数学试卷（理科）参考答案 北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A D A B 二．填空题： 题号 9 10 11 12 13 14 答案 3 ,2 三．解答题： 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 . …………………… 3分 因为 ，所以 . 所以 . ……………………………………………………… 5分 因为 ，所以 . ……………………………………… 7分 （Ⅱ）因为 ， ……………………………………… 8分 所以 . ……………… 10分 所以当 时， 取得最小值. 此时 （ ），于是 . …………………………… 12分 所以 . ……………………………………… 13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设 中点为 ，连结 ， ，………… 1分 因为 ，所以 . 又 ，所以 . ………………… 2分 因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . ……… 4分 （Ⅱ）由已知 ， ， 所以 ， . 又 为正三角形，且 ，所以 . …………………… 6分 因为 ，所以 . 所以 . 由（Ⅰ）知 是二面角 的平面角. 所以平面 平面 . …………………………………………… 8分 （Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知 平面 . 过 作 于 ，连结 ，则 . 所以 是二面角 的平面角. ………………………………… 10分 在 中，易求得 . 因为 ，所以 . ………………………… 12分 所以 . 即二面角 的余弦值为 . …………………………………… 13分 方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知 ， ， 两两垂直. ……………………… 9分 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知 ， ， ， . 所以 ， . ……………………… 10分 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ， . 所以平面 的一个法向量为 . ……………………… 11分 易知平面 的一个法向量为 . 所以 . …………………………………… 12分 由图可知，二面角 为锐角. 所以二面角 的余弦值为 . …………………………………… 13分 17．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当 时， ， . 所以 ， . ………（求导、定义域各一分） 2分 因此 . 即曲线 在点 处的切线斜率为1. ………… 3分 又 ， …………………………………………………… 4分 所以曲线 在点 处的切线方程为 . ……… 5分 （Ⅱ）因为 ， 所以 ， . ………… 7分 令 ， ， ①当 时， ， ， 当 时， ，此时 ，
函数
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单调递减；……… 8分 当 时， ，此时 ，函数 单调递增. …… 9分 ②当 时，由 即 解得 ， . 此时 ， 所以当 时， ，此时 ，函数 单调递减；…10分 时， ，此时 ，函数 单调递增；……11分 时， ，此时 ，函数 单调递减. …12分 综上所述： 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；在 上单调递减. …………………………………………………… 13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 ，所以 . 因为 的值域为 ，所以 ……………………… 2分 所以 . 解得 ， . 所以 . 所以 …………………………………… 4分 （Ⅱ）因为 = ， ………………………… 6分 所以当 或 时 单调. 即 的范围是 或 时， 是单调函数． …………… 8分 （Ⅲ）因为 为偶函数，所以 . 所以 ……………………………………………… 10分 因为 ， 依条件设 ，则 . 又 ，所以 . 所以 . ………………………………………………………… 12分 此时 . 即 ． ………………………………………………… 13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为 ， 所以 为 中点. 设 的坐标为 ， 因为 ， 所以 ， ，且过 三点的圆的圆心为 ，半径为 . …………………………………………… 2分 因为该圆与直线 相切，所以 . 解得 ，所以 ， . 故所求椭圆方程为 . …………………………………………… 4分 （Ⅱ）设 的方程为 （ ）， 由 得 . 设 ， ，则 . ………………………5分 所以 . = . 由于菱形对角线互相垂直，则 . ……………………6分 所以 . 故 . 因为 ，所以 . 所以 即 . 所以 解得 . 即 . 因为 ，所以 . 故存在满足题意的点 且 的取值范围是 . ……………………… 8分 （Ⅲ）①当直线 斜率存在时， 设直线 方程为 ，代入椭圆方程 得 . 由 ，得 . …………………………………………………… 9分 设 ， ， 则 ， . 又 ，所以 . 所以 . …… 10分 所以 ， . 所以 . 所以 . 整理得 . …………………………………………… 11分 因为 ，所以 . 即 . 所以 . 解得 . 又 ，所以 . …………………………………… 13分 ②又当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ， 此时 ， ， ， ， ，所以 . 所以 ，即所求 的取值范围是 . ……………… 14分 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依条件有 . 因为点 在函数 的图象上，所以 . 因为 ， 所以 是首项是 ，公差为 的等差数列. …………………… 1分 所以 . 即数列 的前 项和 . ……………………………… 2分 （Ⅱ）证明：依条件有 即 解得 所以 . 所以 ……………………………………… 3分 因为 = ， 又 ，所以 . 即 . …………………………………………………… 5分 （Ⅲ）依条件 . 因为 为奇函数，所以 . 即 . 解得 . 所以 . 又 ，所以 . 故 . ……………………………………………………………6分 因为 ，所以 . 所以 时，有 （ ）. 又 ， 若 ，则 . 从而 . 这与 矛盾. 所以 . …………………………………………………………… 8分 所以 . 所以 . ………………10分 所以 . …………………12分 因为 ， ，所以 . 所以 . 所以 . …14分
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