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Algèbre commutative 5-7.pdf

Algèbre commutative 5-7

國際救難犬
2011-05-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《Algèbre commutative 5-7pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKINBOURBAKIALGÈBRECOMMUTATIVEChapitresàRéimpressioninchangéedel'éditionoriginaledeOHennan,Paris,ONBourbaki,OMasson,Paris,ONBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbergISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdetraduction,dereproductionetd'adaptationréservéspourtouspaysLaloidumarsinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentationreproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel'auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticlesetsuivantsduCodepéiiaiSpringerestmembreduSpringerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:designproduction,HeidelbergImprimésupapiernonacideOûNLCHAPITREVENTIERSSaufmentionexpresseducontraire,touslesanneauxettouteslesalgèbresconsidérésdanscechapitresontsupposésêtrecommutatifsetavoirunélémentunitétousleshomomorphismesd'anneauxsontsupposéstransformerl'élémentunitéenl'élémentunitéParunsousanneaud'unanneauA,onentendunsousanneaucontenantl'élémentunitédeANotiond'élémententierElémentsentierssurunanneauTHÉORÈMESoientAunanneau(commutatif),RunealgèbresurA(nonnécessairementcommutative),xunélémentdeRLespropriétéssuivantessontéquivalentes:(E,)xestracined'unpolynômeunitairedel'anneaudepolynômesAX(E,,)LasousalgèbreA$deRestunAmoduledetypefini(EIII)Ilexisteunmodulefidèlesurl'anneauAxquiestunAmoduledetypefiniMontronsd'abordque(E,)entraîne(E,,)SoitunpolynômeunitairedeAXayantxpourracinepourtoutentierq),O,soitM,lesousAmoduledeRengendréparl,x,,xnQOnaENTIERSpourtoutq),,d'où,parrécurrencesurq,M,=Mql==MoOnenconclutqueAxestégalàMoetestdoncunAmoduledetypefiniCommel'anneaucommutatifAxestunmodulefidèlesurluimême,(E)entraîne(EIII)Enfin,lefaitque(E,)entraîne(E,)résulteradulemmeplusprécissuivant:LemmeSoientAunanneau,Runealgèbre(nonnécessairementcommutative)surA,xunélémentdeRSoitMunmodulefidèlesurAxquisoitunAmoduledetypefiniSiqestunidéaldeAtelqueXMcqM,alorsxestracined'unpolynômeunitaireàcoeficientsdansA,donttouslescoefficientsautresquelecoeficientdominantappartiennentàqEneffet,soit(u),~~,unefamillefinied'élémentsdeMntellequeM=AuPourtouti,ilexisteparhypothèseunei=lfamillefinie(qij),GjGnd'élémentsdeqtellequeParsuite(Alg,chapIII,eéd,B),sidestledéterminantdelamatrice,(qij,x)àélémentsdansAx($,désignantl'indicedeKronecker),onadui=Opourtouti,doncdM=OcommeMestsupposéêtreunAxmodulefidèle,onanécessairementd=OCelasignifiequexestracinedupolynômedet(qijSijX)deAXqui,ausigneprès,estunpolynômeunitairedontlescoefficientsautresquelecoefficientdominantappartiennentàqDÉPINITIONSoientAunanneau,RuneAalgèbre(nonnécessairementcommutative)Onditqu'unélémentxczRestentiersurAs'ilvérifielespropriétéséquivalentes(E,),(El,),(E,,,)duthUnerelationdelaformeP(x)=O,oùPestunpolynômeunitairedeAX,estencoreappeléeéquationdedépendanceintégraleàcoefficientsdansAExemples)SoientKuncorps(commutatif),RuneKalgèbredirequ'unélémentxERestentiersurKéquivautàdirequexestracined'unpolynômenonconstantdel'anneauKXgénéralisantlaterminologieintroduitelorsqueRestuneextensiondeK(Alg,chapV,,no),onditaussiquelesélémentszeRentierssurKsontlesélémentsdeRalgébriquessurK*)LesélémentsdeQ(i)entierssurl'anneauZsontlesélémentsdelaformeaibavecaEZetbeZ(«entiersdeGaussN)lesélémentsde~()entierssurZsontlesélémentsdelaforme(ab),oùaetbappartiennentàZetsonttousdeuxpairsoutousdeuximpairs(pourcesdeuxexemples,voirexercl),)LesnombrescomplexesentierssurZsontencoreappelésentiersalgébriquesRemarques)SoitA'lesousanneaudeR(contenudanslecentredeR)imagedeAparl'homomorphismed'anneauxARquidéfinitlastructuredeAalgèbredeRIlestclairqu'ilestéquivalentdedirequ'unélémentdeRestentiersurAouqu'ilestentiersurA')SoitR'unesousAalgèbredeRlesélémentsdeR'quisontentierssurAnesontautresquelesélémentsdeRquisontentierssurAetappartiennentàRIcecipermetsouventdenepasspécifierl'algèbreàlaquelleappartientunélémententiersurA,lorsqu'iln'enrésultepasdeconfusionPROPOSITIONSoientAunanneau,RunealgèbresurA(nonnécessairementcommutative),xunélémentdeRPourquexsoitentiersurA,ilfautetilsuffitqueAxsoitcontenudansunesousalgèbreR'deRquisoitunAmoduledetypefiniLaconditionestévidemmentnécessaireenvertudelapropriété(E,,)elleestsuffisanteenvertude(E,,,),carR'estunAxmodulefidèle(puisqu'ilcontientl'élémentunitédeR)COROLLAIRESoientAunanneaunoethérien,RuneAalgèbre(nonnécessairementcommutative),xunélémentdeRPourquexsoitentiersurA,ilfautetilsufitqu'ilexisteunsousAmoduledetypefinideRcontenantAxEneffet,laconditionestnécessaireenvertude(E,,)elleestsuEsante,carsiAxestunsousAmoduled'unAmoduledetypefini,ilestluimêmeunAmoduledetypefini(Alg,chapVIII,$,no,prop)ENTIERSOnnepeutdansceténoncéomettrel'hypothèsequeAestnoethérien(exerc)DÉFINITIONSoitAunanneauOnditqu'uneAalgèbreR(nonnécessairementcommutative)estentièresurAsitoutélémentdeRestentiersurAOnditqueRestfiniesurAsiRestunAmoduledetypefiniIlrésultedelapropquetouteAalgèbrefinieestentièrelorsqueRestcommutativeetestuneAalgèbrefinie,RestévidemmentuneAalgèbredetypefini,laréciproqueétantinexacteExempleSiMestunAmoduledetypefini,l'algèbreEnd,(M)desendomorphismesdeMestentièresurAenvertude(E,,)enparticulier,pourtoutentiern,algèbredematricesMn(A)=End,(An)estentière(etmêmefinie)surAPROPOSITIONSoientA,A'deuxanneaux,RuneAalgèbre,R'uneA'algèbre(nonnécessairementcommutatives),f:AA'etg:RR'deuxhomomorphismesd'anneauxtelsquelediagrammefAA'soitcommutatifSiunélémentXERestentiersurA,alorsg(x)estentiersurA'Eneffet,sil'onaxnalxna,=OavecaiaApourl,<i,(n,onendéduitqueCOROLLAIRESoientAunanneau,Bunealgèbre(commutative),CuneBalgèbre(nonnécessairementcommutative)AlorstoutélémentxeCquiestentiersurAestentiersurBCOROLLAIRESoientKuncorps,LuneextensiondeK,x,x'deuxélémentsdeLconjuguéssurK(Alg,chapV,,no)SiAestunsousanneaudeKetsixestentiersurA,x'estaussientiersurAEneffet,ilexisteunKisomorphismefdeK(x)surK(xl)telquef(x)=x',etlesélémentsdeAsontinvariantsparfnoNOTIOND'ELÉMENTENTIERCOROLLAIRESoientAunanneau,BuneAalgèbre(commutative),CuneBalgèbre(nonnécessairementcommutative)SiCestentièresurA,CestentièresurBPROPOSITIONSoit(Ri)siGnunefamillefiniedeAalngèbres(nonnécessairementcommutatives)etsoitR=Rii=leurproduitPourqu'unélémentx=(xi)GiGndeRsoitentiersurA,ilfautetilsufitquechacundesxisoitentiersurAPourqueRsoitentièresurA,ilfautetilsuffitquechacunedesRisoitentièresurAIlsuffitévidemmentdeprouverlapremièreassertionLaconditionestnécessaireenvertudelapropInversement,sichacundesxiestentiersurA,lasousalgèbreAxideRiestunAmoduledetypefini,doncilenestdemêmedelasousnalgèbreHA^deRcommeAxestcontenuedanscettei=isousalgèbre,xestentiersurAenvertudelapropPROPOSITIONSoientAunanneau,RuneAalgèbre(nonnécessairementcommutative),(xi)lGisnunefamillefinied'élémentsdeR,deuxàdeuxpermutablesSi,pourtouti,xiestentiersurAx,,,xil(etenparticuliersitouslesxisontentierssurA),alorslasousalgèbreAxl,,x,deRestunAmoduledetypefiniRaisonnonsparrécurrencesurn,lapropositionn'étantautreque(E,,)pourn=L'hypothèsederécurrenceentraînequeB=Axl,,x,,,estunAmoduledetypefinicommexnestentiersurB,Bxn=Ax,,,x,estunBmoduledetypefini,doncaussiunAmoduledetypefini(Alg,chapII,eéd,$,no,prop)COROLLAIRESoientAunanneau,RuneAalgèbre(commutative)L'ensembledesélémentsdeRentierssurAestunesousalgèbredeREneffet,six,ysontdeuxélémentsdeRentierssurA,ilrésultedelapropqueAz,yestunAmoduledetypefinicommeilcontientxyetxy,lecorollairerésultedelapropIDansunealgèbrenoncommutative,lasommeetleproduitdedeuxélémentsentierssurAnesontpasnécessairemententierssurA(exerc)ENTIERSCOROLLAIRESoientAunanneau,RuneAalgèbre(nonnécessairementcommutative),Eunensembled'élémentsdeR,deuxàdeuxpermutablesetentierssurAAlorslasousAalgèbreBdeRengendréeparEestentièresurAEneffet,toutélémentdeBappartientaunesousAalgèbredeBengendréeparunepartiefiniedeERemarqueIlrésultedelapropquetouteAalgèbrecommutativeentièresurAestréuniond'unefamillefiltrantecroissantedesousalgèbresfiniessurAPROPOSITIONSoientAunanneau,A'etRdeuxAalgèbres(commutatives)SiRestentièresurA,R,AestentièresurA'RConsidéronseneffetunélémentquelconqueXI=xiafi=ldeR,A',oùlesxiappartiennentaRetlesafaA'commexiIBal=(xi)al,etquelesxiIBsontentierssurA'(prop),ilenestdemêmedexCOROLLAIRESoientRunanneau,A,B,CdessousanneauxdeRtelsqueAcBSiBestentiersurA,CBestentiersurCAEneffet,B,CAestentiersurCAenvertudelaprop,doncilenestdemêmedel'imagecanoniqueCBdeB,CAdansR(considérécommeAalgèbre)envertudelapropPROPOSITIONSoientAunanneau,BuneAalgèbre(commutative),CuneBalgèbre(nonnécessairementcommutative)SiBestentièresurAetsiCestentièresurB,alorsCestentièresurAIlsuffitdevoirquetoutxcCestentiersurAParhypothèse,ilexisteunpolynômeunitaireXnb,xn'bnàcoefficientsdansB,ayantxpourracinealorsxestentiersurB'=Ab,,,b,etB'xestdoncunBrmoduledetypefiniMaiscommeBestentièresurA,BrestunAmoduledetypefini(prop)onenconclutqueBrxestaussiunAmoduledetypefini(Alg,chapII,eéd,$,no,prop),etparsuitexestentiersurACOROLLAIRESoientAunanneau,R,R'deuxAalgèbres(commutatives)entièressurAAlorsRmAR'estentièresurAnoNOTIOND'ÉLEMENTENTIEREneffet,R,R'estentièresurR'(prop),donclaconclusionrésultedelapropFermetureintégraled'unanneauAnneauxintégralementclosDÉFINITIONSoientAunanneau,RuneAalgèbre(commutative)LasousAalgèbreA'deRforméedesélémentsdeRentierssurA(no,cordelaprop)estappeléelafermetureintégraledeAdansRSiA'estégaleàl'imagecanoniquedeAdansR,onditqueAestintégralementfermédansRRemarques)Sih:AResthomomorphismed'anneauxdéfinissantlastructuredeAalgèbredeR,lafermetureintégraledeAdansRestaussicelledeh(A)dansRD'autrepart,siR'estunesousalgèbredeR,lafermetureintégraledeAdansR'estA'nR')SiAestuncorps,lafermetureintégraleA'deAdansRestforméedesélémentsdeRalgébriquessurA(no,Exemple)généralisantlaterminologieenusagepourlesextensionsdecorps(Alg,chapV,,no)'ondit,encorealorsqueA'estlafermeturealgébriqueducorpsAdansl'algèbreR,etqueAestalgébriquementfermédansRsiA'=ADÉFINITIONSiAestunanneauintègre,onappelleclôtureintégraledeAlafermetureintégraledeAdanssoncorpsdesfractionsOnditqu'unanneauestintégralementcloss'ilestintégreetégalàsaclôtureintégraleOnnoteraqu'unanneauintégralementclosn'estpasnécessairementintégralementfermédansunanneauquilecontient,commelemontrel'exempled'uncorpsnonalgébriquementclosPROPOSITIONSoientAunanneau,RuneAalgèbreLafermetureintégraleA'deAdansRestunsousanneauintégralementfermédansREneffet,lafermetureintégraledeA'dansRestentièresurAenvertuduno,propelleestdoncégaleàA'COROLLAIRELaclôtureintégraled'unanneauintègreAestunanneauintégralementclosENTIERSEneffet,soientKlecorpsdesfractionsdeA,BlaclôtureintégraledeAIlestclairqueKestlecorpsdesfractionsdeB,etilsuffitd'appliquerlapropàR=KPROPOSITIONSoientRunanneau,(BA)AELunefamilledesousanneauxdeRetpourchaqltehEL,soitAlunsousanneaudeBiSichaqueAlestintégralementfermédansBA,alorsA=nAÀestintégralementfermédansB=nBAELiETCelarésulteaussitôtdeladéfetduno,cordelapropCOROLLAIRETouteintersectiond'unefamillenonvidedesousanneauxintégralementclosd'unanneauintègreestunanneauintégralementclosSoitAl'intersectiond'unetellefamille(Ah)hdesousanneauxd'unanneauintègreCD'aprèslaprop,appliquéeenprenantpourR(respBa)lecorpsdesfractionsdeC(respdeAl),AestintégralementfermédanslecorpsB=nBAetafortioriesti€LintégralementclosPROPOSITIONSoientAunanneau,(Ri)inunefamillefiniedeAalgèbres,AflafermetureintégraledeAdansnRi(,(i,<n)AlorslafermetureintégraledeAdansR=Rini=iestégaleàAfi=rC'estuneconséquenceimmédiateduno,propCOROLLAIRESoientAunanneaunoethérienréduit,i(in)sesidéauxpremiersminimauxdistincts,Kilecorpsdesfractionsdel'anneauintègreApi(canoniquementisomorpheàl'anneaulocalApi(chapIV,$,no,prop)),AflafermetureintégraledeAdansKi(,(i,<n)Alorsl'isomornphismecanoniquedel'anneautotaldesfractionsBdeAsurnKii=l(loccit)appliquelafermetureintégraledeAdansBsurl'anneaunproduitnA:i=iCOROLLAIREPourqu'unanneaunoetlzérienréduitsoitintégralementfermédanssonanneautotaldesfractionsilfautetilsufitqu'ilsoitcomposédirectd'anneaux(noethériens)intégralementclos(doncintègres)Exemplesd'anneauxintégralementclosPROPOSITIOKToutanneaaprincipalestintégralementclosSoientAunanneauprincipal,Ksoncorpsdesfractions,xunélémentdeKIlexistedeuxélémentsétrangersa,bdeAtelsquex=abl(Alg,chapVII,,no,propetchapVI,rj,no,prop(DIV))SixestentiersurA,ilestracined'unpolynômeXnc,xn'c,deAXOnaalorsan=b(~~axc,bl'l),cequiprouvequebdiviseanPuisqueaetbsontétrangers,celaimpliquequebestinversibledansA(Adg,chapVI,$,no,cordelapropIl(DIV))doncXEALemmeSoientRunanneau,PunpolynômeunitairedansRXexisteunanneauR'contenantRtelque,dansl'anneaudepolynômesRX,lepolynômePsoitproduitdepolynômesunitairesdedegréProcédonsparrécurrencesurledegréndeP,lelemmeStantévidentpourn=Oetn=Supposonsdoncn>Soital'idéaldeRXengendréparP,etsoitfI'l~omomorphismecanoniquedeRXsurB=RXaPuisquePestunitaire,ona,pourtoutpolynômeQERX,deg(PQ)=deg(P)deg(Q),d'oùanR=O:larestrictiondefàRestdoncinjectiveIdentifiantRausousanneauf(R)deBaumoyendef,etposanth=f(X),onvoitquebestuneracinedePdansB,PétantconsidérécommeunpolynômedeBXIlexistedoncunpolynômeunitaireQdeBX,dedegrén,telqueP(X)=(Xb)Q(X)(Alg,chapIV,,no,prop)Envertudel'hypothèsederécurrence,ilexisteunanneauR'Btelque,dansRX,lepolynômeQsoitunproduitdepolynômesunitairesdedegrélilestclairquedansRX,PestalorsproduitdepolynômesunitairesdedegréPROPOSITIONSoientAunanneau,RuneAalgèbre,PetQdeuxpolynômesunitairesdansRXSilescoefficientsdePQsontentierssurA,lescoefficientsdePetdeQsontentierssurAPardoubleapplicationdulemme,onvoitqu'ilexisteunanneauR'contenantRetdesfamillesd'éléments(ai),<,,ENTIERSm(bj),<j,ndeR'tellesque,dansRX,onaitPX=(Xa),Q(X)=(Xbj)lescoefficientsdePQappartiennentàlaj=ifermetureintégraleA'deAdansR',donc(no,prop)lesélémentsa(,<i,<m)etb<j<n)appartiennentàA'enrésultequelescoefficientsdePetQsontentierssurA(no,cordelaprop)SoientAunanneauintègre,Ksoncorpsdesfractions,K'uneKalgèbre(nonnécessairementcommutative)ÉtantdonnéunélémentxEK'algébriquesurK,lespolynômesPEKXtelsqueP(x)=Oformentunidéala#OdeKX,nécessairementprincipal(Alg,chapIV,§,no,prop)IlexisteunpolynômeunitaireetunseulquiengendreagénéralisantlaterminologieintroduiteenAlg,chapV,$,no,déf,nousdironsquecepolynômeunitaireestlepolynômeminimaldexsurKCOROLLAIRESoientAunameauintègre,Ksoncorpsdesfractions,xunélémentd'une~al~èbreK'(nonnécessairementcommutative)SixestentiersurA,lescoefficientsdupolynômeminimalPdexsurKsontentierssurA(etilsappartiennentdoncàAsiAestintégralementclos)Ilexisteparhypothèse(no,th)unpolynômeunitaireQEAXtelqueQ(x)=OCommePdiviseQdansKX,ilrésultedelapropquelescoefficientsdePsontentierssurASoientAunanneau,RuneAalgèbre(commutative)l~homomorphismep,:ARdéfinissantlashwcturedeAalgèbredeRseprolonged'uneseulemanièreenunhomomorphismeAXtRXdesanneauxdepolynômessurAetR,laissantXinvariant,doncRXestcanoniquementmunid'unestructuredeAXalgèbrePROPOSITIONSoientAunanneau,RuneAalgèbre,PunpolynômedansRX,,,X,PourquePsoitentiersurAX,,,X,,ilfautetilsuffitquelescoefficientsdePsoiententierssurAEnconsidérantlespolynômesdeRX,

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