高一欢迎你

《高一欢迎你》 .DDAo出品 0 高一欢迎你 Pre-learning of Something in Senior High School For students of Junior Ⅲ By Zeizyy 《高一欢迎你》 .DDAo出品 1 目录 序 致各位初三的同学 ............................................................................................................ 2 第一部分 物理 ......................................................................................................................... 3 第一章 直线运动 rectilinear motion ................................................................................. 3 0. 引言 ............................................................................................................................ 3 一、参照（考）系 ........................................................................................................... 4 二、位置、位移和路程 ................................................................................................... 4 三、速度与速率 ............................................................................................................... 5 四、加速度 ....................................................................................................................... 6 五、位置、速度与加速度的关系 ................................................................................... 6 *匀变速运动中的推论 ..................................................................................................... 8 *初速度为零的匀变速直线运动的推论 ......................................................................... 9 五、仅受重力作用下的匀变速直线运动 ..................................................................... 11 第二章 力与物体的平衡 ................................................................................................. 13 〇、 引言 .................................................................................................................. 13 一、 基础知识 .......................................................................................................... 13 二、 三种常见的力： .............................................................................................. 13 *受力分析 ....................................................................................................................... 18 第二部分 数学 ....................................................................................................................... 21 正式开始之前，先来做点初中 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目 ................................................................................. 21 第一章 集合与命题 Sets and Proposition ................................................................... 27 一、 什么是集合 ...................................................................................................... 27 二、 集合的三种特性 .............................................................................................. 27 三、 集合的表示法 .................................................................................................. 28 四、 集合中的符号 .................................................................................................. 28 五、 子集 .................................................................................................................. 29 六、 集合间的关系及其运算 ................................................................................... 29 七、 命题 ................................................................................................................... 30 八、 命题的四种形式 ............................................................................................... 30 《高一欢迎你》 .DDAo出品 2 九、 充分条件、必要条件及充要条件 ................................................................... 31 十、 子集与推出关系 ............................................................................................... 31 十、 区间表示法 ....................................................................................................... 32 第二章 不等式 Inequality ........................................................................................... 34 一、 不等式的证明 .................................................................................................. 34 二、 解不等式 .......................................................................................................... 38 *一元二次方程根的分布 ................................................................................................... 41 致各位初三的同学 当我在你们这个年纪的时候，我度过了一个十分快乐的初三下。我是一个住 宿生，每天完成了那不能算是太多的作业之后我就开始无所事事起来，我也便玩 乐中度过了初三下的许多个夜晚。虽然这半年的荒废并没对我造成什么影响，但 我想如果我把这些时间用来从事一些更加有意义的事情，一定会锦上添花的。