2011年考研数学微积分基础班07

2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 第 7 讲 定积分的应用 综合例题 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分应用问题的特征： z 解决定积分应用问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ( ) ii xfI Δ≈Δ ξ ; 求和取极限: ∫∑ =Δ= =→ b a n i ii dxxfxfI )()(lim 10 ξλ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ; ( )dxxfdII =≈Δ 积分求增量: . )()()( aFbFdxxfI b a −== ∫ 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积 { })()(,),( xgyxfbxayxD ≤≤≤≤= [ ]∫ −= ba dxxfxgA )()( 。 注：若连续函数 在区间 上变号，则 表示正负面积的代数和，有时 称为代数面积。 )(xf ],[ ba ∫= ba dxxfA )( 例 7.1 求 2 2xy = 与 2 3+= xy 围成的面积. 【解】 由 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += = 2 3 2 2 xy xy ，解得交点 3,1 =−= ba 。 3 16 22 33 1 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= ∫− dxxxA 。 例 7.2 求非负常数a，使 与2xxy −= axy = 所围封闭区域之面积为 4 9 。 【解】 当 时，10 << a 4 9)( 1 0 2 =−−∫ −a dxaxxx ， 0231 3 <−=a （舍） 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 当 时，1≥a 4 9)( 0 1 2 =−−∫ −a dxaxxx ， 3 231+=a . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 ( ) ⎩⎨ ⎧ ≤≤= = βα t tyy txx L )( )( : 确定, 其中 连续可导, , 则区域的面积 为 。 )(),( tytx 0)( ≥ty ∫ ′= βα dttxtyA )()( 例 7.3 求椭圆 1 49 22 =+ yx 围的区域的面积. 【解】解法一 第一象限部分的边界为 30,9 3 2 2 ≤≤−= xxy , π π 6cos249 3 24 2 0 21 0 2 ==−= ∫∫ tdtdxxA 。 解法二 椭圆 1 49 22 =+ yx 的参数方程为 π20,sin2,cos3 ≤≤== ttytx ， ∫∫ == 0 2 3 0 )()(44 π tdxtyydxA ππ 6)sin3(sin24 0 2 =−= ∫ dttt 3.极坐标系下区域的面积 设区域 为（D ϕρϕρ sin,cos == yx ）， { })(0,),( ϕρρβϕα ≤≤≤≤= yxD ， 则其面积为 ( )∫= βα ϕϕρ dA 221 。 例 7.4 求心形线 ( )0)cos1( >+= aa ϕρ 所围的面积. 【解】 ( )∫∫ == ππ ϕϕρϕϕρ 0 220 2 )(21 ddA 22 0 42 0 42 2 3cos8 2 cos4 atdtada πϕϕ ππ === ∫∫ 。 例 7.5 已知曲线 xay = （ ）与曲线0>a xy ln= 在点 处有公切线。 ),( 00 yx (1)求常数a及切点之坐标值 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com (2)求上述二曲线与 x轴所围图形的面积 【解】（1）由 00 2 1 2 1 xx a = 及 00 ln xxa = ，解得 ，切点为（ ） 1−= ea 1,2e (2) 面积为 dxxdxxaA ee ∫∫ −= 22 10 ln 212132 22 −−= ee 2161 2 −= e 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 { })(0,),( xfybxayxD ≤≤≤≤= 绕 x 轴 旋 转 生 成 的 旋 转 体 的 体 积 为 ∫= bax dxxfV )(2π 2. 绕 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 y { })(0,),( xfybxayxD ≤≤≤≤= 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫= bay dxxfxV )(2π 例 7.6 求由曲线 xyxy =−= ,2 2 及 轴所为平面区域绕y x轴及绕 轴旋转生成的旋 转体的体积. y 【解】 [ ] ππ 6 7)2( 1 0 2 =−−= ∫ dxxxVx ， 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 ( ) ππ 15 2222022 1 0 2 −=−−= ∫ dxxxVy 例 7.7 设常数 ，直线10 << a axy = 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们与直 线 所围成的图形面积为 。 