二阶非线性边值问题解的存在唯一性定理

二阶非线性边值问题解的存在唯一性定理� 马如云　　白定勇 (西北师范大学数学系, 兰州, 730070) 摘　要　考虑方程 y″+ f ( t, y , y′) = 0在边值条件 y ( a) = A , y ( b) = B下解的存在 唯一性 . 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 f 满足L2-Car atheodo ry条件,在L 2空间中利用压缩映象原理得到解唯 一存在的最优结果 . 关键词　非线性边值问题　压缩映象原理　最优结果 分类号　O175. 14 1　前言 在本文, 考虑边值问题 y″( t ) + f ( t , y ( t) , y′( t) ) = 0,　a≤ t≤ b ( 1. 1) y ( a) = A , y ( b) = B ( 1. 2) 解的存在性和唯一性 . 这里, f : [ a, b] × R2→ R满足 L 2-Car atheodo ry 条件,即 ( 1)　对每一个( u, v ) ∈ R2,函数 t∈ [ a, b] → f ( t, u, v ) ∈ R在[ a, b] 上可测; ( 2) 对 a. e. t ∈ [ a, b] ,函数( u, v ) ∈R2→ f ( t, u, v ) ∈ R在 R2上连续; ( 3) 对每一个 r > 0, 存在 �r ( t) ∈ L 2 ( a, b) , 使得对a. e. t ∈ [ a, b] 及满足 u2 + v 2≤ r 的所有( u, v ) ∈ R2,都有 � f ( t , u, v ) � ≤ �r ( t) . 对 f : [ a, b] × R2 → R连续的情形, 边值问题( 1. 1)、( 1. 2) 曾被许多作者研究过(参见文 [ 1] ～ [ 7] ) ,他们大多数是利用Picard迭代 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 和 Leray-schauder原理,在空间 C1[ a, b] 中进 行的讨论 . 本文的目的是在 L 2 ( a, b) 空间中利用压缩映象原理, 得到问题( 1. 1)—( 1. 2) 解的 存在唯一性结果, 并举例说明所得结果是最优的.本文结果是文[ 1] 中结果的推广. 在本文, 我们还假定 f 满足 Lipschitz条件: � f ( t, y , y′) - f ( t, x , x′) �≤ p ( t ) �y - x � + q ( t) �y′- x′�　t∈ [ a, b] ( 1. 3) 其中 p ( t ) ∈ L 2 ( a, b) , q( t) ∈ L 2( a, b) ,且在[ a, b] 上几乎处处大于零 . 由于A = B = 0的情形与问题( 1. 1)—( 1. 2) 并没有实质性的不同, 因此在后面,我们总假 定 A = B = 0. 将要用到的 Green函数是 —61— 第 14卷第 2期 1998: 61—64 纯粹数学与应用数学Pure and App lied M athemat ics V ol . 14 N o. 21998: 61—64 � 本文收到日期: 1997-11-04. G( t , s) = ( b - t) ( s - a) b - a , 　a≤ s≤ t ≤ b ( b - s) ( t - a) b - a , 　a≤ t≤ s ≤ b 显然, G( t , s) ≥ 0,并且很容易得到下面的不等式 ∫baG2( t, s) ds ≤ ( b - a) 3/ 48 ( 1. 4) 记　G t( t, s) = �� tG( t, s) ,则可得到 ∫ba�G t( t , s) � 2ds≤ ( b - a) / 3 ( 1. 5) 2　主要结果 定义算子 L : D ( L ) � L 2( a, b) → L 2 ( a, b) , Ly = d 2 y / dt 2 . 其中D ( L ) = { y ∈ L 2 ( a, b) � y , y′∈ AC[ a, b] , y″∈ L 2( a, b) ,且 y ( a) = y ( b) = 0} 则算子L 可逆, 其逆算子为一个积分算子 T : L 2( a, b) →L 2( a, b) ∩D ( L ) ,核函数为 G( t, s) ,即 T y ( t) =∫baG ( t, s) f ( s, y ( s) , y′( s) ) d s ( 2. 1) 这样( T y )′( t ) =∫baG t ( t, s) f ( s, y ( s) , y′( s) ) d s, y ∈ L 2( a, b) 空间L 2 ( a, b) 在通常的范数 ‖y‖L 2 = ∫ba�y ( t) � 2dt 12　 y ∈ L 2( a, b) 意义下是完备的 . 现在我们引进L 2 ( a, b) 的子空间E = { y ∈L 2( a, b) �y′∈L 2( a, b) } .对 y ∈ E, 规定 ‖y‖* = ‖p �y � + q�y′�‖L 2 = ∫ba�p ( s) �y ( s) � + q( s) �y′( s) �� 2ds 1/ 2 其中 p、q为( 1. 3) 中的 Lipschitz系数 . 容易看出,它定义了E 中一个范数,且得到的赋范空间 是完备的 . 在下面,我们在范数‖ �‖* 下来讨论问题 . 现在,我们叙述本文的结果 定理　设 f ( t , y , z ) 在[ a, b] × R2 上满足 Caratheodory 条件, 并且满足( 1. 3) ,则只要 �= b - a 3 1 2 �∫ba b - a4 p ( t ) + q( t) 2dt 12 < 1. ( 2. 2) 边值问题 y″( t) + f ( t , y ( t) , y′( t ) ) = 0 ( 2. 3) y ( a) = 0 = y ( b) ( 2. 4) 存在唯一解 y ∈L 2 ( a, b) . 证明　要证明问题存在唯一解,只须证明按( 2. 1) 定义的算子T 在L 2 ( a, b) 中是压缩的 . 注意到条件( 1. 3) 及( 1. 4)、( 1. 5) , 利用 Cauchy-Schw arz不等式,有 � ( T y - Tz ) ( t) � = ∫baG( t , s) [ f ( s, y ( s) , y′( s) ) - f ( s, z ( s) , z′( s) ) ] ds —62— 1998年 马如云等　二阶非线性边值问题解的存在唯一性定理 6月 ≤∫baG ( t, s) [ p ( s) �y ( s) - z ( s) � + q( s) �y′( s) - z′( s) � ] ds ≤ [∫baG2 ( t, s) d s ] 12 �[∫ba ( p ( s) �y ( s) - z ( s) � + q( s) �y′( s) 　 - z′( s) � ) 2ds ] 12 ≤ ( b - a) 3 2 4 3 �‖y - z‖*　 y , z ∈ L 2 ( a, b) ( 2. 