矩阵的初等变换

1111 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 解方程组例 1111 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ ====−−−−++++ ====−−−−−−−− ====++++++++ 1111xxxx2222xxxxxxxx3333 3333xxxxxxxx3333xxxx4444 2222xxxxxxxx2222xxxx 333322221111 333322221111 333322221111 解 ① ② ③ ))))4444((((−−−−++++② ,,,,① ))))3333((((−−−−++++③ ①得 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 2222xxxxxxxx2222xxxx 333322221111 ====++++++++ ① ② ③ 5555xxxx5555xxxx11111111 33332222 −−−−====−−−−−−−− 5555xxxx5555xxxx5555 33332222 −−−−====−−−−−−−− ====AAAA ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 4 -3 -1 34 -3 -1 34 -3 -1 34 -3 -1 3 3 1 -2 13 1 -2 13 1 -2 13 1 -2 1 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 -5-5-5-5 0 -5 0 -5 0 -5 0 -5 -5-5-5-5 -5-5-5-5 加减消元的启示:::: §§§§2.6 2.6 2.6 2.6 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换 ③得 5555 1111 −−−− 2222 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 2222xxxxxxxx2222xxxx 333322221111 ====++++++++ ① ② ③ ② ③得 ① ② ③ ③ ②得11111111++++ 5555xxxx5555xxxx11111111 33332222 −−−−====−−−−−−−− 1111xxxxxxxx 33332222 ====++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 2222xxxxxxxx2222xxxx 333322221111 ====++++++++ 5555xxxx5555xxxx11111111 33332222 −−−−====−−−−−−−− 1111xxxxxxxx 33332222 ====++++ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 -5-5-5-5 0 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 0 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 -5-5-5-5 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 2222xxxxxxxx2222xxxx 333322221111 ====++++++++ ① ② ③ 阶梯形方程组 1111xxxxxxxx 33332222 ====++++ 6666xxxx6666 3333 ==== ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 1111111111110000 6666666600000000 3333 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 11112222 22221111 ====++++ xxxxxxxx ① ② ③ 00002222 ====xxxx 11113333 ====xxxx ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 1111000022221111 0000000011110000 1111111100000000 ②得方程组的解① 2222−−−− ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 11111111 ====xxxx ① ② ③ 00002222 ====xxxx 11113333 ====xxxx ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 1111000000001111 0000000011110000 1111111100000000 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 2222xxxxxxxx2222xxxx 333322221111 ====++++++++ ① ② ③ 1111xxxxxxxx 33332222 ====++++ 11113333 ====xxxx ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 1111111111110000 1111111100000000 ,,,,③① −−−− ③得② −−−− ③得 6666 1111 4444 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ：方程组的同解变换方程组的初等变换 ))))(((( 互换两个方程的位置；))))1111(((( 的两边；以非零数乘以某个方程))))2222(((( 一方程上。一个方程的倍数加到另))))3333(((( 消元 方程组 方程组的初等变换 阶梯形方程组 回代 阶梯形方程组 方程组的初等变换 方程组的解 矩阵的初等变换 换，即当于对增广矩阵进行变与未知量没有关系，相 项进行，变换只是对系数和常数对方程组进行三种初等 5555 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 定义定义定义定义2.112.112.112.11 下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:::: (((( )))) ；记作两行互换互换两行 )))),,,,,,,,((((1111 j j j ji i i i r r r rr r r rj j j ji i i i ↔↔↔↔ (((( )))) ;;;;2222 乘以某一行的所有元素以非零数 kkkk ）或记作行乘（第 i i i ii i i i kr kr kr krk k k kr r r rk k k ki i i i ××××,,,, (((( )))) .... 3333 ）记作 行上倍加到第行的对应的元素上去（第 倍加到另一行把某一行所有元素的 j j j ji i i i kr kr kr krr r r r i i i ik k k kj j j j k k k k ++++ 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换与与与与初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换统称统称统称统称为为为为初等变换．初等变换．初等变换．初等变换． 同理可定义矩阵的初等列变换((((所用记号是把 ““““rrrr””””换成““““cccc””””))))． 6666 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵： (1) 若有零行（元素全为零的行），位于底部； (2) 各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. 形矩阵行阶梯形矩阵与行最简定义 12121212....2222 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ 44440000000000000000 33331111000000000000 22223333222200000000 11110000000011110000 1 2 3 11 2 3 11 2 3 11 2 3 1 0 0 1 40 0 1 40 0 1 40 0 1 4 0 0 0 20 0 0 20 0 0 20 0 0 2 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 0 1 2 10 1 2 10 1 2 10 1 2 1 0 0 0 50 0 0 50 0 0 50 0 0 5 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2 1 0 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1 0 0 1 20 0 1 20 0 1 20 0 1 2 0 0 0 50 0 0 50 0 0 50 0 0 5 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 如 0 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (((( ))))aaaa 7777 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 从第一行第一个非零元素开始，划横线，遇到下一行第一 个非零元素时，向下作阶梯，继续划横线，遇到下一行第 一个非零元素时，向下作阶梯…………………… (1) 横线下方都是0； (2) 每阶只有一行，阶数即非零行行数。 行阶梯形矩阵判断方法 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ 00000000000000000000 33331111333300000000 22223333222200000000 11110000000011113333 不是行阶梯形矩阵 8888 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵： (1) 行阶梯形矩阵 (2) 各非零行的首非零元均为1. (3) 首非零元所在列其它元素均为０. 0 1 2 00 1 2 00 1 2 00 1 2 0 0 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 00 1 0 00 1 0 0 0 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 如 0 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 9999 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ====AAAA ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ −−−− −−−−−−−− 1111 3333 2222 222211113333 111133334444 111122221111 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111))))4444((((−−−− ))))3333((((−−−− )))) 5555 1111 ((((−−−− ))))11111111(((( 阶梯形矩阵： 每行非零首元的列数))))1111(((( 随行数的增加而增加； 零行在下方。))))