2xy = 1A 1=x 2A （1） 试确定 的值，使 达到最小，并求出最小值； a 21 AA + （2） 求该最小值所对应的图形绕 x轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】（1） =dxxaxA a∫ −= 0 21 )( 361 a ， 31 2 2 6 1 23 1)( aadxaxxA a +−=−= ∫ 3 1 2 1 3 1 3 21 +−=+= aaAAA , 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 2 12 −=′ aA ， ，当02 >=′′ aA 2 1=a 时， 取到最小值 6 2 3 1) 2 1( −=A 。 A （2） 用小圆台法 ∫∫ −−− 1 2220 222 222 2 ]) 2 ()[(])() 2 [( dxxxdxxx ππ π 30 12 += 。 例 7.8 求曲线 上的一条切线，使该切线与直线)62(,ln ≤≤= xxy 6,2 == xx 所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段 )62(,ln ≤≤= xxy 的一条切线，使该切线与直线 6,2 == xx 及 此曲线段所围平面图形的面积最小。 设切点为 ，则切线方程为0x 00 0 ln)(1 xxx x y +−= ，该切线与直线 6,2 == xx 所围成平面 图形面积为 ∫ −−+= 62 0 0 00 ]ln)( 1[ln)( dxxxx x xxS 2ln26ln616ln4 0 0 +−+= xx 由 ，得 。 又有 0)( 0 =′ xS 40 =x ,2ln26ln6 3 86ln4)6( ,2ln26ln642ln8)( ,2ln26ln682ln4)2( 0 +−+= +−+= +−+= S xS S 所以 最小，故所求切线方程为 )( 0xS )4(4 14ln −+= xy . 例 7.9 过点 作曲线)0,1( 2−= xy 的切线，该切线与上述曲线及 x轴围成一平面图形 A。 （1）求 A的面积； （2）求 A绕 x轴旋转一周所成旋转体体积。 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 【解】（1）设切点坐标为 ，则在此点的切线斜率为),( 00 yx 22 1 0 0 −=′ = xy xx 在此点的切线方程为 2)( 22 1 00 0 −+−−= xxxxy 把点 代入上式得 ，切线方程为)0,1( 30 =x )1(2 1 −= xy ， 则 3 1)]12()2[( 1 0 2 =+−+= ∫ dyyyA （2） dxxdxxVx 2 3 2 23 1 )2()]1( 2 1[ ∫∫ −−−= ππ πππ 612132 =−= 7.1.3 光滑曲线的弧长 1. 直角坐标系中的光滑曲线 bxaxfy ≤≤= ),( 的弧长为 [ ]∫ ′+= ba dxxfl 2)(1 。 2. 参数方程下 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 β 的弧长为 [ ] [ ]∫ ′++′= βα dttytxl 22 )()( 。 α ≤≤== ttyytxx ),(),( 3. 极坐标系下光滑曲线 ( ) βϕαϕρρ ≤≤= , 的弧长为 ( ) [ ]∫ ′++= βα ϕϕρϕρ dl 22 )( 。 例 7.10 求心形线 ( )0)cos1( >+= aar ϕ 的弧长. 【解】 ( ) ( )∫ −++= π ϕϕϕ20 22 sincos1 dal ∫− += ππ ϕϕda cos22 atdtada 8cos8 2 cos22 2 00 === ∫∫ ππ ϕϕ 。 7.1.4 旋转体的侧面积 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 1. 直角坐标系中曲线 bxaxfy ≤≤= ),( 绕 轴旋转生成的旋转体的侧面积为 x [ ]∫ ′+= ba dxxfxfA 2)(1)(2π 。 2. 参数方程下曲线 βα ≤≤== ttyytxx ),(),( 绕 x轴旋转成的侧面积为 [ ] [ ]∫ ′++′= βαπ dttytxtyA 22 )()()(2 。 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 例 7. 11 设有曲 线 1−= xy , 过原点作其切 线, 求此曲线, 切线及 x轴为成 的平面区域绕 x 轴旋转一周所得到的旋 转体表面积. 【解】 可以求得切线为 xy 2 1= , 切 点为 ( . )1,2 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕 x轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 ∫ ′+= 21 21 12 dxyyA π ( )15563421 −=−= ∫ ππ dxx 。 由切线绕 x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 ππ 5 2 5 2 12 2 02 == ∫ dxxA 所以旋转体表面积 ( )1511 621 −=+= πAAA 。 