2009/2010学年度高三年
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模拟试卷（六） 南京市第27高级中学2010/2011学年度第一学期高三
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学情分析数学试卷（十六）2011. 1. 7 一. 填空题（本题共14小题,每小题5分, 计70分） 1. 已知集合 集合 则 . 2. 命题: “ ”的否定是 . 3. 已知 是虚数单位, 计算: . 4. 在 中, , 是 的中点, 若 则 . 5. 某公司招聘员工, 面试人数 拟照公式 确定其中 表示 拟录取人数, 现已知面试人数为60人, 则该公司拟录取的人数为 人. 6. 已知米粒等可能地落入如图的示的四边形 内, 如果通过大量的实验发现米粒落入 内的频率稳 定在 附近, 那么点 和点 到直线 的距离之比 约为 . 7. 一个算法的程序框图如右图所示, 若该程序输出的结 果为 , 定则判断框中应填入的条件是: . 8. 已知定义在 上的函数 的最小正周期是 且 , 则 . 9. 设数列 满足 且 记 的前 项和为 则 . 10. 椭圆 的左焦点为 , 点 在椭圆上, 如果线段 的中点 在 轴的正 半轴上, 那么点 的坐标是 . 11. 直线 能作为下列函数图像的切线的是 (写出所有符合题意的 函数的序号) ① ② ③ ④ 12. 若⊙ 与⊙ 相交于 、 两点, 且 两圆在点 处的切线互相垂直, 则线段 的长度是 . 13. 已知函数 及其导函数 的图象如图 所示, 则曲线 在点 处的切线方程是 . 14. 已知 , 且 , 则 的最小值是 . 二. 解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. (本题满分14分) 在 中, , 面积 (1) 求 边的长度; (2) 求值: 16．（本小题16分）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品, 该工艺品由一个圆柱和一 个半球组成, 要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为 , 工艺品的体积为 . 设圆柱的底面直径为 , 工艺品的表面积为 . (1) 试写出 关于 的函数关系式; (2) 怎样设计才能使工艺品的表面积最小？ 17. (本题满分14分) 在四边形 中, , 分别是 的中点 (如图1) . 将四边形 沿 折成空间图形 (如图 2) 后, (1) 求证: (2) 线段 上是否存在一点 使得 平面 ？若存在, 试指出点 的位置, 并 证明之; 若不存在, 试说明理由. 18. （本小题16分）已知椭圆 的中心在坐标原点 , 经过两点 圆 以点 为圆心, 椭圆的短半袖长为半径. (1) 求椭圆 的标准方程; (2) 若点 是圆 上的一个动点, 求 的取值范围. 19.（本小题16分）已知数列 中 , ( , ), 数列 , 满足 ( ). (1) 求证数列 是等差数列; (2) 若 + + , 则 是否存 在最大值或最小值？若有, 求出最大值与最小值, 若没有说明理由. 20.（本小题16分）已知函数 , 若 在 处的切线方 程为 . (1) 求 的解析式及单调区间; (2) 若对任意的 都有 成立, 求函数 的最值. 南京市第27高级中学2010/2011学年度第一学期 高三年级学情分析数学试卷参考
答案
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（十六）2011. 1. 7 一．填空题（每小题5分, 共70分） 题号 答案 题号 答案 1 8 2 “ ” 9 3 10 4 11 ② ④ 5 12 6 13 7 14 4.【解】 7.【解】 9.【解】 则 是以公比的 等比数列, 由 12.【解】由题知 , 且 , 又 , 所以有 , ∴ . 二. 解答题（本大题共6小题，满分90分） 15.【解】(1) 在 中, , . (2) 16．【解】(1) 由题知圆柱的底面半径为 , 半球的半径为 . 设圆柱的高为 . 因为工艺品的体积为 , 所以 工艺品的表面积为 由 且 得 所以 关于 的函数关系式是 (2) 由(1)知, 令 得 当 时, 关于 是单调减函数; 当 时, 关于 是单调增函数 当 时, 时取得最小值 , 此时 答: 按照圆柱的高为 , 圆柱的底面半径为 , 半球的半径为 设计, 工艺品的 表面积最小, 为 17．【证】(1) 在图1中, 因为 , . 分别是 的中点, . 在图2中, , . , 是 的中点, . 四边形 是平行四边形. 且 . 且 平面 , 平面 . 平面 , . (2) 当 在线段 上, 且 时, 平面 . 证明如下: 在线段 上取点 , 使 . 是梯形 的中位线, , 且 . , 且 且 四边形 是平行四边形. , 又因为 平面 , 平面 , 平面 . 18．【解】(1) 设椭圆E的标准方程为 因为 在椭圆 上, 所以 解得 , 满足条件, 所以所求椭圆 的标准方程为 (2) 由(1) 知椭圆的短半轴长为 所以圆心坐标为 , 半径 , 故圆 的方程为 设 则 , 所以 因为 所以 即 得 所以 即 的取值范围为 . 解法二 由(1) 知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1， 故圆C的方程为 设 则 所以 因为 所以 即 的取值范围为 . 评注: (1) 中求椭圆 的标准方程时, 若设 , 则扣2分. 这里需要分类讨论, 情况 不可能. 19．解: (1)由题意知 , ∴ . ∴ 是首项为 , 公差为1的等差数列. (2) 依题意有. , 设函数 , 在 上为减函数. 在 上是递增, 且 , 故当 时, , 取最小值 . 而函数 在 上也为减函数, 在 上是递增, 且 , 故当 时, 取最大值: . 的最大值为 . 20.【解】由已知得切点为 , 且 (1) 由题意可得 解得: 故 , , 由 得: 或 , 由 得: 或 , 由 得: ,, 的单调增区间为 , 的单调减区间为 (2) 由(1)可知 的极大值为 , 又 , , 在 上的最小值为 , 由 对 恒成立, 则 ,即 , 解得 ,而 , 故当 时, 最小值为 ,当 时, 最大值为 南京市第27高级中学2010/2011学年度第一学期 高三年级学情分析数学样卷（十六） 答题纸 2011. 1. 7 第Ⅰ卷 填空题 (共70分) 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. . 第Ⅱ卷 解答题 （共90分） 二．解答题：本大题6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分14分） 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效！ 16.（本题满分14分） 17.（本题满分14分） 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 18.（本题满分16分） 19.（本题满分16分） 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 20.（本题满分16分） 请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效！
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