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Algèbre 1-3.pdf

Algèbre 1-3

國際救難犬
2011-05-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《Algèbre 1-3pdf》,可适用于高等教育领域

NBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUENBOURBAKIÉLÉMENTSDEMATHÉMATIQUEALGÈBREChapitresàèmeedRéimpressioninchangéedel’éditionoriginalede©Masson,Paris©NBourbaki,©NBourbakietSpringerVerlagBerlinHeidelbergISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkISBNSpringerBerlinHeidelbergNewYorkTousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspaysLaloidumarsinterditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollectiveToutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentementdel’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticlesetsuivantsduCodepénalSpringerestmembreduSpringerScienceBusinessMediaspringercomMaquettedecouverture:WMXDesignGmbH,HeidelbergImprime´surpapiernonacideYLoded'emploidecetraitéNOUVELLEÉDITIONLetraitéprendlesmathématiquesàleurdébut,etdonnedesdémonstrationscomplètesSalecturenesupposedonc,enprincipe,aucuneconnaissancemathématiqueparticulière,maisseulementunecertainehabitudeduraisonnementmathématiqueetuncertainpouvoird'abstractionNéanmoins,letraitéestdestinéplusparticulièrementàdeslecteurspossédantaumoinsunebonneconnaissancedesmatièresenseignéesdanslapremièreoulesdeuxpremièresannéesdel'universitéLemoded'expositionsuiviestaxiomatiqueetprocèdeleplussouventdugénéralauparticulierLesnécessitésdeladémonstrationexigentqueleschapitressesuivent,enprincipe,dansunordrelogiquerigoureusementfixéL'utilitédecertainesconsidérationsn'apparaîtradoncaulecteurqu'àlalecturedechapitresultérieurs,àmoinsqu'ilnepossèdedéjàdesconnaissancesassezétenduesLetraitéestdiviséenLivresetchaqueLivreenchapitresLesLivresactuellementpubliés,entotalitéouenpartie,sontlessuivants:ThéoriedesEnsemblesdésignéparEAlgèbre''ATopologiegénéraleY¶TGFonctionsd'unevariableréelleY¶FVREspacesvectorielstopologiques,EVTIntégration,,INTAlgèbrecommutative,YACVariétésdifférentiellesetanalytiques,,VARGroupesetalgèbresdeLie,,LIEThéoriesspectrales,'TSDanslessixpremiersLivres(pourl'ordreindiquécidessus),chaqueénoncénefaitappelqu'auxdéfinitionsetrésultatsexposésprécédemmentdansceLivreoudanslesLivresantérieursApartirduseptièmeLivre,lelecteurvlllMODED'EMPLOIDECETRAITÉtrouveraéventuellement,audébutdechaqueLivreouchapitre,l'indicationprécisedesautresLivresouchapitresutilisés(lessixpremiersLivresétanttoujourssupposésconnus)Cependant,quelquespassagesfontexceptionauxrèglesprécédentesIlssontplacésentredeuxastérisques:**Danscertainscas,ils'agitseulementdefaciliterlacompréhensiondutextepardesexemplesquiseréfèrentàdesfaitsquelelecteurpeutdéjàconnaîtreparailleursParfoisaussi,onutilise,nonseulementlesrésultatssupposésconnusdanstoutlechapitreencours,maisdesrésultatsdémontrésailleursdansletraitéCespassagesserontemployéslibrementdanslespartiesquisupposentconnusleschapitresoùcespassagessontinsérésetleschapitresauxquelscespassagesfontappelLelecteurpourra,nousl'espérons,vérifierl'absencedetoutcerclevicieuxAcertainsLivres(soitpubliés,soitenpréparation)sontannexésdesfasciculesderésultatsCesfasciculescontiennentl'essentieldesdéfinitionsetdesrésultatsduLivre,maisaucunedémonstrationL'armaturelogiquedechaquechapitreestconstituéeparlesdéfmzitions,lesaxiomesetlesthéorèmesdecechapitrec'estlàcequ'ilestprincipalementnécessairederetenirenvuedecequidoitsuivreLesrésultatsmoinsimportants,ouquipeuventêtrefacilementretrouvésàpartirdesthéorèmes,figurentsouslenomde<(propositions)>,<(lemmesO,<(corollaires)>,<(remarquesr),etcceuxquipeuventêtreomisenpremièrelecturesontimprimésenpetitscaractèresSouslenomdeGscholie>>,ontrouveraquelquefoisuncommentaired'unthéorèmeparticulièrementimportantPouréviterdesrépétitionsfastidieuses,onconvientparfoisd'introduirecertainesnotationsoucertainesabréviationsquinesontvalablesqu'àl'intériewd'unseulchapitreoud'unseulparagraphe(parexemple,dansunchapitreoùtouslesanneauxconsidéréssontcommutatifs,onpeutconvenirquelemot<<anneausignifietoujours<<anneaucommutatif)>)Detellesconventionssontexplicitementmentionnéesàlatêteduchapitredanslequelelless'appliquentCertainspassagessontdestinésàprémunirlelecteurcontredeserreursgraves,oùilrisqueraitdetombercespassagessontsignalésenmargeparlesigne(atournantdangereuxr)Lesexercicessontdestinés,d'unepart,àpermettreaulecteurdevérifierqu'ilabienassimiléletexted'autrepartàluifaireconnaîtredesrésultatsquin'avaientpasleurplacedansletextelesplusdifficilessontmarquésdusigneLaterminologiesuiviedanscetraitéafaitl'objetd'uneattentionparticulièreOns'estefforcédenejamaiss'écarterdelaterminologierepesansdetrèssérieusesraisonsOnacherchéàutiliser,sanssacrifierlasimplicitédel'exposé,unlangagerigoureusementcorrectAutantqu'ilaétépossible,lesabusdeMODED'EMPLOIDECETRAITEixlangageoudenotation,sanslesquelstouttextemathématiquerisquededevenirpédantesqueetmêmeillisible,ontétésignalésaupassageLetexteétantconsacréàl'exposédogmatiqued'unethéorie,onn'ytrouveraqu'exceptionnellementdesréférencesbibliographiquescellescisontgroupéesdansdesNoteshistoriquesLabibliographiequisuitchacunedecesNotesnecomporteleplussouventqueleslivresetmémoiresoriginauxquionteuleplusd'importancedansl'évolutiondelathéorieconsidéréeelleneviseementàêtrecomplèteQuantauxexercices,iln'apasétéjugéutileengénérald'indiquerleurprovenance,quiesttrèsdiverse(mémoiresoriginaux,ouvragesdidactiques,recueilsd'exercices)Danslanouvelleédition,lesrenvoisàdesthéorèmes,axiomes,définitions,remarques,etcsontdonnésenprincipeenindiquantsuccessivementleLivre(parl'abréviationquiluicorresponddanslalistedonnéeauno),lechapitreetlapageoùilssetrouventAl'intérieurd'unmêmeLivrelamentiondeceLivreestsuppriméeparexemple,dansleLivred'Algèbre,E,III,p,correnvoieaucorollairesetrouvantauLivredeThéoriedesEnsembles,chapitreIII,pagedecechapitreII,p,RemarquerenvoieàlaRemarqueduLivred'Algèbre,chapitreII,pagedecechapitreLesfasciculesderésultatssontdésignésparlalettreRparexemple:EVT,Rsignifie(<fasciculederésultatsduLivresurlesEspacesvectorielstopologiquesoCommecertainsLivresdoiventseulementêtrepubliésplustarddanslanouvelleédition,lesrenvoisàcesLivressefontenindiquantsuccessivementleLivre,lechapitre,leparagrapheetlenumérooùsetrouvelerésultatenquestionparexemple:AC,III,$,no,cordelapropAucasoùleLivrecitéaétémodifiéaucoursd'éditionssuccessives,onindiqueenoutrel'éditionINTRODUCTIONFairedel'Algèbre,c'estessentiellementcalculer,c'estàdireeffectuer,surdesélémentsd'unensemble,des(<opérationsalgébriquesn,dontl'exempleleplusconnuestfourniparles(<quatrerègles))del'arithmétiqueélémentaireCen'estpasicilelieuderetracerlelentprocessusd'abstractionprogressiveparlequellanotiond'opérationalgébrique,d'abordrestreinteauxentiersnaturelsetauxgrandeursmesurables,apeuàpeuélargisondomaine,àmesurequesegénéralisaitparallèlementlanotionde((nombreO,jusqu'àceque,dépassantcettedernière,elleenvîntàs'appliqueràdesélémentsquin'avaientplusaucuncaractère((numérique)>,parexempleauxpermutationsd'unensemble(voirNotehistoriquedechap)C'estsansdoutelapossibilitédecesextensionssuccessives,danslesquelleslaformedescalculsrestaitlamême,alorsquelanaturedesêtresmathématiquessoumisàcescalculsvariaitconsidérablement,quiapermisdedégagerpeuàpeuleprincipedirecteurdesmathématiquesmodernes,àsavoirquelesêtresmathématiques,eneuxmêmes,importentpeu:cequicompte,cesontleursrelations(voirLivre)Ilestcertain,entoutcas,quel'Algèbreaatteintceniveaud'abstractionbienavantlesautrespartiesdelaMathématique,etilyalongtempsdéjàqu'ons'estaccoutuméàlaconsidérercommel'étudedesopérationsalgébriques,indépendammentdesêtresmathématiquesauxquelsellessontsusceptiblesdes'appliquerDépouilléedetoutcaractèrespécifique,lanotioncommunesousjacenteauxopérationsalgébriquesusuellesestfortsimple:effectueruneopérationalgébriquesurdeuxélémentsa,d'unmêmeensembleE,c'estfairecorrespondrcaucouple(a,)untroisièmeémentbiendéterminécdel'ensembleEAutrexiiINTRODUCTIONmentdit,iln'yariendeplusdanscettenotionquecelledefonction:sedonneruneopérationalgébrique,c'estsedonnerunefonction,définiedansExE,etprenantsesvaleursdansElaseuleparticularitérésidedanslefaitquel'ensemblededéfinitiondelafonctionestleproduitdedeuxensemblesidentiquesàl'ensembleoùlafonctionprendsesvaleursc'estàunetellefonctionquenousdonnonslenomdeloidecompositionAcôtédecesloisainternesD,onaétéconduit(principalementsousl'influencedelaGéométrie)àconsidérerunautretypede({loidecompositionDcesontles<(loisd'actionD,où,endehorsdel'ensembleE(quirestepourainsidireaupremierplan)intervientunensembleauxiliaireCl,dontlesélémentssontqualifiésd'opérateurs:laloifaisantcettefoiscorrespondreàuncouple(E,a)forméd'unopérateurEECletd'unélémentaEE,unsecondélémentbdeEParexemple,unehomothétiedecentredonné,dansl'espaceeuclidienE,faitcorrespondre,àunnombreréelk(lerapportd'homothétie)),quiesticil'opérateur)etàunpointAdeE,unautrepointA'deE:c'estuneloid'actiondansEConformémentauxdéfinitionsgénérales(E,IV,p),ladonnée,dansunensembleE,d'uneouplusieursloisdecompositionouloisd'actiondéfinitunestructuresurEc'estauxstructuresdéfiniesdecettemanièrequenousréserverons,defaçonprécise,lenomdestructuresalgébriques,etc'estl'étudedecesstructuresquiconstituel'AlgèbreIlyadenombreusesespèces(E,IV,p)destructuresalgébriques,caractérisées,d'unepartparlesloisdecompositionouloisd'actionquilesdéfinissent,del'autreparlesaxiomesauxquelssontassujettiescesloisBienentendu,cesaxiomesn'ontpasétéchoisisarbitrairement,maisnesontautresquelespropriétésappartenantàlaplupartdesloisquiinterviennentdanslesapplications,tellesqueI'associativité,lacommutativité,etcLechapitreestessentiellementconsacréàl'exposédecesaxiomesetdesconséquencesgénéralesquiendécoulentonyfaitaussiuneétudeplusdétailleedesdeuxespècesdestructuresalgébriqueslesplusimportantes,celledegroupe(oùn'intervientqu'uneloidecomposition)etcelled'anneau(àdeuxloisdecomposition),dontlastructuredecorpsestuncasparticulierAuchapitresontaussidéfinislesgroupesàopérateursetanneauxàopérateurs,où,enplusdesloisdecomposition,interviennentuneouplusieursloisd'actionLesplusimportantsdesgroupesàopérateurssontlesmodules,danslesquelsrentrentenparticulierlesespacesvectoriels,quijouentunrôleprépondérantaussibiendanslaGéométrieclassiquequedansl'AnalysemoderneL'étudedesstructuresdemoduletiresonoriginedecelledeséquationslinéaires,d'oùsonnomd'AlgèbrelinéaireonentrouveralesrésultatsgénérauxauchapitreIIDemême,lesanneauxàopérateursquiinterviennentleplussouventsontceuxqu'ondésignesouslenomd'algèbres(ousystèmeshypercomplexes)AuxchapitresIIIetIV,onfaituneétudedétailléededeuxalgèbresparticulières:aINTRODUCTIONXllll'algèbreextérieure,qui,aveclathéoriedesdéterminantsquiendécoule,estunauxiliaireprécieuxdel'Algèbrelinéaireetl'algèbredespolynomes,quiestàlabasedelathéoriedeséquationsalgébriquesAuchapitreVestexposéelathéoriegénéraledescorpscommutatifs,etdeleurclassificationL'originedecettethéorieestl'étudedeséquationsalgébriquesàuneinconnuelesquestionsquiluiontdonnénaissancen'ontplusguèreaujourd'huiqu'unintérêthistorique,maislathéoriedescorpscommutatifsrestefondamentaleenAlgèbre,étantàlabasedelathéoriedesnombresalgébriques,d'unepart,delaGéométriealgébrique,del'autreCommel'ensembledesentiersnaturelsestmunidedeuxloisdecomposition,l'additionetlamultiplication,l'Arithmétique(ouThéoriedesNombres)classique,quiestl'étudedesentiersnaturels,estsubordonnéeàl'AlgèbreToutefois,ilintervient,enliaisonaveclastructurealgébriquedéfinieparcesdeuxlois,lastructuredéfinieparlarelationd'ordre((adivisebaetlepropredelyArithmétiqueclassiqueestprécisémentd'étudierlesrelationsentrecesdeuxstructuresassociéesCen'estpasleseulexempleoùunestructured'ordresoitainsiassociéeàunestructurealgébriqueparunerelationde<<divisibilité>):cetterelationjoueunrôletoutaussiimportantdanslesanneauxdepolynomesAussienferatonuneétudegénéraleauchapitreVIcetteétudeseraappliquéeauchapitreVIàladéterminationdelastructuredesmodulessurcertainsanneauxparticulièrementsimples,etenparticulieràlathéoriedes<(diviseursélémentairessLeschapitresVIetIXsontconsacrésàdesthéoriesplusparticulières,maisquiontdemultiplesapplicationsenAnalyse:d'unepart,lathéoriedesmodulesetanneauxsemisimples,étroitementliéeàcelledesreprésentationslinéairesdesgroubesd'autrepart,lathéoriedesformesquadratiquesetdesformeshermitiennes,avecl'étudedesgroupesquileursontassociésEnfin,lesgéometriesélémentaires(affine,projective,euclidienne,etc)sontétudiéesauxchapII,VIetIXdanscequ'ellesontdepurementalgébrique:iln'yaguèrelàqu'unlangagenouveaupourexprimerdesrésultatsd'Algèbredéjàobtenusparailleurs,maisc'estunlangageparticulièrementbienadaptéauxdéveloppementsultérieursdelaGéométriealgébriqueetdelaGéométriedifférentielle,auxquellescechapitresertd'introductionCHAPITREStructuresalgébriques$LOISDECOMPOSITIONASSOCIATIVITÉCOMMUTATIVITÉLoisdecompositionDÉFINITIONSoitEunensembleOnappelleloidecompositionsurEuneapplicationfdeExEdansELavaleurf(x,y)defpouruncouple(x,y)EExEs'appellelecomposédexetdeypourcetteloiUnensemblemunid'uneloidecompositionestappeléunmagmaLecomposédexetdeysenoteleplussouventenécrivantxetydansunordredéterminéetenlesséparantparunsignecaractéristiquedelaloienvisagée(signequ'onpourraconvenird'omettre)Parmilessignesdontl'emploiestleplusfréquent,citonset,étantconvenuengénéralquecedernierpeuts'omettreàvolontéaveccessignes,lecomposédexetys'écrirarespectivementxy,etxyouxyUneloinotéeparlesigneIs'appelleleplussouventaddition(lecomposéxys'appelantalorslasommedexetdey)etonditqu'elleestnotéeadditivementuneloinotéeparlesignes'appelleleplussouventmultiplication(lecomposéxy=xys'appelantalorsproduitdexetdey),etonditqu'elleestnotéemultiplicativementDanslesraisonnementsgénérauxdesparagraphesàduprésentchapitre,onseserviraordinairementdessignesTetIpournoterdesloisdecompositionquelconquesOnditparfois,parabusdelangage,qu'uneapplicationd'unepartiedeExEdansEestuneloidecompositionnonpartoutdéJiniedansEExemfiles)Lesapplications(X,Y)HXuYet(X,Y)HXnYsontdesloisdecompositionsurl'ensembledespartiesd'unensembleE)Dansl'ensembleNdesentiersnaturels,l'addition,lamultiplication,l'exponentiationsontdesloisdecomposition(lescomposésdexENetdeyENpourcesloissenotantresp~ctivernentxy,xyouxy,etx")(E,III,p))SoitEunensernblcl'application(X,Y)itXoYestuneloidecompositionsurl'ensembledesdeExE(E,II,pIl,déf)l'application(f,g)»fogestuneloidecompositionsurl'ensembledesapplicationsdeEdansE(E,II,p))SoitEunensembleordonnéréticulé(E,III,p)siondésigncparsup(x,y)labornesupérieuredel'ensemble{x,y),l'application(x,y)»sup(x,y)estuneloidecompositionsurEDemêmepourlaborneinférieureinf(x,y)L'exemplecidessusestuncasparticulierdeceluici,enconsidérant$(E)commeordonnéparinclusion)Soit(E,),,,unefamilledemagmasNotonsT,laloidecompositionsurEiL'application((,(~d)((xiTIY*))estuneloidecompositionsurleproduitE=E,,appeléeproduitdesloirT*L'ensembleE,munidecetteloi,s'appellelemagmaproduitdesmagmasEiEnparticulier,sitouslesmagmasElsontégauxàunmêmemagmaM,onobtientlemagmadesalicationsdedansMSoit(x,y)ttxTyuneloidecompositionsurunensembleEEtantdonnéesdeuxpartiesquelconquesX,YdeE,ondésigneraparXTY(pourvuquecettenotationneprêtepasàconfusion)l'ensembledesélémentsxTydeE,telsquexEX,yEY(autrementdit,l'imagedeXxYparl'application(x,y)»xTy)SiaEE,onécritgénéralementaTYaulieude{a}TY,etXTaaulieudeXT{a)L'application(X,Y)EXTYestuneloidecompositionsurl'ensembledespartiesdeEDÉFINITIONSoitEunmagmaNotonsTsaloidecompositionLaloidecomposition(x,y)»yTxsurEestditeopposéeàlaprécédenteL'ensembleE,munidecetteloi,estappelémagmaopposédeESoientEctE'deuxmagmasnousnoteronsleursloisparlemêmesigneTConformémentauxdéfinitionsgénérales(E,IV,p),onappelleisomorphismedeEsurE'uneapplicationbijectivefdeEsurE',tellequepourtoutcouple(x,y)EExEOnditqueEetE'sontisomorphess'ilexisteunisomorphismedeEsurEtPlusgénéralement:DÉFINITIONOnappellehomomorphisme,oumorphisme,deEdansEruneapplicationfdeEdansE'tellequelarelation()soitvérifiéepourtoutcouple(x,y)EExElorsqueE=Er,onditquefestunendomorphismedeEL'applicationidentiqued'unmagmaEestunhomomorphisme,lecomposédedeuxhomomorphismesestunhomomorphismePourqu'uneapplicationfdeEdansE'soitunisomorphisme,ilfautetilVoiciunexempleoùceprincipedenotationprêteraitàconfusionetnedevradoncpass'appliquerSupposonsqu'ils'agissedelaloidecomposition(A,B)itAuBentrepartiesd'unensembleEonendéduituneloidecomposition(a,)EF(U,),entrepartiesdeg(E),F(

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