例 7. 12 设外旋轮线的方程为 ⎩⎨ ⎧ >≤≤−= −= )0,20( )cos1( )sin( at tay ttax π ， （1）求它绕 x轴旋转一周生成的体积与侧面积； （2）求它绕 轴旋转一周生成的体积与侧面积。 y 【解】（1）体积为 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com ∫ −−ππ 20 22 )cos1()cos1( dttata ∫ −+−= ππ 20 323 )coscos3cos31( dtttta = 。 325 aπ 侧面积为 ∫ +ππ 0 22 )'()'(2 dtyxy ∫ += ππ 0 22 )'()'(2 dtyxy ＝ dtta∫ ππ 20 3 2sin8 ) 2 (cos) 2 cos1(16 2 0 2 tdta∫ −−= ππ = 2364 aπ （2）绕 轴旋转体积与侧面积分别为 y 体积： = ， ∫ −ππ 20 22 sin)sin( tdtatta 336 aπ 侧面积： ∫ +ππ 0 22 )'()'(2 dtyxx = ∫ −−ππ 0 cos22)sin(2 dtttta = 2216 aπ 7.2 定积分的物理应用 1. 平面图形的形心 设 在区间 上可积, 则平面图形 )(),( xgxf ],[ ba { })()(,),( xgyxfbxayxD ≤≤≤≤= 的形心为 [ ] [ ]∫ ∫ − −= b a b a dxxfxg dxxfxgx x )()( )()( [ ] [ ]∫ ∫ − − = b a b a dxxfxg dxxfxg y )()( )()( 2 1 22 例 7. 13 求半径为R的半圆板的形心. 【解】 设半圆板的圆心在原点, 由对称性, 0=x . R R dxxR y R R ππ 3 4 2 1 )( 2 1 2 22 = − = ∫− . 例 7. 14 假设区域 由曲线 D )0,0(3 >>= Pypxy 及其过点 的切线与),1( p x轴围成，设此区域的形心为 ， ),( YX （1）求 X 的值； （2）求 的值，使 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为p D π 135 7=yV 。 【解】（1） ppxy xx 33 1 2 1 ==′ == ， 切线为 。与)1(3 −+= xppy x轴交点为 )0,32( , 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com ppdxpxA 12 1 6 11 0 3 =−= ∫ ， 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 xdxxppdxxpxM y ])1(3[ 1 3 2 1 0 3 ∫∫ −+−⋅= dxpxpxp ∫ −−= 1 3 2 2 )23( 5 1 ppp 135 7) 9 41 27 81( 5 1 =+−−−= 45 28 135 84 ==X 。 （2） dy p yppV p y ∫−⋅−= 0 32 3 2 21 ]2) 3 2(31[ 3 1 ππ dy p ypp p∫−⋅−⋅= 0 32 3 2 21 ]2) 3 2(31[ 3 1 ππ ppp 5 3]2) 3 2(31[ 3 1 21 π pπ 135 14= π −⋅−⋅= 令 ππ 135 7 135 14 =p ，得到 2 1=p 。 或：由古耳金定理得到 pXAVy 12 1 135 8422 ⋅== ππ 2 1, 135 7 135 14 === pp ππ 。 2. 压力问题 同一深度的各方向的压强相等, 小微元的压力微元为 dAghdp ⋅= ， 其中h为该小微元离液面的高度, 为重力加速度，dA为该小微元的面积.积分可得压力. g 例7.15 将半圆形平板闸门垂直放入水中, 直径与水平面重合,水的密度为1,求闸门受的压 力. 【解】 以水平面为 轴, 垂直向下为 y x轴建立坐标系, dxxRxdp 222 −= , 其中R为半径. 压力 3 0 22 3 22 RdxxRxp R =−= ∫ 2. 引力问题 例 7. 16 有一长为 L、质量均匀分布、总质 量为M 的细杆, 在沿杆所在的直线上, 离其一端 相距为 的 处，放有一质量为 的O a P m 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 质点, 求杆对质点的引力. 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 【解】 取杆的微元 [ ]dxxx +, , 其对 P点的引力微元为 dx L M xal mgdF ⋅−+= 2)( 杆对质点的引力 )()(0 2 ala gmMdx L M xal mgF L +=⋅−+= ∫ 3. 变力作功 两个关键量的表达：（1）导致作功的力，（2）导致作功的有效路程 例 7. 17 将一半径为R的圆球压入水中, 使球体刚好与水平面相切, 求克服水的浮力作的 功(设水的密度为 1). 【解】平面曲线为 ， 222 )( RRyx =−+ O P L y 2R O 取厚度为 的水平薄片, 其受水的浮力微元为 , 导致 yΔ dyxdF 2π= 作功的有效行程为 ，因此功的微元（元功）为 , 所 作功为 )2( yR − dyyRxdW )2(2 −=π [ ] 42 0 22 3 4)2()( RdyyRRyRW R ππ =−−−= ∫ （公斤米）。 