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Algèbre commutative 8-9.pdf

Algèbre commutative 8-9

國際救難犬
2011-05-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《Algèbre commutative 8-9pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKINBOURBAKIALGÈBRECOMMUTATIVEChapitresetRéimpressioninchangéedel'éditionoriginaledeQMasson,ParisONBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbergISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpnngerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdemduction,dereproductionetd'adaptationréservéspourtouspaysLaloidumarsinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel'auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticlesetsuivantsduCodepénalSpringerestmembreduSpringerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:designproduction,HeidelbergImprimésurpapiernonacideBNLCHAPITREVIDimensionDanscechapitre,touslesanneauxsontsupposéscommutatifs,lesalgèbressontassociatives,commutativesetuni$èresSoitAunanneauSiaestunidéaldeAetnunentiernégatif,onposea"=APourtoutidéalpremierpdeA,onnote~(p)lecorpsrésidueldel'anneaulocalA,ilestcanoniquementisomorpheaucorpsdesfractionsdel'anneauAp(II,,no,prop)SiAestlocal,onnotem,sonidéalmaximaletK,=Atm,=~(m,)soncorpsrésiduelSoitp:ABunhomomorphismed'anneauxOnnote"pl'applicationcontinuedeSpec(B)dansSpec(A)associéeàp(II,§,no)Ondit(V,,no,déf,)qu'unidéalpremierqdeBestaudessusdel'idéalpremierpdeAsipestl'imagedeqpar'p,c'estàdiresip'(q)=pSoitMunBmodulelorsquenousconsidéreronsMcommeAmodule,ils'agiratoujoursdelastructuredeAmodulep,(M)définieparlaloiexterne(a,m)Hp(a)m(A,II,p)SoitMunAmoduleSiU(respV)estunsousgroupeadditifdeA(respM),onnoteUVouUVlesousgroupeadditifdeMengendréparlesproduitsUV,pouruEUetvEVSiSestunepartiedeA,onnoteSMlesousmoduleSMdeMl'idéalrsSdeAengendréparSestégalùSAetl'onaM=SMDIMENSIONDEKRULLD'UNANNEAUDimensiondeKrud'unespacetopologiqueDÉFINITIONSoitunensembleordonnéUnepartiefinienonvideettotalementordonnéedeestappeléeunechaînedeSoitcunechaînedelepluspetitetleplusgrandélémentdecsontappeléslesextrémitésdecL'entierCard(c)estappelélalongueurdecLarelationd'inclusiondansl'ensembledespartiesdeinduitunerelationd'ordredansl'ensembledeschaînesdeUnechaînecdeestditesaturéesielleestmaximaleparmileschaînesdeayantlesmêmesextrémitésquecACVIDIMENSIONPourdésignerunechaînecdelongueurn,onécrirasouvent:«lachaînei,<<in»,oùlesi,sontlesélémentsdecindexésdefaçonstrictementcroissanteparlesentiersdeOànSoitXrinespacetopologiqueOnmunitl'ensembledespartiesferméesirréductiblesdeX(II,,no,déf)delarelationd'ordredéfinieparl'inclusionLorsquel'onparlerad'unechaînedepartiesferméesirréductiblesdeX,ils'agiratoujoursd'unechaîneausensdecetterelationd'ordreDÉFINITIONOnappelledimensiondeKrulldel'espacetopologiqueXetonnotedimkr(X)ousimplementdim(X)labornesupérieuredansRdel'ensembledeslongueursdeschaînesdepartiesferméesirréductiblesdeXPourtoutpointxdeX,onappelledimensiondeKrulldeXenxetonnotedim,(X)luborneinférieuredesdimensionsdesvoisinagesouvertsdexOnadim()=mParcontre,siXn'estpasvide,l'adhérencedetoutpointdeXestunepartieferméeirréductibledeX(II,§,no,prop)etladimensiondeXestdonccoouunentierpositifSupposonsqueXsoitséparéetnonvidealorstoutepartieirréductibledeXestréduiteàunpoint,etXestdedimensionOLadéfinitiondeladimensiondeKrullestdoncdénuéed'intérêtpourlesespacesséparés,maiselleestspécialementadaptéeauxespacestopologiquesrencontrésenAlgèbreCommutative(spectresd'anneaux,*schémas*,)Danscechapitre,aucuneconfusionn'estàcraindreavecd'autresnotionsdedimensiondesespacestopologiques(parexemple,celledeLebesgue),etnousdironssimplement«dimension»pour«dimensiondeKrull»PROPOSITIONSoitXunespacetopologiquea)SiYestunsousespacedeX,onadim(Y)<dim(X),etdim,(Y)<dim,(X)pourtoutpointydeYb)SoientxunpointdeXetVunvoisinagedexdansXOnadim,(X)=dim,(V)c)Soit(Xi),,,unefamillefiniedeparfiesferméesdeXtellequeX=UX,OnaIEIalorsdim(X)=supdim(X,)et,pourtoutpointxdeX,onadim,(X)=supdim,(X,),ieliaJ,oùJ,désignel'ensembledesiGtelsquexEX,Démontronsa)SiZestunepartieferméeirréductibledeY,sonadhérenceZdansXestirréductible(II,nu,prop)etl'onanY=ZAinsi,toutechaînecdepartiesferméesirréductiblesdeYdéfinit,parpassageàl'adhérencedansX,unechaînedepartiesferméesirréductiblesdeX,demêmelongueurquecL'inégalitédim(Y)ddim(X)résultedecelaSiUestunepartieouvertedeXcontenantunpointydeY,onadoncdim(UnY),<dim(U),d'oùdim,(Y)<dim,(X)Démontronsb)Onapardéfinitiondim,(X)<dim,(V),etl'inégalitéopposéerésultedea)Démontronsc)SoitZ,ccZ,unechaînedepartiesferméesirréductiblesdeXOnaZn=U(ZnnXi)etchacundesensemblesZnnXiestfermédansZ,idNoDIMENSIONDEKRULLACVIcommeestfini,Z,estcontenudansl'undesXiParsuite,onadim(X)<supdim(Xi),Id'oùl'égalitéd'aprèsa)SoientmaintenantxunpointdeXetn=supdim,(X,),oùJ,estcommedansitJ,l'énoncéOnadim,(X)nd'aprèsa),et,pourétablirl'égalité,onpeutsupposernfiniPourtoutiEJ,,soitUiunvoisinageouvertdexdansX,telquedim(UinXi)<nPosonsU=(nUi)n(nCXi)l'ensembleUestouvertdansXDeplus,onaid,itJ,dim(U)=supdim(UnXi)<nd'aprèsl'alinéaprécédent,doncdim,(X),<niCOROLLAIREa)Ladimensiondel'espacetopologiqueXestlabornesupérieuredesdimensionsdesescomposantesirréductibles(II,Q:,no,déf)b)SoitxunpointdeXOnadim,(X)supdim,(Xi),oùXiparcourtlafamilledescomposantesirréductiblesdeXquicontiennentxilyaégalitésixpossèdeunvoisinageVquin'aqu'unnombre$nidecomposantesirréductibles(cequiestlecasparexemplesiVestnoethérien)LapremièreassertionestimmédiatepuisqueleschaînesdepartiesferméesirréductiblesdeXsontleschaînesdepartiesferméesirréductiblesdescomposantesirréductiblesdeX(II,,no,prop)L'inégalitédim,(X)supdim,(Xi)résulteLdelaprop,a)SoitVunvoisinagedexquinepossèdequ'unnombrefinidecomposantesirréductibles,etsoit(Vj)j,JlafamilledescomposantesirréductiblesdeVquicontiennentxIlrésultedelaprop,b)etc)qu'onadim,(X)=dim,(V)=supdim,(V,)jdonconclutenremarquantquechacundesV,estcontenudansl'undesXi,iEJ,,etqu'onaparconséquentsupdim,(Vj)<supdim,(Xi)jcJitJ,PROPOSITIONSoitXunespacetopologiqueOnadim(X)=supdim,(X)XEXEneffet,onapardéfinitiondim(X)dim,(X)pourtoutxEXD'autrepart,siZ,ccZnestunechaînedepartiesferméesirréductiblesdeX,pourtoutxEZOettoutvoisinageouvertUdex,lesensemblesZ,nU,,Z,nUconstituentunechaînedepartiesferméesirrkductiblesdeU(II,,no,prop)Onadoncdim,(X)n,d'oùdim(X),<supdim,(X)XEYCOROLLAIRESi(XJatAestunrecouvrementouvert,ouunrecouvrementferméloculeinentfini,d'unespacetopologiqueX,onadim(X)=supdim(X,),GAIlsuffitdedémontrerque,pourtoutpointxdeX,onadim,(X)=supdim,(X,),USA,oùA,estl'ensembledesaEAtelsquexEX,Ceciestclairdanslecasd'unrecouvreACVIDIMENSIONlmentouvert,etrksultedelaprop,c),danslecasd'unrecouvrementfermélocalementfiniCodimensiond'unepartieferméeDÉFINITIONSoitXunespacetopologiquea)SiYestunepartieferméeirréductibledeX,onappellecodimensiondeYdansXlabornesupérieuredansRdeslongueursdeschaînesdepartiesferméesirréductiblesdeXdontYestlepluspetitélémentb)SiYestunepartieferméedeX,onappellecodimensiondeYdansX,etonnotecodim(Y,X)laborneinférieuredansRdescodimensions,dansX,descomposantesirréductiblesdeYRemarques)Lacodimensiond'unepartieferméeYdeXestdonclaborneinférieuredescodimensionsdespartiesferméesirréductiblesdeYOnacodim(,X)=CEet,siXn'estpasvide,codim(X,X)=OToutepartieferméenonvidedeXcontientunepartieferméeirréductible(II,,no,prop)lacodimensiondansXd'unepartieferméeYestdonctoujoursunentierpositifouCEelleestesietseulementsiYcontientunecomposanteirréductibledeX)SiYestunepartieferméenonvidedeX,onacodim(Y,X)<dim(X)Onadim(X)=supcodim(Y,X),oùYparcourtl'ensembledespartiesferméesirréducYtiblesdeXSiYetY'sontdeuxpartiesferméesdeXtellesqueY'cY,onacodim(Y,X)<codim(Y,X))SoientYunepartieferméedel'espacetopologiqueXet(X,),,,(resp(Y,),,,)lafamilledescomposantesirréductiblesdeX(respdeY)PourtoutPEB,notonsA(P)l'ensembledesccEAtelsqueYI,cX,DufaitquetoutepartieirréductibledeXestcontenuedansl'undesX,(II,,no,prop:),ilrésultedeladéfquel'ona:codim(Y,X)=infsupcodim(Y,,X,)PeBaWB))Soient(Y,),,unefamillefiniedepartiesferméesdeXetY=UYionaislcodim(Y,X)=infcodim(Yi,X)islEneffet,toutecomposanteirréductibledeYestcontenuedansl'undesY,PROPOSITIONSoitXunespacetopologiquea)PourtoutepartieferméenonvideYdeX,onab)SiY,Z,TsontdespartiesferméesdeXtellesqueYcZcT,onaN"DIMENSIONDEKRULLACVIIlsuffitdedémontrerl'assertiona)danslecasoùdim(X)estfiniDanscecas,dim(Y)etcodim(Y,X)sontfinisIlexisteunechaîneY,ccY,departiesferméesirréductiblesdeY,delongueurn=dim(Y)etunechaîneY,ccY,,,departiesferméesirréductiblesdeX,delongueurpcodim(Y,X)Onendéduitquedim(X)bnp,d'oùa)Pourétablirb),onpeutsupposerYirréductibleCommeonacodim(Y,Z)<codim(Y,T),l'inégalitéestdémontréesicodim(Y,Z)=mSinon,soitZ,unecomposanteirréductibledeZcontenantYettellequecodim(Y,Z)=codim(Y,Z,)Onacodim(Z,T)<codim(Z,,T),etonvoit,commecidessus,quecodim(Y,Z,)codim(Z,,T)<codim(Y,T),d'oùb)DÉFINITIONUnespacetopologiqueXestditcatknairesi,pourtoutcouple(Y,Z)departiesferméesirréductiblesdeXtellesqueYcZ,toutechaînesaturéedepartiesferméesirréductiblesd'extrémitésYetZestdelongueurcodim(Y,Z)Ilrevientaumêmededireque,pourtoutcouple(Y,Z)departiesferméesirréductiblesdeXtelquecodim(Y,Z)soitfini,toutesleschaînessaturéesd'extrémitésYetZontmêmelongueur,etque,pourtoutcouple(Y,Z)telquecodim(Y,Z)=co,iln'existeaucunechaînesaturéed'extrémitésYetZToutsousespaceferméd'unespacecaténaireestcaténairePourqu'unespacesoitcaténaire,ilfautetilsuffitquesescomposantesirréductibleslesoientPROPOSITIONSoitXunespacetopologiquePourqueXsoitcaténaire,ilfautetilsufitque,pourtouttriplet(Y,Z,T)departiesferméesirréductiblesdeXtelqueYcZcT,onait:SupposonsXcaténaireComptetenudelaprop,b),ilsuffitdedémontrerlarelationlorsquecodim(Y,Z)etcodim(Z,T)sontfinisEnmettantboutàboutunechaînesaturéedepartiesferméesirréductiblesd'extrémitésYetZdelongueurcodim(Y,Z),etunechaînesaturéedepartiesferméesirréductiblesd'extrémitésZetT,delongueurcodim(Z,T),onobtientunechaînesaturéed'extrémitésYetT,delongueurcodim(Y,Z)codim(Z,T)Mais,commeXestcaténaire,cettelongueurestnécessairementégaleàcodim(Y,T)Réciproquement,supposonsquel'onaitcodim(Y,T)=codim(Y,Z)codim(Z,T)quellesquesoientlespartiesferméesirréductiblesY,Z,TdeXtellesqueYcZcT,etdémontronsqueXestcaténairePourcela,démontronsparrécurrencesurl'entiernOque,pourtoutechaînesaturéeZ,ccZndepartiesferméesirréductiblesdeX,onacodim(Z,,Zn)=nSin=,c'estclairSoitn>O,etsupposonslapropriétésatisfaitepourleschaînesdelongueur<nSiZ,ccZ,estunechaînesaturéedelongueurn,alorsZ,ccZn,estunechaînesaturéedelongueurn,donccodim(Z,,Zn,)=nVul'hypothèsefaitesurX,onacodim(Z,,Zn)=codim(Z,,Z,,,)codim(Z,,,,Zn)=(n)=nACVIDIMENSIONCOROLLAIRESoitXunespacetopologiqueirréductibleetdedimensionfiniePourqueXsoitcaténaire,ilfautetilsuffitque,pourtoutcouple(Y,Z)departiesferméesirréductiblesdeXtellesqueYcZ,onaitcodim(Y,X)=codim(Y,Z)codim(Z,X)Laconditionestnécessaired'aprèslapropInversement,supposonslavérifiée,etnotonsc(Z)l'entiercodim(Z,X)pourtoutepartieferméeirréductibleZdeXSiY,Z,TsonttroispartiesferméesirréductiblesdeXtellesqueYcZcT,onaetXestcaténaired'aprèslapropPROPOSITIONSoitXunespacetopologiquededimensionfinieSupposonsquetoutesleschaînesmaximalesdepartiesferméesirréductiblesdeXaientmêmelongueurAlorsXestcaténairepourtoutepartieferméeirréductibleZdeX,onapourtoutcouple(Y,Z)departiesferméesirréductiblesdeXlequeYcZ,onaSoientYetZdeuxpartiesferméesirréductiblesdeXtellesqueYcZSoientY,ccY,unechaînetellequeY,=Yetp=dim(Y),Z,ccZ,unechaînetellequeZ,=Zetq=codim(Z,X)PourtoutechaînesaturéeT,ccT,tellequeT,=YetT,=Z,lachaîneestmaximale,etdelongueurpqrd'aprèsl'hypothèsefaitesurX,onadoncpqr=dim(X),soitr=dim(X)dim(Y)codim(Z,X)IlenrésultequeXestcaténaireetque,pourYetZcommecidessus,onaPrenantY=Z,onvoitquelesecondmembreestégalàdim(Z),d'oùlapropositionDimensiond'unanneau,hauteurd'unidéalDEFINITIONOnappelledimensiondeKrull,ousimplementdimension,d'unanneau(commutatif)Aetl'onnotedim(A),ladimensiondeKrulldel'espacetopologiqueSpec(A)(II,§,no,déf)SipesunidéalpremierdeA,onappelledimensiondeAenp,etonnotedim,(A),lenombvedim,(Spec(A))NoDIMENSIONDEKRULLACVIL'applicationpV(p)estunebijectiondécroissantedel'ensembledesidéauxpremiersdeAsurl'ensembledespartiesferméesirréductiblesdeSpec(A)(loccit,coralaprop)LadimensiondeAestdonclabornesupérieuredel'ensembledesloilgueursdeschaînesd'idéauxpremiersdeAelleestégaleaco,coouàunentierpositifSoitpESpec(A)lesensemblesSpec(A),,oùfparcourtA,formentunebasedelatopologiedeSpec(A),etpappartientàl'ouvertspe~(A)~sietseulementsifn'appartientpasàpParconséquent,dim,(A)estlaborneinférieuredesnombresdim(Af),oùfparcourtAp(II,#,nu,prop)Exemples)Onadim(A)<OsietseulementsiAestréduitàOPourquel'onaitdim(A)<O,ilfautetilsuffitquetoutidéalpremierdeAsoitmaximalLesanneauxintègresdedimensionOsontlescorpsUnanneaunoethérienestdedimension<Osietseulements'ilestartinien(IV,fi,no,prop))LesanneauxdeDedekindsontlesanneauxnoethériensintégralementclosdedimensiond(VII,fi,no,th)Plusgénéralement,d'aprèsV,Ci,no,coralaprop,unanneauestunproduitfinid'anneauxdeDedekindsietseulements'ilestnoethérien,rkduit,intégralementfermédanssonanneautotaldesfractions,etdedimension<)SiAestunanneaudevaluation(VI,fi,no,déf),sadimensionestégaleàlahauteurdelavaluation(VI,,no,prop))SoitAunanneauOnaEneffet,sip,ccp,estunechaîned'idéauxpremiersdeA,delongueurn,onobtientunechaînepbccp,,d'idéauxpremiersdeAX,delongueurn,enposantpf=p,AXpourO<i<n,etpi,,=p,AXXAXParlemêmeraisonnement,onprouvel'inégalitédim(AX)dim(A)Onendéduitparrécurrencelesinégalitésdim(AX,,,X,)dim(A)n,dim(AX,,,X,)dim(A)nNousdémontreronsplusloin(fi,no,cordelapropetcordelaprop)quel'onaégalitédanslesdeuxformulesprécédenteslorsqueAestnoethérien*)SoitXunevariétéanalytiquecomplexeSiXestdedimensioncomplexenenunpointxdeX,l'anneaulocaldesgermesenxdefonctionsanalytiquessurXestdedimensionn*)SoientkuncorpsetAunekalgèbreentièrenoneAlorsonadim(A)=CelarésulteducoràlapropdeV,#,no,etdufaitquedim(k)=)SinestunnilidéaldeA,Spec(A)esthoméomorpheàSpec(An)(II,#,no,remarque)Onadoncdim(An)=dim(A)enparticulier,onadim(A)=dim(A,,,)oùA,,,estlequotientdel'anneauAparsonnilradicalACVIDIMENSIONl)Ilexistedesanneauxnoethériensdedimensioninfinie(p,exerc)Nousverronscidessous(Ij,nu,coralaprop)quetoutanneaulocalnoethérienestdedimensionfiniePROPOSITIONSoitAunanneaua)SiaestunidéaldeA,onadim(Aa)dim(A)b)SiSestunepartiemultiplicativedeA,onadim(S'A)dim(A)c)Onadim(A)=supdim(Ap),oùpparcourtl'ensembledesidéauxpremiersPminimauxdeAd)SiAn'aqu'unnombrefinid'idéauxpremiersminimaux(parexemplesiAestnoethérien(II,,no,coràlaprop))etsipestunidéalpremierdeA,onadim,(A)=supdimw,(Aq),qoùqparcourtl'ensembledesidéauxpremiersminimauxdeAcontenusdanspe)SoitaunidéaldeAquin'estcontenudansaucunidéalpremierminimaldeAonaalorsdim(A)>dim(Aa)Enparticulier,siAestintègre,onadim(A)>dim(Aa)pourtoutidéalnonnuladeAD'aprèslaremarquedeII,,no,siaestunidéaldeA,l'espacetopologiqueSpec(Aa)esthoméomorpheausousespaceferméV(a)deSpec(A)L'assertiona)résultedecelaetdelaprop,a)dunoL'assertionb)résultedeloccit,corollaireàlapropD'aprèsloccit,coràlaprop,lescomposantesirréductiblesdeSpec(A)sonthoméomorphesauxespacesSpec(Ap),oùpestunidéalpremierminimaldeA,etl'assertionc)résulteducorollairedelapropdunoSousl'hypothèseded),l'espaceSpec(A)n'aqu'unnombrefinidecomposantesirréductibleslescomposantesirréductiblesdeSpec(A)contenantpsontlesensemblesV(q),oùqestunidéalpremierminimalcontenudanspL'assertiond)résultealorsducor,)delapropdunoDémontronsenfine)Ils'agitdeprouver

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