教考资源 2010年高考数学试题分类汇编——函数 （2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。 若实数 、 、 满足 ，则称 比 接近 . （1）若 比3接近0，求 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ； （3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中接近0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x(2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ， 因为 ， 所以 ，即a2bab2比a3b3接近 ； (3) ,kZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，kZ． （2010湖南文数）21．（本小题满分13分） 已知函数 其中a<0,且a≠-1. （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设函数 （e是自然数的底数）。是否存在a，使 在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 （2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知 是给定的实常数，设函数 ， ， 是 的一个极大值点． (Ⅰ)求 的取值范围； (Ⅱ)设 是 的3个极值点，问是否存在实数 ，可找到 ，使得 的某种排列 (其中 = )依次成等差数列?若存在，求所有的 及相应的 ；若不存在，说明理由． 解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。 （Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a) 令 于是，假设 （1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当x1 a且x2 a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1
答案
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】 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. （2010陕西文数）21、(本小题满分14分) 已知函数f（x）= ，g（x）=alnx，a R。 （1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值 （a）的解析式； （3） 对（2）中的 （a），证明：当a （0，+ ）时， （a） 1. 解 （1）f’(x)= ,g’(x)= (x>0), 由已知得 =alnx， = ， 解德a= ,x=e2, 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= , 切线的方程为y-e= (x- e2). （2）由条件知 Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x= , 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0， ）上递减； 当x> 时，h (x)>0，h(x)在（0， ）上递增。 所以x> 是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ （a）=h( )= 2a-aln =2 Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a) 则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1 （2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， . 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )， . 当a≥0时， ＞0，故f(x)在(0,+ )单调增加； 当a≤－1时， ＜0, 故f(x)在(0,+ )单调减少； 当－1＜a＜0时，令 ＝0,解得x= .当x∈(0, )时, ＞0； x∈( ，+ )时， ＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）单调减少. 所以 等价于 ≥4x1－4x2, 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则 +4 ＝ . 于是 ≤ ＝ ≤0. 从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+ ) ， . （2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数 （I）讨论函数 的单调性； （II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。 解： （Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. . 当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少； 当-1＜ ＜0时，令 =0，解得 . 则当 时， ＞0； 时， ＜0. 故 在 单调增加，在 单调减少. （Ⅱ）不妨假设 ，而 ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于 ， ① 令 ，则 ①等价于 在（0，+∞）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分 （2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=x -3ax +3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间； （Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。 （1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。 （2）求出函数的导数 ，在（2，3）内有极值，即为 在（2，3）内有一个零点，即可根据 ，即可求出a的取值范围。 （2010江西理数）19. （本小题满分12分） 设函数 。 （1）当a=1时，求 的单调区间。 （2）若 在 上的最大值为 ，求a的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得： ，定义域为（0，2） （1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当a=1时，令 当 为增区间；当 为减函数。 （2） 区间 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定 待定量a的值。 当 有最大值，则必不为减函数，且 >0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 。 （2010安徽文数）20.（本小题满分12分） 设函数 ， ，求函数 的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】（1）对函数 求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列
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的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值. 【思维
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】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. （2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.) 已知函数 (其中常数a,b∈R), 是奇函数. (Ⅰ)求 的表达式; (Ⅱ)讨论 的单调性，并求 在区间[1,2]上的最大值和最小值. （2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数 （a-b） 0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间 上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分. （Ⅰ）解：当a=1时，f（x）= ，f（2）=3；f’(x)= , f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. （Ⅱ）解：f’(x)= .令f’(x)=0，解得x=0或x= . 以下分两种情况讨论： （1） 若 ，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - f(x) 极大值 当 等价于 解不等式组得-52，则 .当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当 时，f（x）>0等价于 即 解不等式组得 或 .因此21时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即 >2. （2010福建文数）22．（本小题满分14分） 已知函数f（x）= 的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g（x）=f(x)+ 是[ ]上的增函数。 （i）求实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 （2010福建文数）21．(本小题满分12分) 某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。 （2010全国卷1理数）(20)(本小题满分12分) 已知函数 . （Ⅰ）若 ，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： . （2010四川文数）（22）（本小题满分14分） 设 （ 且 ），g(x)是f(x)的反函数. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）当 时，恒有 成立，求t的取值范围； （Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与 的大小，并说明理由. （2010湖北文数）21.（本小题满分14分） 设函数 ，其中a＞0，曲线 在点P（0， ）处的切线方程为y=1 （Ⅰ）确定b、c的值 （Ⅱ）设曲线 在点（ ）及（ ）处的切线都过点（0,2）证明：当 时， （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 的三条不同切线，求a的取值范围。 （2010湖北文数）19.（本小题满分12分） 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。 （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6） （2010山东理数）(22)(本小题满分14分) 已知函数 . (Ⅰ)当 时，讨论 的单调性； （Ⅱ）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使 ，求实数 取值范围. （Ⅱ）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 ， 有 ，又已知存在 ，使 ，所以 ， ， 即存在 ，使 ，即 ，即 ， 所以 ，解得 ，即实数 取值范围是 。 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。 （2010湖南理数）20.（本小题满分13分） 已知函数 对任意的 ，恒有 。 （Ⅰ）证明：当 时， ； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 恒成立，求M的最小值。 解析： （2010湖北理数）17．（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。 （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。 （2010福建理数）20．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数 ， 。 （i）求函数 的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线C与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线C与其在点 处的切线交于另一点 ，线段 （Ⅱ）对于一般的三次函数 （Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】（Ⅰ）（i）由 得 = ， 当 和 时， ； 当 时， ， 因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。 （2010湖北理数） （2010安徽理数）17、（本小题满分12分） 设 为实数，函数 。 (Ⅰ)求 的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当 且 时， 。 （2010江苏卷）20、（本小题满分16分） 设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。 (1)设函数 ，其中 为实数。 (i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。 (2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数， ， ，且 ， 若| |<| |，求 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i) ∵ 时， 恒成立， ∴函数 具有性质 ； (ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。 当 时， ， ，故此时 在区间 上递增； 当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增； 当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ， 对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增； （方法二）当 时，对于 ， 所以 ，故此时 在区间 上递增； 当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为： ，而 当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得： 在区间 上递增。 综上所述，当 时， 在区间 上递增； 当 时， 在 上递减； 在 上递增。 (2)（方法一）由题意，得： 又 对任意的 都有 >0， 所以对任意的 都有 ， 在 上递增。 又 。 当 时， ，且 ， 综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于任意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。 ①当 时，有 ， ，得 ，同理可得 ，所以由 的单调性知 、 ， 从而有| |<| |，符合题设。 ②当 时， ， ，于是由 及 的单调性知 ，所以| |≥| |，与题设不符。 ③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。
浙公网安备 33021202002483