而 如今我高一了，也问了许多总校的同学他们的初三生活，他们因为没有中考，再 加上社会实践等一系列乱七八糟的活动，他们的初三生活更是可以用“糜烂”二 字来形容。在我和他们的交流中，也确实有一些同学表示初三那年他们浪费了太 多的时间，做了一些没什么意义的事情。所以为了让一些有能力自学的同学能够 有一些 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 作为参考，让你们度过一个更有意义的初三下，同时也为高一的学习 奠定基础，我编了这本《高一欢迎你》。书中包含数学、物理各两章。 有人可能会说我为什么不到外面买书，外面的书多了去了，而要买你的呢？ 因为本书旨在供一些初三同学预习，更好的适应高一的学习，所以相较于一些主 流的高中教材，不同之处在于它的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 不是很多（物理数学各两章），但用语比 较简单，同时也更具有针对性，即知道对于初三的同学来说，哪些地方应该着 重讲解的，旨在让你们更好地适应高一的学习。当然书中还包含了一些要求较高 的内容，涵盖的知识面比较广，供一些水平较高的同学进行学习。而对于只是想 对高中内容有一个 general idea 的同学，这部分内容看着玩玩就行了。（这样的内 容打☆进行区分） 书中可能会出现一些笔误，毕竟这不是专业的出版物，但应该没有什么原则 性的错误，希望大家能够谅解。 最后希望各位初三的同学以我为戒，在初中最后的半年里做一些有意义的事 情，像封面上说的一样，在高一，厚积薄发。 By Zeizyy 《高一欢迎你》 .DDAo出品 3 第一部分 物理 注：☆内容有较高要求 第一章 直线运动 rectilinear motion 0. 引言 运动学——研究位置和时间的力学分支 1. 机械运动 物质的位置随时间变化的运动，可表示为 ( )r r t 其中 r为物体在 t时刻作对应的位置矢量。运动学的本 质是研究物体的位置随时间变化的关系。 ☆位置矢量： 如图，在直角坐标系中，可从原点O向质点P画一矢量 r来表示质点的位置。简称位矢。 r分别于 , ,x y z轴所夹角的余弦称为该位矢的方向余弦。 cos x r   ， cos y r   ，cos z r   又根据勾股定理的三维形式得到该位矢的模： 2 2 2r x y z   进而推出三个方向余弦平方和等于1，即： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 1 x y z r r r           2. 模型——质点 有质量，但不记大小的点。是高中第一个理想模型。 *注意只有当物体大小可忽略不计时才能看为质点。如，1.5 米长的汽车通过 1.5 公里的 隧道时，汽车可看为质点，即，可忽略车长。而 100 米的火车通过 500 米的大桥时，火 车就不能看为质点。 《高一欢迎你》 .DDAo出品 4 3. 时间与时刻 第 n秒内——第 ( 1)n 秒初到第n秒初之间的时间 n秒末——第n秒的结束的时刻，等价于 ( 1)n 秒初 前 n秒——计时开始到到第n秒末之间的时间 4. 矢量与标量 （1） 矢量 其实就是初三时学的向量，是既有大小又有方向，即无法只通过大小描述的量， 叠加时遵循几何法则（三角形法则，平行四边形法则）。 eg.力(F ) 速度( v ) 加速度(a ) （稍后会涉及） （2） 标量 又称纯量，只有大小而无方向的量，叠加时遵循代数法则。 eg.质量(m) 时间(s) 密度(  ) 一、参照（考）系 组成： 1.参照物 2.坐标系 3.时钟 *在运动学中，参照物的选择是平权的。而在今后的动力学（即将运动学和力学结合的力学 分支）中，要考虑该系是否为惯性系，不是则要引入惯性力。 二、位置、位移和路程 1.位置 通过位置矢量可确定物体的位置。 初位置 末位置 《高一欢迎你》 .DDAo出品 5 2.位移 用位移表示物体(质点)的位置变化，即末位置与初位置位矢量的差。位移是从初位置到末位 置的有向线段,其大小与路径无关，方向由起点指向终点。它是一个矢量。 3.路程 即运动的路径长度，是标量 *路程位移的大小 三、 速度与速率 两者区别在于速度是矢量，而速率是它的模，即把向量的帽子拆掉。 1.平均速度与平均速率 （1） s v t  （2） s v t  ☆2．瞬时速度与瞬时速率 （1） 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s t s t t s d s v t t t t dt             （2） 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s t s t t s ds v t t t t dt             * s v v t   lim 表示极限， 0 lim t  表示让 t 趋向于 0，可看作是一个由平均速度随着时间间隔越来越短 逐渐变为瞬时速度的过程. d s dt 表示 s对 t的导数。