学 高等代数 (1)​ 设 是有理数域上的多项式。 （1）​ 如果 是二次多项式，求证： 不可约的充分必要条件是 没有有理根； （2）​ 试举例说明当 的次数大于 的时候， 没有有理根只是 不可约的必要条件。 （3）​ 试举例说明艾森斯坦判别法只是判别 不可约的充分条件，而不是必要条件。 （二）（1）设矩阵 且 为 维列向量，求证： （2）用上面的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 计算行列式 。 （三）设 ，其中 分别为 阶可逆矩阵。 （1）求 ； （2）设 ， ，如果 ，求 和 。 （四）设 为一组同型向量， ，求证： （1）若 ，则 为奇数； （2）若 为 极大无关组，且 ，如果 ，求证： 。 （五）设 为实矩阵，已知 ， 且 。求证： （1） ； （2） . （六）已知 （其中 为不全为 的实数且 ）如果： ，求 的所有特征值；进一步当 是 的特征值时，求 关于特征值为 的所有特征向量. （七）设 是 阶实对称方阵且可逆， 是 维实列向量， 是实数.对于实二次型： （1）求证： 是正定二次型的充分必要条件是矩阵 是正定矩阵； （2）当 ， 是偶数时，求证： 是负定二次型的充分必要条件是 为正定矩阵. （八）设 是 阶复矩阵，如果 . （1）求 的最小多项式； （2）求证： 在复数域上与对角矩阵相似； （3）求证： 可逆. （九）设 是 维线性空间 上的非零线性变换，且 ， （1）求证： 充分必要条件是 ； （2）试举一个 的例子. （十）设 为欧式空间 上的线性变换，记： ， ，显然 ， 为 的子空间，试分别就 是 上的对称变换和正交变换求证： 2007上海大学 高等代数 （1）​ 设 求此向量组的极大无关组，并将其它向量用此向量组的极大无关组表示出来. （2）​ 设 ， ， 为 阶方阵，且 ，求 和 . （3）​ 设 ，且 是 阶矩阵，若 。 （1）​ 求证： 与对角矩阵相似. （2）​ 求证： . （4）​ 设 是数域 上 维线性空间 上的线性变换.如果存在向量 ，使得 ，但 ，证明： （1）​  线性无关. （2）​ 在某一组基下的矩阵为： . （5）​ 设 ，其中 为互不相同的整数，求证：如果 为奇数，则 在有理数域上不可约. （6）​ 设 . （1）​ 求行列式 . （2）​ 求 的解（ 为 维列向量）. （7）​ 已知经过一个正交变换 可以把二次型： 化为标准型 . 求： ， 及正交矩阵 . （8）​ 设 ，而且 ， ，其中 为数域 上多项式环.假设 是数域 上 维线性空间 上的线性变换. （1）​ 如果 ，求证： ， （2）​ 利用上面结论求证： （其中 为 上的恒等变换）. （9）​ 设 是 阶实对称矩阵，且矩阵方程 有唯一矩阵解 . （1）​ 求证： 为实对称矩阵. （2）​ 如果 为正定矩阵，求证： 为正定矩阵. 2008上海大学 高等代数 （一）设 ， ，其中 为 阶矩阵，且 ，求 . （二）设 是 阶可逆方阵， . （1）计算 （ 是整数）. （2）假设 ， 为 阶矩阵，且 ，求 . （三）设 是 阶矩阵，如果的伴随矩阵不为零矩阵，且 （1）求线性方程组的通解。 （2）进一步如果 为 阶对称矩阵，且每行只有两个非零元素，求 . (四) 设 ,其中 为互不相同的整数，求证:存在整系数多项式 其在有理数域上不可约和整数 使得 . (五) 设 是 阶实对称矩阵,而且 正定. (1)求证:存在正定矩阵 使得 ,而且 唯一. (2)如果 ,求 的特征值和特征向量,由此求(1)中正定矩阵 使得 . (六) 设 ， 为 维空间 的子空间,且 = ,则 且 ,或者 而且 . (七) 设 为 维欧式空间, 为欧式空间 上的线性变换,若对任意的 ,有 ,则称 为反对称变换. (1)求证: 为反对称变换的充要条件是 在任意一组标准正交基下矩阵为反对称矩阵. (2)若 是反对称变换 的不变子空间,求证: 也是 的不变子空间. (八) 设 为线性空间, 上线性变换 称为幂等变换,如果 ,现设 为 上的两个幂等变换.求证: 是幂等变换的充分必要条件是 ;进一步证明: 也是 是幂等变换的充分必要条件. 2009上海大学 高等代数 (一) 填空 （1） 为 上所有三阶矩阵组成的集合,令 （其中 且 为上三角矩阵），则 . （2） 为 上多项式，且在复数域上无公共根，则 ， 在 上的首相系数为 的最大公因式为 . （3）设 是 阶矩阵，则 . （4） 为 阶对称矩阵, 为其特征值，则 的伴随矩阵 与对角矩阵 相似. （二）不定项选择 （三）计算或证明 （16）求 （17） 为 上 维线性空间，且 为 的子空间，证明： （18） 为实数域， 为 上的线性变换，且 在 基： ， ， 下的矩阵是 .证明： （1）若 ，则 是 的不变子空间. （2）不存在 的不变子空间 ，使 . （19） （ 为正整数），证明： 整除 . （20）已知 阶矩阵 ， 满足 ，而 ，则称 的幂零指数为 ，证明：幂零指数为 的矩阵都相似. （21）设 是 阶矩阵，证明： . （22） 上齐次方程组 ，令 ，对 做一系列的初等变换化为 ，其中 为一行满秩， ， 为 阶可逆方阵. 证明： 的最后 行即为 的一个基础解系. （23） 阶实对称矩阵 的特征值都是正数， 为正定矩阵， 的特征向量都是 的特征向量. 证明：（1） 为正定阵（2）