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Algèbre 9.pdf

Algèbre 9

國際救難犬
2011-05-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《Algèbre 9pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUENBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUEALGÈBREChapitreRéimpressioninchangéedel’éditionoriginalede©Hermann,Paris,©NBourbaki,©NBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbergISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspaysLaloidumarsinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticlesetsuivantsduCodepénalSpringerestmembreduSpringerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:WMXDesignGmbH,HeidelbergImprime´surpapiernonacideYLCHAPITREIXFORMESSESQUILINÉAIRESETFORMESQUADRATIQUESSaufmentionexpresseducontraire,touslesanneauxconsidérésdanscechapitresontsupposésadmettreunélémentuniténotétouslesmodulessontsupposésunitairespourtouthomomorphismefd'unanneauAdansunanneauBonsupposequef()=SJFormessesquilinéairesApplicationsbilinéairesDanscenol'ondésigneparAetBdeuxanneaux,parEunAmoduleàgauche,parFunBmoduleàdroite,etparGun(A,B)bimodule,c'estàdireungroupecommutatifmunid'unestructuredeAmoduleàgaucheetd'unestructuredeBmoduleàdroitetellesquel'onait(ag)b=a(gb)quelsquesoienta=A,~EB,~EGDÉFINITIONOnditqu'uneapplicationduproduitExFdansGestbilinéairesiellesatisfaitauxconditionssuivantes:()(xx',Y)=(x,Y)',Y)quelsquesoientxEE,x'EE,yEF()(x,YY')=(x,Y)(x,Y')quelsquesoientxEE,yEF,y'EF()(ax,y)=a(,y)quelsquesoientaEA,xEE,yEF()(x,yb)=(x,y)bquelsquesoientxEE,yEF,bEBLeproduittensorielE,Festcanoniquementmunid'unestructurede(A,B)bimodulecaractériséepara(xy)b=axyb(ChapIII,eéd,AppII,no),etladonnéed'uneapplicationbilinéairedeExFdansGéquivautàcelled'uneapplicationYdeE,FdansGquisoitunhomomorphismepourlesstructuresde(A,B)bimodulesetquivérifieY(xy)=(x,y)quelsquesoientzEEetyEFLesconditionsimposéesàparladéfinitionsignifientquelesapplicationspartielles(y):x(x,y)etsa(x):y(x,y)sontrespectivementuneapplicationAlinéairedeEdansGetuneapplicationBlinéairedeFdansGMunissonslegroupecommutatifiçA(E,G)(respi$(F,G))delastructuredeBmoduleàdroite(respdeAmoduleàgauche)définieparub(x)=u(x)b(uE!(E,G),XEE,~EB)(respao(y)=av(y)(a=A,u~c$(F,G),~EF))Alorslesconditions()à()sontrespectivementéquivalentesa:quelsquesoientx,x'dansE,y,y'dansF,aEA,bEBautrementdit,l'applicationdeFdans*(E,G)estBlinéaire,etl'applicationsa,deEdansY,(F,G)estAlinéaireOna,pardéfinition()(x,y)=d,(y)(x)=s,,(x)(y)quelsquesoientxEE,yEFDEFINITIONEtantdonnéeuneapplicationbilinéairedeExFdansG,l'applicationdadeFdansgA(E,G)(respl'applicationsa,deEdansYB(F,G))caractériséepar()estappeléel'applicationlinéaireassociéeàdroite(respàgauche)àInversementladonnéed'uneapplicationBlinéaireddeFdans,(E,G)(respd'uneapplicationAlinéairesdeEdansif,(F,G))déterminedefaçonunique,parlaformule(x,y)=d(y)((resp(x,y)=s(x)(y))uneapplicationbilinéairedeExFdansG,dontd(resps)estl'applicationlinéaireassociéeàdroite(respàgauche)DÉFINITIONUneapplicationbilinéairedeExFdansGestditedégénéréeàdroite(respàgauche)s'ilexisteunélémentnonnuly,deF(respxodeE)telque(x,yo)=OpourtoutxEE(resp(x,,y)=OpourtoutyEF)Onditque<DestdégénéréesielleestdégénéréeàdroiteousielleestdégénéréeàgauchePourquesoitnondégénéréeàdroite(respàgauche)ilfautetilsuffitquel'applicationlinéaireassociéeàdroite(respàgauche)àsoitinjectivedirequeestnondégénéréesignifiedoncquelesapplicationslinéairesassociéesdaets~sonttoutesdeuxinjectivesSoient(ei)ieIet(fk)kEKdeuxfamillesd'élémentsdeEetF,etsoient(a*et(b,),,,deuxfamillesd'élémentsdeAetBnulsàl'exceptiond'unnombrefinid'entreeuxIlrésultedeségalités()à()'parrécurrencesurlenombredescoefficientsnonnuls,quel'onaSi(ei)et(fk)sontdessystèmesdegénérateursdesmodulesEetF,<Destdonccomplètementdéterminéeparlesélémentsgik=(ei,fk)Si(ei)et(fk)sontdesbasesdeEetFetquel'onsedonnedesélémentsgikdeG(iE,kEK),alorslaformuledéfinituneapplicationdeExFdansG,quiestbilinéaireetquivérifie(ei,fr)=gikLorsque(ei)et(fk)sontdesbasesfinies,onditque((et,fk))estlamatricede<DparrapportàcesbasesLesapplicationsbilinéairesdeExFdansGformentévidemmentunsousgroupedugroupeadditifdesapplicationsdeExFdansGD'autrepartsoita(respb)unélémentducentredeA(respB)alorsl'applicationabdeExFdansGdéfiniepar(aab)(x,y)=a<D(x,y)bestbilinéaireL'ensembledesapplicationsbilinéairesdeExFdansGestainsimunid'unestructuredebimodulesurlescentresdeAetBSoientE'(respFi)unAmoduleagauche(respunBmoduleàdroite),u(respv)unhomomorphismedeEdansE'(respdeFdansF')et'uneapplicationbilinéairedeE'xFrdansGOnappelleimageréciproquedeO'(relativementauetv)l'applicationbilinéaire<ideExFdansGdéfinieparOnvérifieaisémentquel'onaquelsquesoientxEE,yEFSoientOuneapplicationbilinéairedeExFdansG,ethunhomomorphisme(pourlesstructuresde(A,B)bimodules)deGdansunautre(A,B)bimoduleGrAlorshoestuneapplicationbilinéairedeExFdansGr,ApplicationssesquilinéairesDanscenol'ondésigne,saufmentionexpresseducontraire,parAetBdeuxanneaux,parEunAmoduleagaucheetparFunBmoduleàgauchel'ondésigneparbtbJ(bEB)unantiautomorphismedeB,c'estàdireunebijectiondeBsurluimêmequivérifie(bc)~=bJcJet(bc)J=cJbJquelsquesoientb,cdansBonécriraJ'aulieudeJlOndésigneparGun(A,p)bimodule(no)DÉFINITIONOnditqu'uneapplicationdeExFdansGestsesquilinéaireadroitepourJsiellesatisfaitauxconditions(l),(),()(déf,no)ainsiqu'à()(x,by)=(x,y)bJquelsquesoientxEE,yEFetbEBSiJestl'identité(cequiexigequeBsoitcommutatif),onretrouvelanotiond'applicationbilinéaireSoient(ei)iEIet(f,),,,deuxfamillesd'élémentsdeEetF,etsoient(ai)iEIet(bk)kEKdesélémentsdeAetBnulsàl'exceptiond'unnombrefinid'entreeuxOnaalorsCommedanslecasd'uneapplicationbilinéaire,leséléments(ei,fk)déterminentdefaçonuniquelorsque(ei)et(fk)sontdessystèmesdegénérateurs,etpeuventêtreprisarbitrairementlorsque(ei)et(fk)sontdesbasesdeEetFlorsque(ei)et(fk)sontdesbasesfinies,onditque((ei,fE))estlamatricedeparrapportàcesbasesCommepourlesapplicationsbilinéaires,ondéfinitsurl'ensembledesapplicationssesquilinéairesàdroite(pourJ)deExFdansGunestructuredebirnodulesurlescentresdeAetBOndéfinitlanotiond'imageréciproqued'uneapplicationsesquilinéaireparlamêmeformulequepouruneapplicationbilinéaireNousallonsdurestevoirquel'étudedesapplicationssesquilinéairespeutserameneràcelledesapplicationsbilinéairesDÉFINITIONSoientBunanneau,FunBmoduleàgauche(respàdroite)etJunantiautomorphismedeBOndésigneparFJleBmoduleadroite(respàgauche)ayantmêmegroupeadditifsousjacentqueFetdanslequellaloidecompositionexterneest(b,y)tbJ'y(resp(b,y)ybJ')(bEB,y€F,J'=Jl)Aveclesnotationsdeladéfinition,uneapplicationlinéairedeFJdansunBmoduleàdroite(respàgauche)Hs'identifiedoncàuneapplicationZlinéaireudeFdansHvérifiantu(by)=u(y)bJ(respu(yb)=bJu(y))(bEB,yEF)L'applicationudeFdansHestuneapplicationsemilinéairedeFdansHrelativeàJ(chapII,App,no)'sil'onconsidérecommeunisomorphismedel'anneauBoopposédeBsurB,etFcommeunBomoduleàdroite(respàgauche)Demêmeuneapplicationsesquilinéaireàdroite(pourJ)deExFdansG,oùFestunBmoduleàgauche,s'identifieàuneapplicationbilinéairedeExFdansGsicettedernièreestdégénéréeàdroite(respdégénéréeàgauche,nondégénérée),onditqueestdégénéréeàdroite(respdégénéréeàgauche,nondégénérée)RemarqueSoientAetBdeuxanneaux,JIunantiautomorphismedeA,MunAmoduleàdroite,NunBmoduleàdroiteetGun(A,B)bimoduleOnditqu'uneapplicationdeMxNdansGestsesquilinéaireàgauchepourJ,sielleestZbilinéaireetsiellevérifie()(xa,yb)=aJl(x,y)b(xEM,yEN,aEA,bEB)Unetelleapplications'identifieàuneapplicationbilinéairedeMJxNdansGNouslaisseronssouventaulecteurlesoindetransposerauxapplicationssesquilinéairesàgauchelesdéfinitionsetpropriétésdonnéespourlesapplicationssesquilinéairesàdroitelorsquenousparleronsd'applicationsesquilinéaire(sanspréciser),ils'agirad'uneapplicationsesquilinéaireàdroiteOrthogonalitéSommesdirectesd'applicationsbilinéairescrusesquilinéairesDansceno,AetBdésignentdesanneaux,EunAmoduleàgauche,FunBmoduleàdroite(respàgauche),Gun(A,B)bimodule,etuneapplicationbilinéaire(respsesquilinéairepourunantiautomorphismedonnéJdeB)deExFdansGDÉFINITIONDeuxélémentszEEetyEFsontditsorthogonauxparrapportàsi(z,y)=ODeuxpartiesErcEetFrcFsontditesorthogonalessi,quelsquesoientxEE'etyEFr,xetysontorthogonauzL'ensembledesélémentsdeE(respF)orthogonauxàunsousmoduledonnéNdeF(respMdeE)estunsousmoduledeE(respF),qu'onappellelesousmoduletotalementorthogonal(ousimplementorthogonal)àN(respM),etqu'onnoteNo(respMo)SoientHetH'deuxsousmodulesdeEoudeFOnaHc(HO)O(quel'onnoteHm)siHcH',onaHrOHoIlenrésultequel'onaHo(Hm)OetHoc(Ho)menposantonadoncHO=HOoPourquel'applicationsoitdégénérée(no,déf)ilfautetilsufitquel'unaumoinsdesdeuxsousmodulesEO,Fosoitf{OIlestclairque(z,y)nechangepaslorsqu'onajouteàx(respy)unélémentdeF(respEO),etdéfinitdoncparpassageauquotientuneapplicationbilinéaire(ousesquilinéaire)sur(EFO)x(FIE)celleciestvisiblementnondégénéréeonl'appellel'applicationbilinéaire(ousesquilinéaire)nondégénéréeassociéeàSoient(E,,unefamilledeAmodulesagauche,(Fi)iEIunefamilledeBmodulesàdroite(respagauche),miuneapplicationbilinéaire(respsesquilinéaireàdroitepourJ)deEixFidansGNotonsE(respF)lemodulesommedirectedesEi(respFi)Onvoitaussitôtquel'applicationdeExFdansGdéfiniepar(sommequiaunsenspuisquesestermessontnulsal'exceptiond'unnombrefinid'entreeux)estbilinéaire(respsesquiiinéaireàdroitepourJ)Onl'appellelasommedirectedesapplicationsmiIIestclairqueEiestorthogonalàFiparrapportàcf,pourifjRéciproquement,soitQuneapplicationbilinéaireousesquilinéairedeExFdansG,etsupposonsqueEsoitsommedirectedesousmodules(Ei)$,,etFsommedirectedesousmodulestelsqueEisoitorthogonalàFipourifjalorsestlasommedirectedesesrestrictionsauxproduitsEixFi(iE)Pourquesoitnondégénérée,ilfautetilsufitquechacunedesQilesoitdanscesconditions,lesousmoduleorthogonalaEiestCFii#iChangementd'anneauxdebaseDansceno,l'ondésigneparA,B,A',Brquatreanneaux,parheth'deshomomorphismesdeAdansA'etdeBdansB'respectivement,parGun(A,B)bimodule,parG'un(A',Br)bimodule,etparuunhomomorphismedugroupeabéliensousjacentàGdanslegroupeabéliensousjacentaGr,vérifiant()u(agb)=h(a)u(g)h'(b)(aEA,gEG,bEB)SoitE(respF)unAmoduleàgauche(respunBmoduleàdroite)Rappelons(ChapIII,eéd,AppII,no)que,sil'onconsidèreA'(respB')commeunAmoduleàdroite(respBmoduleAgauche),leproduittensorielE'=A'€,E(respF'=F,Br)estmunid'unestructuredeA'moduleàgauche(respBrmoduleàdroite)définiepar()a(alx)=(aia')x(a',aEA',xEE)(resp(yb')b=y(b'b)(b',bEB',yEF))PROPOSITIONSoientEunAmoduleàgaucheetFunBmoduleàdroiteposonsE'=A',EetF'=F,B'PourtouteapplicationbilinéairedeExFdansG,ilexisteuneapplicationbilinéaire'etuneseuledeErxF'dansG'tellequel'onait()'(a€x,y€b')=a'u((x,y))b'quelsquesoienta'EA',b'EB',xEE,yEFL'unicitédea'résultedufaitquelesélémentsa'xetyb'engendrentEretF'respectivementPourendémontrerl'existence,considéronsl'applicationm:(a',x,y,')a'u(<D(z,y))b'deA'xExFxB'dansGelleestévidemmentZmultilinéaire,etellevérifiem(al,ax,y,b')=m(alh(a),x,y,b')etm(ai,x,yb,b')=m(a',x,y,hl(b)b')(~EA,beB,a=A',~'EB',xEE,~EF)IlexistedoncuneapplicationZbilinéaire'deErxF'dansGrvérifiant()(ChapIII,eéd,AppII,no,prop)CetterelationetladéfinitiondesstructuresdemodulesdeEretF'par()montrentquea'estbilinéaire,cequitermineladémonstrationLeshypothèsesetnotationsétantcellesdelaproposition,étudionsmaintenantlesapplicationslinéairesassociéesàetàa'(no,déf)Pourcelanousallonsd'aborddéfinirunhomomorphismecanoniquede!fA(E,G)dansYA,(E,Gr)PourtoutvEYA(E,G)l'application(a',x)a'u(v(x))deA'xEdansGrestZbilinéaire,et,vu(il),applique(alh(a),x)et(a',ax)(aEA)surlemêmeélémentdeG'elledéfinitdonc(chapIII,'éd,AppII,noset)uneapplicationk(v)deE'=A',EdansG'tellequek(v)(alx)=a'u(v(x)),etqui,vu(),estA'linéaireEnoutrel'ondéduitimmédiatementde()quel'applicationvk(v)de!lA(E,G)dans'(Et,G')vérifiek(vb)=k(v)hl(b)pourtoutbEBNotonsil'applicationcanoniqueyydeFdansF'AlorslediagrammedFVA(E,G)()lidaxF'Y,,(E,G')(oùdaetda*désignentlesapplicationslinéairesassociéesàdroiteàeta')estcommutatifEneffet,pourxEE,yEFeta'EA',onad,(i(y))(alx)='(a'x,y)=a'u((x,y))=a'u(d(y)(x)),c'estàdired(i(y))(a'x)=k(d(y))(a'x)OnaunerelationdecommutationanaloguepourlesapplicationslinéairessaetsaassociéesàgaucheàetWPROPOSITIONSupposonsqueBetB'soientmunisd'antiautomorphismesJettelsque()h'(bJ)=hl(b)'pourtoutbEBSoientEunAmoduleàgaucheetFunBmoduleàgaucheposonsE'=A',EetF'=B',FPourtouteapplicationsesquilinéaire(pourJ)à>deExFdansG,ilexisteuneapplicationsesquilinéaire(pour)<D'etuneseuledeE'xF'dansG'telleque()'(ax,b'y)=a'u(<D(x,y))O"quelsquesoienta'EA',b'EB',xEE,yEFL'unicitéde'résultedufaitque'lesproduitstensorielsalxetb'yengendrentE'etF'respectivementPourenétablirl'existence,considéronsl'applicationm:(a,x,b',y)a'u(<D(x,y))b"deA'xExB'xFdansG'ElleestévidemmentZmultilinéaire,et,comptetenude()et(),vérifiem(al,ax,b',y)=m(alh(a),x,b',y)etm(a,x,b',by)=a'u((x,y))h'(bJ)D"=m(al,x,b'hl(b),y)(aEA,bEB,a'EA',b'EB',zEE,yEF)IlexistedoncuneapplicationZbilinéaire'deE'xF'dansG'vérifiant()(chapIII,eéd,AppII,no,prop)Cetterelation,ainsiqueladéfinitiondesstructuresdemodulesdeEretFrpar(),montrent,comptetenude(),que'estsesquilinéairepour,cequiachèveladémonstrationLesexempleslesplusimportantsde(A',Br)bimodulesGr,munisd'applicationsZlinéairesudeGdansGrvérifiant(il),sontlessuivants:)OnprendpourG'leproduittensorielA',G,Br(chapIII,eéd,AppII,no)etpourul'applicationgtgi(gEG)deGdansGrLecouple(Gr,u)ainsidéfiniestvisiblementuniverseldansleSenssuivant:pourtout(A',Br)bimoduleGettouteapplicationZlinéaireu,deGdansGivérifiantl'analoguede(il),ilexisteuneapplicationZlinéairefetuneseuledeGrdansGtellequef(arg'b')=arf(g')b'(a'EA',g'EGr,b'EBrautrementditfestunhomomorphismepourlesstructuresdebimodulesdeGretGi)etqueu,=fu)LorsqueA=B=G(lastructurede(A,A)bimoduledeAétantdéfinieparleshomothétiesàgaucheetàdroite),A'=Br,eth=h'onpeutprendrepourGrl'anneauA'etpourul'homomorphismehdeAdansA')Supposonsquel'onaitA=B,A'=Br,h=h',quelesanneauxAetA'soientcommutatifs,etquelastructuredeAmoduleàgauchedeGcoincideavecsastructuredeAmoduleàdroiteOnpeutalorsprendrepourG'leproduittensorielA',G(lastructuredeArmoduleàdroitedeG'coïncidantavecsastructuredeA'moduleAgauche)etpourul'applicationgg(gEG)deGdansGrNousdironsalorsquel'applicationbilinéaire(respsesquilinéaire)'définieparlaprop(respprop)estobtcnueàpartirdeparextensiondel'anneaudebase,ouparextensiondesscalairesCequisuitestvalableaussibienpourlesapplicationsbilinéairesquepourlesapplicationssesquilinéaireslesliypotliésesetnotationssontcellesdelaprop(respprop)ÉtantdonnéunsousmoduleMdeEouF,ondésigneraparM'lesousmoduledeE'ouF'engendréparl'imagecanoniquedeMPROPOSITIONLeshypothèsesetnotationsétantcellesdelaprop(respprop)supposonsdeplusqueA,B,A',B'soientdescorpsetquelesapplicationsaetpdeA'€,GetG,BrdansG'caractériséespara(alCg)=alu(g)etp(g€b')=u(g)b'(a'EA',b'EB',gEG)soientinjectivesSoientMunsousespacedeEetNunsousespacedeFAlorslesousespace(M)OdeF'orthogonalàM'parrapportà'estégalà(Mo)',et,demême,ona(N)O=(No)'Eneffetlesinclusions(Mo)'c(M)Oet(No)'c(N)Osontévidentes(etd'ailleursvraiessanshypoth

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