具体参阅第五点，有兴趣的读者可自行参 与 . .DD Ao出品的《简简明微积分》,第三章中有详细叙述。 《高一欢迎你》 .DDAo出品 6 四、加速度 1.平均加速度 ( ) ( )v t v t t v a t t t t          ☆2.瞬时加速度 0 0 ( ) ( ) lim lim t t v t v t t v dv a t t t t dt              *单位： 2/m s 五、位置、速度与加速度的关系 ☆为了这些公式有一个比较深入的理解，在推导公式之前我们先看这样一个例 子（需要一定微积分的知识，微积分可以说是高中物理不可缺少的一项工具， 有兴趣的读者可参阅 D.D.Ao 出品的《简简明微积分》）： 求一个质点做变速直线运动，满足运动方程 ( )S f t ，求 0t t 时质点的瞬时速度。 解 我们先求出 0t 到 0( )t t 这段时间内质点的平均速度， t 可为任意值. 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t f t t f t v t t t t          现在我们让 t 逐渐趋向于零趋向于 0，最终既得到质点在 0t t 时的瞬时速度，即 0 0 0 0 ( ) ( ) limt t f t t f t v t      而这正是 ( )f t 在 0t 点导数的表达式， *即 0 0 '( )tv f t ，质点在 0t 处的瞬时速度等于运动方程在该点的导数，即该点的切线斜 率.* s t 图中某点的切线斜率表示该点的速度（非常重要的结论） 这个结论在给定运动的 s t 判断速度大小时十分方便，只要判断切线斜率的大小即可。对 于任意形式的直线运动，只要知道了它的运动方程也就知道了它在每一点的瞬时速度。 这个结论还可以推广到许多存在这样关系的物理量之间，如速度对时间的一阶导数是加 速度，位移对时间的二阶导数也是加速度，动量对于时间的导数是力等等。一般可以从量纲 上判断所得导数对应的物理量，如动量的量纲是 1MLT  ，即质量乘以速度，对时间求导之 后相当于量纲式除以 t，变为 2MLT  ，即质量乘以加速度，也就是力。其他也可如此类比。 《高一欢迎你》 .DDAo出品 7 一般来说，一个物理量 关于另一个物理量 变化连续时都可以通过这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求得量纲为   的物理量关于 的关系。 量纲：将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量 纲式，简称量纲，量纲又称为因次。 .Eg 某质点做匀变速直线运动，满足关系 20 1 2 S v t at  ，求该质点速度和加速度的表达式. 由上述分析可知位移对于时间的一阶导数是速度，二阶导数是加速度，即： 0 0 1 ' (2 ) 2 v S v a t v at     'a v a  与之后给出的匀变速直线运动中的结论一致. 匀加速直线运动（减速的情形只要将式中加速度a取负代入即可） 匀变速直线运动的公式： （1） 0t v v a t   tv 表示末速度， 0v 表示初速度 因为匀加速直线运动中速度关于时间变化均匀，即速度和时间呈线性关系，所 以从数学上来看其 v t 图像是一条直线，加速度就是 v t 图的斜率。因为加速度 恒定，所以加的速度除以加速所用的时间得到加速度大小。从下图亦可看出。 （2） 0tv v at  将（1）式变形既得（2）式。 a是斜率即 的正切， at物 理意义是在时间 t内所加的速度，即图像中 v的增量，加上 初速度即末速度。 （3） 2 0 1 2 s v t at  因为位移是速度对于时间的积累，所以*匀加速直线运动的 v t 图像与 x轴所围成的梯形的（在初速度为零时退化为三角 形）面积即位移（非常重要的结论）。如右图通过梯形面积公 式 2 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 ts v v t v v at t at v t       *事实上所有直线运动的 v t 图像与 x轴围成的曲边梯形的面积都表示位移，可 把运动时间分成及其微小的无穷多段 dt，则每段都可以看成是匀速直线运动， 则每段微小位移就是 dt 乘以该点的函数值 f(t)，然后再对每段微位移求和即可， 而因为 dt 十分小，直观来说就是这些矩形很细,则它们的面积之和就不多不少是 《高一欢迎你》 .DDAo出品 8 f(t)与 t 轴围成的曲边梯形的面积。同学们现在可以通过对匀速直线运动做一定 的验证，要深入了解，需要一点微积分的思想，有兴趣的读者可参阅 . .DD Ao出 品的《简简明微积分》。运用积分的知识事实上可处理任何形式的直线运动。更 一般的，一个物理量 A在另一个物理量 B上的积累都可通过求 A B 图中的曲边 梯形面积来求解。 *同时也可以从运动的分解角度来看，匀加速直线运动可分解成一个匀速运动和 一个初速度为 0 的加速运动，位移是这两个运动的矢量和，因为在一条直线上 不必考虑方向，求代数和即可。 