2222(((( )))) 6666 1111 (((( ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 ))))1111((((−−−− 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 -5-5-5-5 0 -5 0 -5 0 -5 0 -5 -5-5-5-5 -5-5-5-5 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 -5-5-5-5 0 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 2222111122221111 0 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 0 -11 -5 -5-5-5-5 1111111111110000 1111111100000000 1111111111110000 6666666600000000 10101010 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ))))2222((((−−−− 则得方程组的解 ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ ==== ==== ==== 1111xxxx 0000xxxx 1111xxxx 3333 2222 1111 消元 增广矩阵 矩阵初等行变换 阶梯形矩阵 回代 阶梯形矩阵 矩阵初等行变换 行最简形矩阵 行最简形矩阵： 1111))))3333(((( ；每行的非零首元为 ))))4444(((( 其余元素为零。每行的非零首元所在列 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 0000000011110000 1111111100000000 1111000022221111 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 0000000011110000 1111111100000000 1111000000001111 11111111 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 例2 2 2 2 利用矩阵的初等行变换,,,,将 化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.... ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ ==== 24242424121212128888666644446666 1010101066662222333311110000 555511112222000011113333 999955554444333322223333 A 解 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 666622220000000000000000 1010101066662222333311110000 444444442222333311110000 999955554444333322223333 11114444 2222rrrrrrrr −−−− 11112222 r r r rr r r r −−−− ⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯AAAA 12121212 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 22223333 r r r rr r r r ++++ 33334444 r r r rr r r r −−−− ⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 000000000000000000000000 666622220000000000000000 444444442222333311110000 999955554444333322223333 行阶梯形矩阵 33332222 4444rrrrrrrr ++++ 33331111 5555rrrrrrrr −−−− ⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯ 33332222 1111 r r r r ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ −−−−−−−−−−−− −−−− 000000000000000000000000 333311110000000000000000 888800002222333311110000 666600004444333322223333 13131313 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ((((在行最简形矩阵基础上继续实施初等列变换可 将其化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形)))) F==== ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ 000000000000000000000000 000000000000111100000000 000000000000000011110000 000000000000000000001111 22221111 2222rrrrrrrr −−−− 11113333 1111 r r r r ⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯ 2222 r r r r−−−− ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠⎠⎠⎠ ⎞⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝⎝⎝⎝ ⎛⎛⎛⎛ −−−− −−−− 000000000000000000000000 333311110000000000000000 888800002222333311110000 3333 10101010 00000000111100001111 行最简形矩阵 标准形 14141414 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 称满足下列两个条件的矩阵为标准形： (1) 左上角为单位阵； 标准形 (2) 其它元素均为０. 1 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 00 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 00 1 0 00 1 0 0 0 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 如 1 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 00 0 1 0 00 0 1 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 0 01 0 01 0 01 0 0 0 1 00 1 00 1 00 1 0 0 0 10 0 10 0 10 0 1 0 0 00 0 00 0 00 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ E O E O E O E O O O O O O O O O ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 15151515 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 解 ====AAAA ))))3333((((−−−− ))))4444((((−−−− ))))1111((((−−−− ))))1111((((−−−− 2222xxxx3333xxxxxxxx2222xxxx 4444333322221111 ====++++++++++++ 1111xxxx4444xxxx2222xxxxxxxx3333 4444333322221111 ====++++−−−−++++ 3333xxxx7777xxxxxxxx3333xxxx4444 4444333322221111 ====++++−−−−++++ 3333xxxx2222xxxx4444xxxx3333xxxx 4444333322221111 −−−−====−−−−−−−−−−−− ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 22223333111122221111 11114444222211113333 −−−− 33337777111133334444 −−−− 33332222444433331111 −−−−−−−−−−−−−−−− ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 22223333111122221111 0000 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 0000 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 0000 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 例3 3 3 3 解方程组 16161616 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ )))) 5555 1111 ((((−−−− ))))2222((((−−−− 1111 2222 1111 3333 2222 0000 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 5555−−−− 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 1111 2222 1111 3333 2222 0000 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦⎦ ⎤⎤⎤⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎣⎣⎣⎣ ⎡⎡⎡⎡ 1111 0000 1111−−−− 1111 0000 0000 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 17171717 线性代数 第二章 §2.62.62.62.6线性代数 第二章 §2.62.62.62.6 得同解方程组 ⎩⎩⎩⎩ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 0000xxxxxxxxxxxx 444433331111 ====++++−−−− 1111xxxxxxxxxxxx 444433332222 ====++++++++ ⎩⎩⎩⎩ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 444433331111 xxxxxxxxxxxx −−−−==== 444433332222 xxxxxxxx1111xxxx −−−−−−−−==== 称为自由未知量。，其中， 44443333 xxxxxxxx ,,,,ccccxxxxccccxxxx 2222444411113333 ======== ，令 得方程组的 解为 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎧⎧⎧⎧ 222211111111 ccccccccxxxx −−−−==== 222211112222 cccccccc1111xxxx −−−−−−−−==== 11113333 ccccxxxx ==== 22224444 ccccxxxx ==== ))))cccccccc(((( 22221111 为任意常数， 为任意常数。，其中 22221111 cccccccc