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简单的金融模型简单的金融模型------非常利息 简单的金融模型------非常利息 在通常的连续复利率模型中,投资变化的百分率是一个给定的常数利率r。换言之,相对于当前价值的价值变化率为常数r。如果设u(t)为t时刻的投资价值(价值记录),则有: 在变化利率模型中,r作为t的函数,上式仍然成立,解得 。 若给定与时间有关的利率和初值 ,则求投资价值u(t)的问题为正问题,这是一种预测;而由投资价值求变化利率的问题称为反问题,它需要微分运算,而正问题需要积分运算,相对而言,微分运算不稳定。关于利率的计算可以有: (1)​ 给出u...

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简单的金融模型------非常利息 简单的金融模型------非常利息 在通常的连续复利率模型中,投资变化的百分率是一个给定的常数利率r。换言之,相对于当前价值的价值变化率为常数r。如果设u(t)为t时刻的投资价值(价值记录),则有: 在变化利率模型中,r作为t的函数,上式仍然成立,解得 。 若给定与时间有关的利率和初值 ,则求投资价值u(t)的问题为正问题,这是一种预测;而由投资价值求变化利率的问题称为反问题,它需要微分运算,而正问题需要积分运算,相对而言,微分运算不稳定。关于利率的计算可以有: (1)​ 给出u(t)的解析表达式,通过平常的微分运算即得。 (2)​ 一般只知道在一些时刻的投资价值,即 。 问题1 如何计算变化利率 ? 以下假设利率和价值记录是严格正的函数。 问题2 对投资价值 ,求与时间有关的利率。 问题3 证明两个价值记录具有相同利率的充要条件是它们的比值是一个正常数。 问题4 如果r是单调增加的,证明u下凸。 问题5 如果价值记录由利率函数 产生,估计u的拐点。 问题6 假定 是一个利率序列,它收敛于,一个严格正的利率r,记 为 产生的价值记录。假定对一切n成立 ,证明: 对一切 成立 问题7 如果 是下凸的,证明利率的导数近似是真利率的一个下界,即 问题8 假设 的近似 满足 其中 为给定的误差上界。如果采用 为时间步长,常数 ,证明利率的导数近似 满足 是某正常数。 问题9 对于问题1的不同处理方法,假设数据精确,你能分析其优缺点吗? 热传导问题 与外界存在热交换的物体的表面温度不能及时达到热量平衡,如果物体比外界热,热量将从物体往外流出从而使物体冷却,这一现象最简单的物理模型是牛顿冷却定律,即表面温度的变化与物体和外界的温度之差成比例。设时刻t物体的表面温度为 ,而外界温度为常数A,则牛顿冷却定律可以写为: 其中热交换系数 为正常数。这是一个经典的指数衰减模型,确定表面温度的正问题有唯一解 这个解依赖于3个参数: ,给定某时刻表面温度的测得值,就可能确定未知参数。 牛顿定律纯粹是表面原理,没有考虑物体的内部性质----也称为材料的本构关系和特征,因而并不能准确描述热问题。傅利叶(1786-1830)首先给出内部热变化的原理,其关键是热量和温度的关系和能量守恒。 热量可以描述为: ,其中 与材料相关,称为物质的比热。 傅立叶热定律告诉我们:单位时间流过曲面 的热量为 其中 为热传导率,和材料相关。 问题1 对一横截面积为单位面积的单位长度棒子,假设密度和材料比热分别为 ,棒子的侧面绝热,试建立模型,描述棒子的温度分布。 问题2 假设 是物体的表面温度,物体按照牛顿定律在外界温度为常数 的情况下冷却,证明: 严格递减,上凸, 是其水平渐进线。 问题3 若测得以下数据: 时间单位为分钟,温度单位为华氏温度。求解周围温度、初始表面温度、热交换系数。 问题4 证明:按牛顿定律冷却的物体的表面温度 在三个时刻 的值唯一确定了参数 。 问题5 证明按牛顿冷却定律,对于等差级数的任何时间序列 ,温度差的序列 也形成一个等差数列。 问题6 假设对于任意 为正的连续函数,对于下列条件: 证明函数 满足这些条件。 问题7 在问题6中改第3个条件 ,证明:当 时, 。 问题8 证明在问题6中 对应的解唯一,从而就是问题6给出的解的表达式。 问题9 令问题6中的棒子中点的温度变化记录为函数 ,证明由 决定的变量系数为
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分类:工学
上传时间:2011-05-16
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