0v t为匀速运动的位移， 21 2 at 为初速度为 0 的加 速运动的位移，没有矛盾。 （4） 2 2 0 2tv v as  联立（2）、（3）消去 t 即得.知道末速度，初速度，位移，加速度中的任意三个 渴可以求另一个，其实这个挺常用的. （5） 2 1 2 ts v t at  联立（2）、（3）消去 v0 即得，这个式子的物理意义是加速度反演，即运动可逆， 可想象为将运动的过程录下来后倒过来播放，变为初速度是 tv ，加速度大小是 a 方向相反的匀减速直线运动. （6） 0 2 tv vs t   可从几何上理解，表示位移的梯形面积等于其中位线，即平均速度（v0+vt）/2， 乘以高，即时间 t.运用这个公式可将二次公式（3）的计算降为一次的计算，十 分方便，推荐计算位移时使用。 *匀变速运动中的推论——可通过画v t 图进行理解 1.匀变速运动中间时刻的瞬时速度 2 sv 等于这段时间的平均速度，即 2 tv v 匀变速直线运动在v t 图中是一条一次函数，利用梯形中位线的性质得 0 2 2 t t v v v   ，又由梯形面积公式 0 2 tv vs t   ，而位移等于平均速度乘以时间，即 s vt ， 可得 2 tv v 《高一欢迎你》 .DDAo出品 9 2.匀变速运动在任意连续相等时间间隔内的位移之差，等于 2aT 。 即 2s aT  第m段与第n段之差： 2( )m nS S m n aT   3.匀变速运动在中间位置的速度，等于 2 2 0 2 tv v 。 即 2 2 0 2 2 t s v v v   。 :proof 将整个运动按照位移的中点分为两段，根据公式（4）可列出两个式子 对于前半段 2 2 0 2 2 ( ) 2 s s v v a  对于后半段 2 2 2 2 ( ) 2 t s s v v a  所以 2 2 2 2 0 2 2 s t sv v v v   ，解出 2 sv 得 2 2 0 2 2 t s v v v   *初速度为零的匀变速直线运动的推论——本质是三角形中的比例 1.在连续相等时间间隔内通过的位移之比为1:3:5: (2 1)n…… （ 1,2,3,4n  ……）. 22 1 2 N n S aT   ——相似比为1: 2:3:……的三角形与梯形的面积比（因为注意是求时间 间隔内通过的位移，而不是总共通过的位移，要用总的位移，减去前一个时刻之前的总位 移，所以只有第一个是三角形，后面都是减去前面一个三角形后的梯形）其他的也按照这 个思路推到即可。 2.通过连续相等位移需要的时间1: ( 2 1) : ( 3 2) ( 1)n n    。——设每段相 等的位移为 s，则通过 i倍的 s的时间克表示为 2 /it is a ，求出通过每 i倍的 s用的时间， 减去通过 1i  倍所用的时间即得通过两者之间的 1 倍 s位移所用的时间。 3.连续相同时间内通过的位移 2 2 2 21 2 3 n：： 。——相似比为1: 2 :…相似三角形面积比。 *处理匀变速直线运动可使用图像法，利用v t 图中曲边梯形的面积是位移，s t 图中图像 某点的切线斜率是该点的速率可将许多复杂的问题转化为直观的几何关系，如三角形相似， 梯形相似，三角形的相似比等等。一般来说，使用图像法是方便的，但不排除某些特例。 《高一欢迎你》 .DDAo出品 10 .Eg 1.物体作出速度为零的加速直线运动，前 t时间的位移为 1s ，后 t时间的位移为 2s 。则 它在 t时刻的瞬时速度为（ ）？ 2 1 2 . 2 s s A t  1 2. 2 s s B t  2 1. s s C t  2 2 2 1 2 . 2 s s D t  1 2 . s E t 解 A：从量纲（ 7P 中对其有叙述）上既可以看出，它的量纲是 2LT  ，而速度的是 1LT  ， 该量纲所对应的物理量应该是加速度，所以 A错。 B：因为初速度为零，设运动的加速度为 a，则 21 1 2 s at ，根据初速度为零的匀变 速直线运动推论 1，连续相等时间间隔内物体通过的位移之比为奇数比得 2 13s s ，则 2 1 2 1 4 2 2 2 at s s at t t     ，根据 0tv at  可得at为 t时刻的瞬时速度。 C：同B， 2 2 1 1 2 2 at s s at t t     ，为 t时刻的瞬时速度。 D：根据， 2 2 2 2 2 22 1 2 2 1 (9 1) ( ) 2 2 2 at s s a t at t t       ，为 t时刻的瞬时速度。或 者也可由B乘以C开根得到。 E： 2 1 1 2 2 2 at s at t t    ，为 t时刻的瞬时速度。 所以本题应选 , , ,B C D E . 2.一汽车做匀加速直线运动，8s内先后通过相聚38.4m的甲、乙两地，已知通过乙地时的 速度为通过甲地时的2 倍，求其运动加速度。 解 设汽车通过甲的速度为 v，则通过乙的为2v，则这段的平均速度等于中间时刻的速度， 由位移等于平均速度乘以时间，列出方程。 2 8 38.4 2 v v   ，解得 3.2v  ，则 22 0 . 4 / 8 v v a m s    3.做匀加速直线运动的物体在连续两短时间 1 2,t t 内所发生的位移分别为 1 2,s s ，则物体运动 的加速度为多少？ 解 由匀变速运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，前段位移中间时刻的瞬 时速度为 1 1 s t ，后半段的为 2 2 s t ，而两个中间时刻之间的间隔为 2 1 2 t t ，根据 0t v v a t   ， 《高一欢迎你》 .DDAo出品 11 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2( ) ( ) 2 s s t t s t s t a t t t t t t       五、仅受重力作用下的匀变速直线运动 以下两者都是匀加速直线运动，公式可类比. 1.自由落体运动 Def：物体只受重力(不受空气阻力)作用由静止开始下落运动。 Feature：初速度等于 0，只受重力，g同初中的重力常数，称重力加速度，大小为 29.8m/s 。 Formulas： v gt 2 1 2 h gt 2h t g  2.竖直上抛运动 Def：物体在只受重力的作用下有一初速度竖直向上抛出所做的运动。只要把匀加速直线运 动中的加速度加上符号代入即可。 Formulas： 0tv v gt  2 0 1 2 h v t gt  2 2 0 2tv v gh   *注： 1） 0 v t t g  上 降 下落的过程可看成是对应上升过程的反演（匀变速运动公式中提到过），很好理解从上抛位 置到顶端的时间等于从顶端回到上抛位置的时间相等。 《高一欢迎你》 .DDAo出品 12 2） 2 20 0 max 1 ( ) 2 2 v v h g g g   根据运动可逆，从运动开始到物体的速度减到零的过程倒过来就是一个匀加速问题，上式 易证。 3）v v 下上 由 1）式乘上 g 即得。 4）技巧：取开始抛出时刻为计时起点。 *解题技巧：取自由下落的物体为参照物。 .Eg 一根长1m的细直棒自某一高度呈竖直姿态由静止开始下落的同时，地面上一小球以某 一初速度竖直上抛，经 0.5s后，小球与棒的下端在同一高度，一只小球通过整根棒历时 0.1s，求棒开始下落时其下端离地面的高度。 解 如取底面为参照物，就要列复杂的匀加速直线运动式，十分繁琐，这种情况下可取棒为 参照物，相当于你站在一个与棒一起下落的参照系上看球的运动，则此时球的重力加速度就 没有了，你看到球做匀速运动，速度为其上抛时的初速度。因为小球通过整根棒历时0.1s， 棒长1m，则球的初速度就是 1 10 / 0.1 m m s s  .又因为经过0.5s小球与棒的下端在同一高度， 所以开始下落时其下端离地面的高度就是10 / 0.5 5m s s m  *直线运动中的追击和相遇问题 一般思路： 1. 研究两个支点的运动性质画出示意图。 2. 列出位移方程，寻找它们与初始间距的关系。 3. 解方程。 4. 简便方法：选择合适的参照系。 .Eg 沿笔直河流逆流航向的游艇在经过某桥时奖一救生圈失落在河面上，而游艇继续前进了 一段时间 t后才发现。游艇立即返航，结果在距桥 s处找到了救生圈。若游艇相对于水的速 率恒定，则水流的速率为？ 解 本题的一般解法是取地面为参照物，列运动学方程求解，但因为涉及水速，方程会变得 十分复杂，这种情况下可取救生圈为参照物，可想象为你套着救生圈看船的运动，则此时船 做匀速运动，发现时过了 t时间，则掉头追到救生圈也用 t时间，而在这2t 的时间内，救生 圈行了 s，则 2 s v t 水 . 《高一欢迎你》 .DDAo出品 13 第二章 力与物体的平衡 〇、 引言 两个“力”：力与力矩 两个基本功：受力分析与力的合成/分解 两种平衡：共点力平衡（ 0F  ，即合外力为 0）与一般物体的平衡（同时满足 0 0oF M  ， ，即合外力和合力矩都需为 0）其中， 表示求和。 一、 基础知识 力的概念： 1. 定义：物体对物体的相互作用（牛顿第三定律） 2. 力的三要素：大小、方向、作用点 3. 力的分类： （1） 按性质——重力、弹力、摩擦力 （2） 按作用效果——动力、阻力、支持力、压力、浮力、向心力 二、 三种常见的力： 1. 重力 （1） 产生 主要是由于与地球间的的万有引力吸引 而产生的力（在天体运动中会详细叙述） ☆万有引力大小公式： 1 2 2 mm F G r  其 中 F 为两物体间的引力， 1 2,m m 为两物 体的质量， r为两物体间的距离，G 为 引力常数，曾由卡文迪许通过扭秤测得， 11 2 26.67 10 /G N m kg   ，万有引力 定律表明 任意两个质点间有通过连心 线方向相互的吸引力。天体运动中会详细叙述，而本书中不涉及。 （2） 方向 《高一欢迎你》 .DDAo出品 14 一般情况下可理解为竖直向下。☆而其实重力是万有引力的一个分量。因为地球自传产生的 离心力，万有引力的一个分力用来平衡这个离心力，所以实际上除了两极以外（线速度等于 0，不产生离心力），重力并不指向地心。