伊朗96不等式的21种证明

2 2 2 1 1 1 , , , ( )( )( ) ( ) ( ) 9 ........ (Crux Iran TST,1996 4 Problem N .1940 )o & a b c ab bc ca a b b c c a + + + + + + + ≥ ※ 对于非负实数 证 明： � 此 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 最初由宁波大学陈计教授于 ���� 年提出，刊登在 ���� 杂志上，得到了读者长达四、 五年的持续关注，而证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 普遍都极为复杂。当时甚至包括现在，很多不等式爱好者都拒 绝进行大规模的恒等变形，试图通过巧妙的不等变形来证明一切形式简洁的不等式。命题者 想通过※式表明，存在这样一部分不等式非得进行复杂的恒等变形不可。可是伊朗人不相信 于是把※选入 ��� 年的赛题 希望借此引起不等式高手的注意并获得简证。可是十几年过去 了，结果只有两个：一是帮助命题者宣传了理念，二是使��� ��� �成了※的代名词，也成了 许多不等式爱好者的噩梦。十几年来，此题风靡国内外数学论坛，至今仍经常能见到。笔者 在此收集整理了 �� 种不同的方法，其中有不少方法值得认真体会。� ������ 数联天地 ��������������������� ��������������� !������ 证法 "#此为 ���� 杂志 ���$ 年刊登的证法%� 2 2 2 2 2 2 2 . (2 2 )( )( ) ( ) ( )( 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 2 )(11 11 2 ) 4 ( ) ( )( 2 ) ( 2 ) 4 1(4 9) ( ) ( ) [( )( ) ( )( ) ] 2 a b c cB a b c a b c C b c F bc A a b c a c b c cE b c c a b D a b c a a b a b c a b c C F a b a b A B C a b c a b c b a c c b b D a c ≥ ≥ = = + − − − + + = + + + − + − + = + − + + = + = + + + + − − = − + + + + + + + − + − + ∑ ∑ ∏ 令 不妨设 ， 只需 , 验证 .E即得证 � � 证法 �� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , 4 ( )( ) 1 1 2 1 1 ( )( ) 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( )( ) ( ) 4 ( ) 1 2 9 1 ( ) 2 9( ) 2 4 ( )( ) 4 4 4 ( )( ) 1 ( )b c ab a c b c a c b c aba c b c a b a b a b ab b b c a c a c b c ab a b c a b cbc ab a c b c ab a a b c a b c b c ≥ ≥ ≥ + + + ⇔ + − ≥ − + ++ + + − − ⇔ ≥ ≥ ≥ + ≥ + + + + + ∴ ⇐ + ≥ ⇔ + + − ≥ + + + + + + ∑ ∑ 首先证明： .由 设 ※ 及 知此式成立 2 4 ( ) 2 8 . 4 ( )( ( )) c a b c abc ab a c b b c c + ⇔ ≥ ⇔ ≥ + + + ∏ 得证 � � 证法 �� 2 2 2 3 2 9 0 4 ( )( )( ) 3 16 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )4 0. bc y z x y x z xyz a b a c b c x x y x x y x z y z x y x zxyz − ≥ ⇔ + − − + + ⇔ + + + − ≥ − − + − − + ∑ ∑ ∏ ∑ ∑∏ ∑ ※ 得证 � 证法 &� 5 4 2 3 3 2 2 2 4 3 2 5 4 2 5 3 3 3 2 64 6 2 2 3 2 0 ( ) 3( ) 2 ( ) 0. sym sym sy sym sym sym symm a b a b a b a b c a bc a b c a b a b a b abc ab aa b ca b − − − ≥ ⇔ + + − ≥ ⇔ + + − − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ※ 得证 � � 证法 �� 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1, . 4 ( ) ( ) ( ) (1 ) 3 9 4 9( ) 9( ) 2, 4( ) 9 9 2, 9 ( )( ) 0 6 (4 4( 2 1 4 ) 2 1 ( 4)( ( 1) ) 4 a b c abc s abc LHS s s s RHS s abc a bc ab bc s a b a c abcs s ca a b c s a b a c b c a s s sabc s s s s s a ≥ ≥ ⇔ ≥ + + − ≥ − ≥ ≥ = ≥ ≥ ≤ ≤ = + + = + + = ∴ ⇔ + − − + + + ⇔ − + + − + + ≥ ⇔ ≥ − − − ∑ ∏ ∑ ∑ ∑ ∑ 设 ※ 若 则 若 由不等式 与 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) ( 4)(4 1) 34 9 ( 4)(4 1) 33 11 3( 4)(4 1) (4 )( 1) (4 )( 3) 0. 