5) d dt Ty ( t ) - d dt T z ( t ) = ∫baG t( t , s) [ f ( s, y ( s) , y′( s) ) - f ( s, z ( s) , z′( s) ) ] ds ≤∫ba�G t ( t, s) � �p ( s) � y ( s) - z ( s) � + q( s) �y′( s) - z′( s) ��ds ≤∫ba� G t( t, s) � 2ds 12 �‖y - z‖* ≤ ( b - a) 1 2 3 �‖y - z‖* y , z ∈ L 2( a, b) ( 2. 6) 所以,由( 2. 5)、( 2. 6) 得 ‖T y - Tz‖* = ∫ba [ p ( t) � ( Ty - Tz ) ( t ) � + q( t) � ddtTy ( t ) - ddtT z ( t ) � ] 2dt 12 ≤∫ba p ( t) �( b - a) 324 3 ‖y - z‖* + q( t ) �( b - a3 ) 12 �‖y - z‖* 2dt 1 2 = ( b - a 3 ) 1 2∫ba ( b - a)4 p ( t ) + q ( t) 2dt 12‖y - z‖* . 故当 � = ( b - a 3 ) 1 2∫ba ( b - a)4 p ( t ) + q ( t) 2dt 12 < 1 时, T 为压缩映象, 边值问题 ( 2. 3)—( 2. 4) 存在唯一解 . 完成了定理的证明 . 注: 1　如果 f 不含有 y′项,这时, ( 1. 3) 中的 q( t ) ≡ 0, a. e . t∈ [ a, b] ,则当 �= ( b - a) 3 2 4 3 ‖p‖L 2 < 1 时,边值问题 y″+ f ( t , y ) = 0 ,　a≤ t≤ b y ( a) = 0 = y ( b) 在 L 2( a, b) 中存在唯一解 . 2　如果 p ( t ) ≡ K , q( t) ≡ L , t∈ [ a, b] , ( K , L 为正常数) ,则定理中的 �改写为 � = b - a 4 3 ( ( b - a) K + 4L ) 3　为了说明结果是最优的, 我们只对于 p ( t) ≡ K ( K > 0常数) , q ( t) ≡ 0, t∈ [ a, b] 的 情形加以举例说明 . 问题 y″+ Ky = 0 ,　a ≤ t ≤ b y ( c) = 0 = y ( b) —63— 第 14卷 纯粹数学与应用数学 第 2期 当 b = 4814 / K 时, 有非平凡解 y = sin K t,同时还有平凡解 y ( t ) = 0. 所以,定理的结果 是最优的 . 参　考　文　献 1　P . B. Baily , L . F . Shampine & Waltman P . E. Nonlinear T wo Point Boundary Value Problems. Academic P ress, New Yo rk ( 1968) 2　L . Collatz, The Num er ical T r eatment o f Differ ential Equations, 3rd ed, Spr inger , Ber lin ( 1960) 3　W. J. Co les and Sherman, Tw o-point pr oblem s fo r nonlinear second order ordina ry differ ential equations. 513, Mat h. Res. Center , Univ . o f Wisconsin, Madison, Wisconsin ( 1964) 4　CH. Fabry and P . Habets, T he P icard boundary value pr oblem fo r nonlinear second order vecto r difter en- tial equat ions. J. Differ ent ial Equation, 42( 1981) , 186- 198 5　A. Granas, R. Guenther, and J. W . Lee, Nonlinear boundar y value pr oblems fo r some classes of o rdinar y differ ent ial equations, Rocky Mountain J. math. 10( 1979) , 35- 58 6　Antonion T ineo , An Ex istence Theor em for a class of BVP w ithout Restr ictions o f t he Bernstein-Nagumo T ype, J. M ath. Anal. and Appl. 175( 1993) , 25- 32 EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTIONS FOR THE SECOND ORDER NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEM Ma Rnyun　　　Bei Ding youn ( Depa rtment o f Mathemat ics, Nor thw est No rma l Univ ersity, L anzhou, 730070) Abstract In the paper w e study the ex istence and uniqueness o f solut ions for the equat ion y″+ f ( t , y , y′) = 0 w ith the boundar y condit ions u( a) = A , u( b) = B . By contraction mapping principle we get an optimum result in Banach space L 2 ( a, b) of the ex istence and uniqneness of so lut ions if f sat isf ies L 2-Caratheodory condit ions. Key words　nonlinear boundary value problem; 　contraction mapping principle; 　opt imum result 1991 MSC　34B15 —64— 1998年 马如云等　二阶非线性边值问题解的存在唯一性定理 6月