例7.18 一圆锥形油罐高10m，上方开口直径为10m,油面高度为8m，油的密度为480kg/ , 问将罐内的油全部抽出至罐外需作多少功。 3m 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 【解】建立坐标如图，圆锥侧母线为 xy 2= ，沿 轴方向将圆锥分割成小圆台，体积微元 为 y dyydv 2 2 π= ， 质量微元为 dyydm 2 2 480 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅= π ，导致作功的有效行程为 )10( y− 米， 因此功的微元（元功）为 dyyydw 2 4 )10(480 π−= ， 所作功为 dyyyw ∫ −= 80 2 4 )10(480 π )(8192)10(120 8 0 32 kgmdyyy ππ =−= ∫ 。 7.3 定积分综合问题 例 7.19 求由 与xyx 222 ≤+ xy ≥ 确定平面图形绕直线 2=x 旋转而成的旋转体体积 。 【解】（方法法 1）记 V yxyx =−−= 221 ,11 ， ⎩⎨ ⎧ = =⇒ ⎩⎨ ⎧ = =+ 1 1222 y x xy xyx dyxxdv ])2()2([ 22 2 1 −−−= ππ dyyy ])2()11[( 222 −−−+=π ∫= 10 dvV πππ 322])2()11[( 1 0 2 222 −=−−−+= ∫ dyyy 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （方法 2 记 221 2, xxyxy −== ， dxxxxx )2)(2(2 2 −−−= π dxyyxdv ))(2(2 12−= π − πππ 3 2 2 )2)(2(2 1 0 2 21 0 −=−−−== ∫∫ dxxxxxdvV 例 7.20 设 在 上 连 续 非 负 且 单 调 增 加 ， 为 区 域 ， )(xf ],[ ba ),( YX bxaRyxD ≤≤∈= |),{( 2 )}(0 xfy ≤≤ 的形心，证明 2 baX +≥ 。 【思路】本题要证 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2)( )( ba dxxf dxxxf X b a b a +≥= ∫ ∫ ，即证 0)( 2 )( ≥+−= ∫∫ dxxfbadxxxfI baba . （1） 将 视为变量，引入变上限的积分 ，证明 ， b )(xF 0)( ≥xF 这便是（方法 1）；将二个积分合并为一个积分号，再插入分点 2 ba + ， 把积分拆分为两个区间上的积分，利用 单调性对积分估计正负号， )(xf 形成（方法 2）；利用积分中值定理对积分进行估计，便形成（方法 3）。 【证】（方法 1） 令 dttfxadtttfxF x a x a )( 2 )()( ∫∫ +−= ， 则 ， 0)( =aF 而 dttfxfxaxxfxF x a )( 2 1)( 2 )()( ∫−+−=′ ))(( 2 1)()( 2 1 axfxfax −−−= ξ ( ))()()( 2 1 ξfxfax −−= . 其中 ),( xa∈ξ ，又 单调增加，因而 ，令)(xf 0)( >xF bx = ，则不等式(1)成立。 （方法 2）考虑（1）式中的积分合并后得到 dxxfbaxI b a )( 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= ∫ dxxfbaxbaa )(22 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= ∫ + dxxfbax b ba )(2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ ∫ + 将上述等号右端第一个积分记为 ， 单调增加，则 1I )(xf ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≤≤ 2 )(0 bafxf ， 0 2 <+− bax . 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 由积分的保序性（注意被积函数为负），因此 dxbafbaxI ba a ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−≥ ∫ + 222 1 . （2）再考虑前面等号右端中的第二个积分， 记为 ，注意2I ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≥ 2 )( bafxf ， 0 2 >+− bax ，由保序性又有 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 dxbafbaxI a ba ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−≥ ∫ + 22 2 2 . （3）将同向不等式（2）和（3）相加，则有 0 22 21 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≥+= ∫ dxbaxbafIII ba . （4）于是不等式（1）得证。 （方法 3）对（方法 2）中的 与 ，注意到1I 2I 2 bax +− 在两个积分号内分别保持定号， 而 连续，由积分中值定理则有 )(xf )()( 8 1 2 )( 1 22 11 ξξ fabdxbaxfI ba a −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= ∫ + )()( 8 1 2 )( 2 2 2 2 ξξ fabdxbaxf b ba −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−∫ +2I = 其中 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 ,1 baaξ ， ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∈ bba , 22 ξ ， 即有 12 ξξ > ，由 的单调性，则有)(xf )()( 12 ξξ ff ≥ ，于是 0))()(()( 8 1 12 2 21 ≥−−=+= ξξ ffabIII . 例 7.21 设 连续，)(xS ∫= x dttxS 0 cos)( , （1）当 为正整数时, 且n ππ )1( +≤≤ nxn 时,证明 )1(2)(2 +≤≤ nxSn . （2）求 x xS x )(lim+∞→ . 【解】（1） 0cos ≥x ，当 ππ )1( +≤≤ nxn 时， 为增函数，所以 )(xS 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com ∫ πn dtt0 cos ∫ +<≤ π)1(0 cos)( n dttxS ， 注意到 xcos 以π 为周期， ∫ πn dtt0 cos ndttn 2cos0 == ∫ π ， ∫ + π)1(0 cosn dtt )1(2cos)1( 0 +=+= ∫ ndttn π 于是得到 )1(2)(2 +≤≤ nxSn 。 （2）当 ππ )1( +≤≤ nxn 时， ππ n n x xS n n )1(2)( )1( 2 +≤≤+ ， 令 ，由夹逼准则得到 ∞→n π 2)(lim =+∞→ x xS x 。 例 7.22 设 在)(xf [ ]ba, 上连续，在 内可导，且),( ba 0)( >′ xf ，试证明：在 内存在 一点 ),( ba ξ ，使曲线 )(xfy = 与 )(ξfy = ， ax = 所围成的图形面积 是由曲线 与1S )(xfy = )(ξfy = ， 所围成平面图形 的 3 倍. bx = 2S 【解】 在 内取一点 ，则 ),( ba t ∫ −== ta dxxftftSS ))()(()(11 ， ， ∫ −== bt dxtfxftSS ))()(()(22 −−=−= ∫ta dxxftftStStF ))()(()(3)()( 21 ， ∫ −bt dxtfxf ))()((3 则只须证明 在 有且仅有一个零点)(tF ),( ba ),,( ba∈ξ 使得 0)( =ξF 。 注意到由 ，于是 在 内单调增加，由积分估值定理可得 0)( >′ xf )(tf ),( ba 0)( −= ∫ba dxxfbfbF )(tF ),( ba 另由 ，考察 在 内的单调性。 0)( >′ xf )(tF ),( ba −′−+=′ )()()()( tfattftF )()(3)()(3)( tftbxftbtf −+−− )]()()[(3)()( xftftbtfat −−+′−= 0)()(3)()( 1 >′−+′−= ξftbtfat 其中 ),(1 xt∈ξ 。于是 在 内单调增加，最多有一个零点。 )(tF ),( ba 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 综合上述分析，所以 在 有一个零点)(tF ),( ba ),,( ba∈ξ 使得 0)( =ξF 。 例 7.23（重复了） 例 7.24 设有三角形闸板，两直角边和为 将其竖直放入水中，使一直角与水面重合，另一 直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大？ 设水的密度为 1， 求出此最大压力． l 【解】以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为 y轴， yx − 平面与三角板所在 平面相平行建立坐标系, 并设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为 a 与 ，则有 ，斜边所在直线方程为 ka lkaa =+ kxy = . 记 为闸板承受的水压力，取横向分割， 表示面积，)(kP xdy yka − 为水深， 则有微分关系 于是 dxxaxkdyykaxkdP )()()( 22 −=−= 3 3232 0 22 )1(66 )()( +==−= ∫ k lkakdxxaxkkP a 4 32 )1(6 )2()( + −=′ k lkkkP ， 解得驻点 ，且 在驻点两则 2=k )(kP′ 变号(先正后负)，因此最大压力为 81 2)2( 3lP = 。 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层