2 2 LHS RHS s s sabc a b c s s sabc s s s s s s − − = − − + − ≥ − − + ≥ − − + − − = − − ≥ 可得 得证 � � 证法 �� 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 4(27 ) (9 ) 4 0 3, 3 , 1 18 3 4(3 ) 3(12 1)(3 4) (34 ) 12(3 1) 2 008 (17 ) 14 34 (34 )3 0, 9 3 ) 4 3 0 9 4 0. ( 9 ab bc ac a b c m m m mabc m a m m abc m abc m m m ab m m abc m a bc abc m a c m abc a bcab mc ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − ≥ ⇔ ≥ + + = + + = − + + − ⇔ − − + − − + − − − − = > − < + ≥ − ≥ ⇔ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 设 得证 若 有 ※ 若 由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 2 2 2 2 4 12(3 1) 208 (17 ) 12(3 1) 208 (3 13) 3(4 11 10 3 ) 3( 0 1 ) ) .( 04 3 m abc m m m abc m m m m m m m m m − + − + − − − + − + = − + − = − ≥ − ≥ ≥ ，于是 得证 � � 证法 � 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 3 3 . 0 0 4 2 4 1 1 0 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 , ,( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2( ) ( 4 ) a b c a b c a bc a b cb c b c b c b c b c S a c S a b a b a c b c S S a b a c b a b c c a c bb c a c a b c bc S S b a b a b ++ + ≥ ≥ ⇔ − − − − + − + − + + + = − = − = − + + + + + + ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ − + + + + > ≥ + ⇔ ≥ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∵ 设 ※ 其中 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ), 2( ) 0, 0. 0 0, ( ) ( ) ( )( ) (2 ) 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 2 ( 2 ) 2 b c a a a b a b a b a b a b c a ab bc c ac S a c b S a Sb c S a c a c c a c b c a b b c bS S S b c a a c S a c a c a a bLHS S S a abc ab S a S b ab − + + = − − + + > ∴ − + − + ≥ + + + −≥ − − + − ≥ ≥ < ≥ ⇒ − ≤ − ≥ ≥ ⇔ − − ≥ + = + +只 则得 由 需 若 证，若 3 3 2 2 4 4 2 3 3 3 2 2 2( ) 2 ( ) ( ( ) 2 ( ) 3 0) .a ab a b a b ab c a b c b bc a abc a b + − − + + + + + + + ≥+ 得证 � � 证法 $� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2( ) , 9 3 3 . 0 0 4 2 4 1 1 0 0 2 4 ( 2( ) , 2( ) 2( ) ( ) a b c a b c a bc a b cb c b c b c b c b c a c a bS b c bc S S bc S a b a c b c a c a bb c b c a S a c b S a b c a bc bc cb a ab ≥ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − + − ++ + − − − − − + + + + + + ++ = + − − = + − − = + − − + + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ≥ ≥ + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∵ ※ 其中 设 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) (2 ) 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 2 2 ( )( ), 2( ) ( ) ( )0, 0. ( ) ) )( ) 0 b c a b c a b a b b a b c a ab bc c ac S b c a c a b b c a c b cS S S S b c c b c a a c b cS a c b c a c a b b c a c b c c bc ac a b b S S c b c S − + + = − − + + ∴ − − − − − − + + + + + + + + + + + + + − + + ≥ − −≥ ≥ ≥ + + ≥ ≥ ≥−= + 则由 可得 � � 证法 '� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ( , . 