2007年福建省三明市初中毕业生学业考试 一个数学问题的研究性学习 安振平 梁丽平 在《数学通报》2002年第8期P.48 的“数学问题解答”栏中， 其第1388题为： [问题] 已知： ，求证： ……① 本题由黑龙江刑进喜提供，证明发表在原刊第9期上.江西宋庆、龚浩生在贵刊2003年第2期P.37上给出了不等式①的下界估计， 本文将给出我们对不等式①的研究. 在①式中，令 立得等价不等式 [转化] 已知： ，求证 ……② 接下来，我们考虑不等式②的分解变化，易得 [分化] 已知： ，求证 ……③ 证明 先证左不等式，去分母 再证右不等式，去分母 如果将不等式③根式内分母中的系数2改为3， 就会得出 [变化] 已知： ，求证 ………④ 证明 先证左不等式，去分母有理化 得证. 再证右不等式，去分母有理化 十分有趣的是，不等式④中的常数“1”不是处于两个无理式“上界”位置，而是充当了它们的“中介”作用. 如果联想到幂平均不等式，并结合不等式③，就能得出不等式②的一种指数推广. [深化] 已知： ， 求证 ……………⑤ 证明 由于 ， 运用幂平均不等式，得 即有 同理 从而，将如上两个不等式叠加，变形后立得所要证的不等式⑤. 特别地，在不等式⑤，取 立得不等式②；取 联立得不等式①。 作为探究的继续，我们针对不等式③， 自然会提出如下问题： [细化] 已知： ，求证 …………. ⑥ 证明 设 ，则原不等式等价于： 由于 当 时， ，所以， ，从而上式 ，不等式 得证；当 时同理可证. 由上证明过程可知：当且仅当 时，即 时不等式⑥取等号。
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