2011西城区文科期末试题数学

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷 北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2011.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合 ， ，那么集合 （A） （B） （C） （D） 2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A） （B） （C） （D） 3. 若 ，则下列不等式正确的是 （A） （B） （C） （D） 4. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是 （A）若 ，则 （B）若 ，则 （C）若 ，则 （D）若 ，则 5. 设 是等差数列，若 ， ，则数列 的前 项和为 （A） （B） （C） （D） 6. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 内，那么输入实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 7． 如图，四边形 中， ， ， ，将四边形 沿对角线 折成四面体 ，使平 面 平面 ，则下列结论正确的是 （A） （B） （C） 是正三角形 （D）四面体 的体积为 8. 设函数 ， 的零点分别为 ，则 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 为虚数单位，则 ______. 10. 已知 ， ，则平面向量 与 夹角的大小为______. 11.若实数 满足条件 则 的最大值为______. 12.在 中，若 ， ，则 ____. 13. 已知双曲线 的离心率为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. 14.在平面直角坐标系中，定义 为两点 , 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于 的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于 的点的集合是一个圆； ③到 两点的“折线距离”之和为 的点的集合是面积为 的六边形； ④到 两点的“折线距离”差的绝对值为 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的最大值和最小值. 16.（本小题满分13分） 如图，在三棱柱 中，侧面 ， 均为正方形， ， 为 中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证： . 17.（本小题满分13分） 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 （Ⅰ）求出表中 及图中 的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率. 18.（本小题满分13分） 已知椭圆 （ ）的右焦点坐标为 ，且长轴长是短轴长的 倍. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 为坐标原点，椭圆 与直线 相交于两个不同的点 ，线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，求△ 的面积. 19.（本小题满分14分） 已知函数 . (Ⅰ)若 ，求曲线 在 处切线的斜率； (Ⅱ)求 的单调区间； （Ⅲ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围. 20.（本小题满分14分） 已知数列 的首项为 ，对任意的 ，定义 . （Ⅰ） 若 ，求 ； （Ⅱ） 若 ，且 . （ⅰ）当 时，求数列 的前 项的和； （ⅱ）当 时，求证：数列 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. 北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末 高三数学参考答案及 评分 售楼处物业服务评分营养不良炎症评分法中国大学排行榜100强国家临床重点专科供应商现场质量稽核 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 （文科） 2011.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C B B A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. 12. 13. ， 14. ①③④ 注：13题第一问2分，第二问3分； 14题①③④选对其中两个得2分，选出错误的命题即得0分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） = ………………2分 . ………………4分 （Ⅱ） ………………6分 . ………………8分 因为 ，所以 ， ………………10分 所以 ， ………………11分 所以 的最大值为 ，最小值为 . ………………13分 16.（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）连结 ，设 交 于点 ，连结 . ………………2分 因为 为正方形，所以 为 中点， 又 为 中点，所以 为 的中位线， 所以 . ………………4分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ………………7分 因为侧面 是正方形， ， 且 ， 所以 平面 . ………………9分 又 ， 所以 平面 . ………………10分 又因为 平面 ， 所以 . ………………11分 所以 . ………………12分 又 平面 ， 所以 . ………………13分 17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由分组 内的频数是 ，频率是 知， ， 所以 . ………………2分 因为频数之和为 ，所以 ， . ………………3分 . ………………4分 因为 是对应分组 的频率与组距的商，所以 .……………6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组 内的频率是 ， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 人. ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人， 设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 . 则任选 人共有 ， 15种情况， ………………10分 而两人都在 内只能是 一种， ………………12分 所以所求概率为 .（约为 ） ………………13分 18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得 ， ………………2分 又 ，所以 ， . ………………3分 所以椭圆的方程为 . ………………4分 （Ⅱ）设 ， ， ， 联立 消去 得 ……（*）， ………………6分 解得 或 ，所以 ， 所以 ， ， ………………8分 因为直线 的斜率为 ，所以 ， 解得 （满足（*）式判别式大于零）. ………………10分 到直线 的距离为 ， ………………11分 ， ………………12分 所以△ 的面积为 . ………………13分 19.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由已知 ， ………………2分 . 故曲线 在 处切线的斜率为 . ………………4分 (Ⅱ) . ………………5分 ①当 时，由于 ，故 ， 所以， 的单调递增区间为 . ………………6分 ②当 时，由 ，得 . 在区间 上， ，在区间 上 ， 所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . ………………8分 （Ⅲ）依题意，问题转化为 时，求 的取值范围. ……………9分 由已知 ………………10分 由(Ⅱ)知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意. (或者举出反例：存在 ，故不符合题意.) ………………11分 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 的极大值即为最大值， ， 所以 ，解得 . ………………13分 综上， 的取值范围为 ………………14分 20.（本小题满分14分） (Ⅰ) 解： , , . ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）解：因为 （ ）， 所以，对任意的 有 ， 即数列 各项的值重复出现，周期为 . ………………5分 又数列 的前6项分别为 ，且这六个数的和为7. 设数列 的前 项和为 ，则， 当 时， ， 当 时， ， ………………7分 所以，当 为偶数时， ；当 为奇数时， . ………………8分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的 有 ， 又数列 的前6项分别为 ，且这六个数的和为 . 设 ，（其中 为常数且 ）， 所以 . 所以，数列 均为以 为公差的等差数列. ………………10分 因为 时， ， 时， ， ………………12分 所以{ }为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次. 所以数列 中任意一项的值最多在此数列中出现6次， 即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分