1 1 1(2 2 2 )( ) 9 0 2 10 ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 0 ( ) 2 , 0,( ) 0, ( ) ( 2 ) ( x y z x y z z z a b x b c y c a z x y z S x y z y z x xy yz xz x y z x y z S S S S y z z y S S x z x z S x y yz xz xyx y z y zy xz yz + = + = + = − + − + − ≥ ≥ + ≥ ⇔ + + − − − + + ≥ ⇔ ≥ ≥ ≥ − ≥ + ≥ − ≥ = − = − = − < + − ⇐ − + − ※ 其中 原式成立,若 ，，由 设 若 得 ※ 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 )( ) ( )( ( ) ( ) 1 1( 1 1 2 2( )( ) 1 1 2 2 1 1)( ) ( ) 1 2 2 1 1( ) ( )() .))( y z x y x y x y y z y z y z xz yz x y xy xzy z x y xy xz y zy z y z y z xz yzy x y − − − − ≥ + − − − + − − − ≤ − ≤ − ≤ ≤ = − − − + + − − 易证不等式链 得证 � � 证法 �� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1(2 2 2 )( ) 9 ( ) 0, 2( ) 2 , , . max{ , , }. ( )( )( ) 2 , 0 0, ( )( ) ( ) (0 ( ) x b c y c a z a b z x y z x y N x z y z z xy yz xz x y z x y z M x y x y y x y x z y z y M N x y z z x x x x y z M xyz xy N x xz yy zy xy = + = + = + = + + ≥ ⇔ + + − − − + + ≥ ⇔ − ≥ + + + + − = = ≥ ⇔ − ≥ ≥ ⇔ − − + − − + + ∑ ∑ ※ 其中 设 设 ( ) 0.) x y z ≥+ − 得证 � � 证法 �"� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 , ( ) 4( ) ( ) ( ) 6 ( ) 0 2( ) ( ) 2( )( ( )( ) ( ) () ( 6 ) 9 42( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( )( ) 2 ) ( ab a bb c c a b a c b c a b a b ab a b a c b c a b a c ab a a b c a c b c b c b c a b c b c b c a b ab a b a b c a b c a b ab a c b c ≥ ≥ + + + ≥ + + + + + − + − = ≥ + + + + + + ∴ ⇔ + − − + + + + + ≥ + + + + + + ⇔ + + + + ∑ ∏ ∑ ∏ ∵ 只需证明更 ※ 强式： 设 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 9 4( ) ( ) 11. 4 4 1 2 (1 4 ) 9 (4 7 4) (4 16 ) 4 5 3 0 42( ) 154 7 4 (4 )(1 4 ) (1 4 ). 4 15 (1 4 ) (4 16 ) 4 5 ) 160 ( 4 1 )53 4 c ab a b a b a b a b x ab x c c x x c x x c c x c c c x c c x c c x x x x x x c c x c c c c c c + + ≥ + + + + = = ≤ = − + + + + + ≥ ⇔ − + + + + − − ≥ + + + + − + = − − ≥ − ∴ − + + + − − ≥ ⇔ + + − ∏ . 设 上式即 其中 只需 3 2 2 2 3 2 2 154 5 3 0 4 1 154 0, (416 15 1 ) 4 5 3 (1 2 ) 0. 4 6 15 4 c c x c c c c LHS c c c c c c + − − + ≥ ≤ ∴ ≥ ++ − + − − − + = − ≥∵ 得证 � � 证法 ��� 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 , , , , , ( ) 2 1( )( ) ( 16 5 )((4 )( 16 5 ) 4 (3 (5 ) ( 2 ))) 4 ( 2 ) 1 9 . 