也是因为这个原因，重力加速度 g的大小随纬度 的增大而增大（因为既定情况下万有引力一定，又地球自转角速度恒定，纬度越大线速度越 小，产生的离心力也越小，与其平衡的万有引力也较小，所以重力分量会比较大，根据牛顿 第二定律F ma 重力加速度也越大） *向心力：与离心力平衡，根据牛顿第二定律等于向心加速度乘以物体的质量，即 2 n v F m   ， 其中v为质点在该点的线速度，  为该点的曲率半径。 线速度：质点作曲线运动时所具有的瞬时速度。它的方向沿运动轨道的切线方向，故又称切 向速度。 （3） 作用点 重心（等效点） *重心确定 （1）质量均匀分布：与几何形状有关，重心在几何图形的形心处。 （2）质量分布不均匀：与质量和几何形状都有关。 （3）薄板状物体质量均匀而形状不规则——悬挂法 （4）特殊方法——☆巴普斯定理 一维物体： 一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的 旋转曲面的表面积 A，等于曲线的长度 s乘以曲线的重心通过的距离 1d ，即 1A Sd 。列出 方程可将重心解出。 二维物体： 由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积 V，等于平面形状面 积 S乘以平面形状的重心经过的距离 1d ，即 1V Sd 。列出方程可将重心解出。 .Eg 求半圆面的质心 令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为 R，那么它的面积即 为 2 2 R S   ，所得球体体积为 3 4 3 V R ，又设质心离半圆面的圆心距离为 x，则质心旋 转一周经过的路程为 2L x ，由巴普斯定理得V SL ，所以 4 3 R x   . 《高一欢迎你》 .DDAo出品 15 当然在已知物体质心的情况下还可通过巴普斯定理求出物体的面积 .Eg 推导圆锥的体积表达式（底面半径为R，高为h） 圆锥是由一个直角三角形绕直角边旋转得来的，所以它的体积等于三角形的质心到直角 边的距离乘以直角三角形的面积，而三角形质心到直角边的距离又是直角边上高的 2 3 ，即 21 2 1( ) 2 3 3 V ah a a h   三维物体的质心无法用巴普斯定理求解 （4） 万金油——☆微积分 三维物体的质心无法用巴普斯定理求解，而微积分是求解质心最一般的方法，理论上可以 求任意物体的质心。 质心的定义： 1 1 n i i i c n i i m x x m      1 1 n i i i c n i i m y y m      1 1 n i i i c n i i m z z m      非均匀物体质心的求解只要在积分中加入密度参量即可。 介于微积分理论所占据的篇幅会比较大，有兴趣的读者可以参考 . .DD Ao出品的《简简明微 积分》教程，该书第四章中有详细的叙述。 2. 弹力 （1） 产生 发生在两个接触且有弹性形变的物体间的力 分为弹性形变和范性形变，区别在于前者可恢复，后者不可恢复.。 （2） 大小 一般地，弹力的大小与形变程度有关。 特殊地，弹簧、橡皮筋等在弹性限度内有胡克定律 f kx 《高一欢迎你》 .DDAo出品 16 其中 f 为弹力大小，k 为弹簧的劲度系数。对于一根确定的弹簧来说 k 是常量，但弹簧的长 度和粗细的改变都会引起 k 的改变。 x为弹簧的形变量（ l是末状态弹簧的长度， 0l 是弹簧 不受力时的长度）， 0x l l  *弹簧的串并联 设两弹簧的劲度系数分别是 1k 和 2k . 则弹簧串联后的劲度系数是两弹簧劲度系数的调和平均数，即 1 2 1 2 1 2 1 1 1 k k k k k k k     而两弹簧并联后的劲度系数 1 2k k k  . 可看出弹簧串并联正好与电路的串并联相反，读者可根据串联中两弹簧中的弹力相等，并 联中两弹簧中弹力的和为新弹簧弹力自行证明。 （3） 方向 总是与使物体发生形变的外力方向相反 3. 摩擦力 （1） 产生 需满足三个条件： i. 接触面不光滑，即摩擦系数不等于 0. ii. 两物体间有弹力，即非虚接触（正压力≠0）. iii. 两物体间有相对运动或趋势. （2） 大小 实验表明 i. f N滑 即物体所受的滑动摩擦力和其受到的弹力成正比。其中 为动摩擦因数， 与材料种类，粗糙程度有关，而既定的情况下为定值. ii. f静 大小不确定 m a x0 f f 静 ，可通过受力分析列平衡方程求解. 最大静摩擦力： max 0f N 0 ——最大静摩擦系数 0 略大于 ，即最大静摩擦系数略大于滑动摩擦. 《高一欢迎你》 .DDAo出品 17 ☆摩擦角与自锁现象 当有摩擦时，支承面对物体的弹力N 和静摩擦力 f 。这两个力的合力 RF 称为支承面的全约 束反力，简称全反力，它的作用线与接触面的公法线成一偏角 ，如图 ( )a 5-8a 所示。当物 块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，偏角 也达到最大值如图 ( )b 所示。