4 0 0 2 .6 5 0 a s x b s y c s z x y z s x y z s x s y s R r x s Rr r R r s Rr r r R R r r R r R R r s RR r rr = − = − = − = + + ⇔ − − − − ⇔ − + + − + + − + − + − − ≥ ≥ −+ ≥ ≥ ∑ ∑ 设 其中 为三角形三边长, ※ 代换，得 ※ 做 由 及 知上式成立得证 � � 证法 ��� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9( , , ) , min{ , , }, 4( ) 9 1 2 9( , , ) ( , , ) 4( ) 4 ( ) 1 ( 4( 2 ) 9 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 4 (4( )( ) 1 ( 2 ) ( ) ) ( ) ( )( ) f a b c c a b c ab bc ca f a b c f ab ab c ab bc ca ab ab c ab c ab c a b a b c a b a b c a ab aab bc ca ab c ab ab c a b a b c b c a c b = − = + + ≥ ⇔ − ≥ + − + + + + − − − − ⇔ + ≥ + ++ + + + + + + + + ∑ ∑ 设 设 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 9 2 2 4( )( 2 ) ( )( 2 ) ( ) 1 1 ( ) 4 ( ) ( )( , , ) ( )( ) ( ) ( ( , , ) 0 ) 2 )2 ( b c c c ab bc ca ab c ab ab bc ca c ab c ab c ab c c a ab a b c ab cf a b c f ab ab c ab c a c b c b abc cab + ≥ = + + + + + + + + + + + + ≥ + + −≥ = ≥ + + 其中 与 均不难证得 因此 � � � 2 2 2 2 2 4 9 ( ) ( ) {( ) [7( ) 9 ( )] 16 ( )} 13 . 4 0( ) ab bc acb c b c b c a a a b c abc b cb b c bc c − + ++ +− + − + + = + ≥+ + ∑ ∑ ∑∏ 证法 得证 � 2 2 2 22 2 2 2 14 4 ( ) ( ) ( ) ( ) (4 7 4 ) ( ) 9 0.(2 ( ) ) bc a b a c b c bc b c b bc c b c bc b cabc a a b c − = + + + + − + + − + + ≥− + + ∑ ∑ ∏ ∑ ∑ 证法 得证 � 2 2 2 2 2 4 2 2 3 4 3 2 2 3 4 2 4 3 2 2 3 4 2 15 ( , , ) 4 ( ) ( ) ( ) 32 9 0 , , . ( 2 )(2 ) 8(5 10 27 2 , 0 ( , , ) 32( ) 2 12 5 ) 4( 2 )( ) ( ) 2 11 2 ( f a b c a b a c b c t s t st s a s s t s st bc a b c b a s c a s t s t f a a s a s t s st t a t s tt a t s s a s s t st s t t t ⇔ = + + + + + + + + + + + + + − ≥ ≤ ≤ = + = + + ≥ + + + = + + + + + ++ + + ∑ ∑ ∏ 证 ※ 设 法 ， 2 21 .)5 4 015 st ts + + ≥ 得证 � � 证法 � � 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 4 1 42 4 4 , 4 4 . 4 16 ( ) ( )) a bc a bc b c b c a b a bb c b c a ba a b a c ab a b a b a b a b a b ab a b a b a abc abc LHS RHS b b a ab a b b b a ba b a a + + + + ++ + −− − + − + + + + − − ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ + − = = = ∴ ⇔ ≥ ≥ − ≥ −+ − ∑ ∑ ∑ ∑∏ ∏ ∑ ∑ ∏ ∏ ∏ ∏ ∑ ∏ ∑ ∑ ∑ ※ ※ 其中 2 2 2 2 3 2( ) ( ) 32 ( ) 0. sym b a b abca a b a a babc−− ⇔ − ≥+≥ ∑∑ ∑∏且 得证 � � 证法 �$� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 21 4 4 211, 4 1 3 (5 4 )(3 1)(9 1) 0 [0,1] 1 ( ) ( ) 1 (1 4(1 ) 4( 1) 3 5 5 59 1 (9 ) (4 1) 6 4 4 ) ( )(1 1 4 4) a a b c x x x x x x x a bc bc b c b cb c b c bc b c a a a bc abc bbc bc a b c c bc bc ⇔ + + + ≥ ⇔ ≥ ++ + + = ⇔ ≥ − − − + + = ≥ ∈ − − ∴ ≥ + + = + ≥ + − = − + + + − + + − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ※ 不妨设 ※ 注意到 对 成立 所以只需 2 3 2 2 65 21 13 76 6 4 4 2 2( ) 2 ( )( ) ( )( )( ) 0. 2 ) 1 (( ) bc bc a b c b c x x b bc a x y x z z x y z c x a y − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ − − + + + + + − − ⇔ ≥ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∏ 得证 � 证法 �'� 22 3 2 2 2 2 2 3 22 0 2 ( )( )( ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 0 . 9 2 52 2 2 2 )( )( )( ) ( ) 1 ( 2) ( ) a a b a c a b c a b a ca b c a a b a c a b a ca abc a a b a c a b c b c b c a bc a a b c b c b abc a b b c c a bc a a a abc a cb c b c ++ ≥ ⇔ ≥ + + + ≥ ⇔ ≥ − − + − − + + + − −+ − − + + + + + + ++ ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ + + ≥ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 引理： 成立 成立 ※ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 ( ) ( 2 ) 2 9 3 3 9 , , 2( ) 4 2 4) 9 9( ) 2 2( ) ) ( ) 2( a a b c b cb c b c a abc a bc b c b c b c a abc a a b c a a a b c b c b cb c b abc a a abc a a abc a b c abc a b c a b c c a bc + ++ + + ⇔ + + + + + + + + ++ + ⇐ + ≥ ⇔ + ≥ + + ≥ ≥ ≥ = + ≥ + = + + ⇐ + + ≥ ⇔ + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 由 可知※ 3 2 0. 3 sym a a b a c ab b c − ≥ + + +∑ ∑ 得证 � 证法 ��� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1( ) 2 ( )( ) ( ) 5 4 ( )( )( ) 5 ( )( )( )( ) 2 4 5 5 ( )2 ( )(( )( ) 2 ( )( ) ) 4 4 0, a b c ab bc ca a b b c c a a b c a a b c a a b a c b c ab a ba a b a c abc b c a b b c c a ab bc ca abc a b c a a a ab bc a b a c b ca a b c + +≥ + + + + + + + + + + ⇔ + ≥ + + + + + + + + − − + + ⇔ + + + − − + ≥ − + + +≥ + ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ 引理： 由 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 5 52 ( )( ) . 4 4 9 ( ( ) 3 9( )2 4( ) 2 4( ) 5 1 3 9( )2 4 2 2 4( ) 3 2 (1 ) ( ) sym c ab bc ca a a a abc a a b a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c a b c a ab a b abc abc a a a b c b c b c a b b bc cac ab + ≥ + + ≥ − ⇔ ≥ + + + + ⇔ ≥ ⇔ + ≥ + + + + + + + + + ⇐ + + + − ≥ + + + + + + + + + + + ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 只需证明 引理得证 ※ 2( ) ) 2( ) a b c bc ca ab bc ac c a b + + ⇔ ≥ + ++ + ∑ .得证 � � 证法 �"� 2 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 , . ( , , ) 9 0 ''( ) 18 0. 1 1, 0 1 2 9 (1 )i)(1+2 )( + ) 0 4 4( , 34 4 17 4 1 ) 2(1 ) 1 1 9 ( 1)ii) ( 1) 0. 4( 1) 4 ( 1) (4 7 4) a bc r abc f p q r r qp q pq q f r a c b c b b r q p p a b b b a a a a a a a = = + += ⇔ = − ≥ = − < = = = = −≥ ⇔ ≥ + + − + + ≥ ⇔ ≥ + + − + + + ∑ ∑ 则※ 所以我们只需考虑 及 的情况 设 得证 � 本文所涉及的记号，定理等，请自行查阅相关书籍，或者到数联天地论坛发帖询问，原作 者会给予解答。� � � � � � � � ������������ ��������������� !������ � � 版权所有