全 约束反力与法线间的夹角 的最大值称为摩擦角。由图可得 tan m f N N N      即摩擦角的正切等于静摩擦系数。 当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；在临界状态下， RF 的 作用线将画出一个以接触点 A为顶点的锥面，如图 ( )C 所示，称为摩擦锥。设物块与接触 面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角 2的圆锥。 2．自锁现象 物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值 mf 之间变化，所以全约束反 力与法线间的夹角 也在零与摩擦之间变化，即 0    由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全 约束反力必在摩擦角之内。由此可知： （1）如果作用于物块的全部主动力的合力 RF 的作用线在摩擦角 之内，则无论这个力怎样 大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。 （3） 如果全部主动力的合力 RF 的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一 定会滑动。应用这个原理可避免自锁现象。 ☆弹力、摩擦力产生的机制——电力（电荷间的相互作用） 《高一欢迎你》 .DDAo出品 18 *受力分析 1.定义 将对象受到的所有外力都找出并画出，并画出受力示意图。 2.步骤 （1） 取对象（隔离法、整体法） 有时运用整体法可大大简化解题过程。 （2） 按顺序分析：重力、弹力、摩擦力、已知外力 （3） 画出受力示意图，并标明常用字母 , , ,NG F f F （4） 检验：原则：没有施力物体的力不存在 *在非惯性系（如有加速度的参照系）中进行受力分析时应加入惯性力。本书中不涉及，有 兴趣的读者可自行参阅牛顿第二定律的相关内容。 *力的合成与分解 一、 力的合成 1. 合力：作用效果相同 2. 分力：作用效果相同 3. 共点力：汇交于一点的力互称共点力。 4. 共点力合成：矢量几何法则 二、 力的分解 1. 法则：平行四边形法则/三角形法则 2. 分解类型 *分解的典型情况 原则——按照实际作用效果进行分解 i. 正交分解：将一个力分解为 xF 和 yF 两个相互垂直的 分力的方法，叫作力的正交分解 1 ix x F F F  《高一欢迎你》 .DDAo出品 19 2 iy y F F F  将两个方向上的所有分离求和后再将两个力合成即得总的合力，即 2 2( ) ( )x yF F F    如此分解所得的两个力互不影响，而又因为分立间夹直角，方便计算。 ii. 沿斜面力的分解 下滑力 1 sin sinF G mg   对斜面的正压力 2 cos cosF G mg   iii. V 型槽 1 2sin 2 F F   两个 F1 都垂直于槽壁 iv. 三角架 图中 ,BC AC为两轻质硬杆，则在C点挂一重物后，由图配 上一点常识可看出，C点的重物对 AC杆产生拉伸效果，而 对BC杆产生挤压效果。 则 ,AC BC杆中的弹力分别为： 1 csc sin F F F     2 cotF F  *静力学的本质其实几何,受力分析之后通过边三角形与力的 矢量三角形的相似将已知条件联系在一起。同学们对于三角函数的关系要熟悉，在力学中 十分的常用。如果已知一个角的三角函数，用已知的边去乘上要求的边比上已知边的三角 函数即可。如已知邻边要求对边，则乘上对边比邻边的三角函数——正切。一般如果平面 几何没什么问题的话力学中不太难得题目就都没什么问题了。而对于比较难的题目经常要 使用所谓的“微元法”对数学的要求比较高，有兴趣的同学可以学习一下微积分。 三、 应用 0. 平衡的概念 指物体处于静止或匀速直线运动（平动）/转动 1. 共点力平衡条件 《高一欢迎你》 .DDAo出品 20 0iF  ，即合外力为零. 特殊的有☆拉密定理 如果三个共点力的合力为零，那么任一力与其相对角的正弦的比值均相等。 即 sin sin sin cA B FF F      其中 , ,A B CF F F 为三个共点力，而 , ,   则为 , ,A B CF F F 分别所对角的角度。 *三力平平衡（必共面）非平行，即共点（重要结论，应用之一是确定物体的重心，物体在 两个外力的作用下平衡，则物体所受的重力一定过两外力的交点，重心也因此可以确定） 三力中任两个的合力与另一个等大共线反向 2. 有固定转轴的平衡 （1） 力矩 Def：Ⅰ M=Fl Ⅱ☆M r F  向量的叉积：结果仍是个向量，大小等于 sinr F   ， 是 F 与 r间的夹角，方向 由右手系确定。有兴趣的读者可自行参阅有关线性代数的内容，这里不展开。 *分力矩之和等于合力的力矩。（重要结论） （2） 力矩平衡 0oM  或 M M 顺 逆 *有时巧取转动轴可使某些力经过转动轴，从而使它们的力矩等于 0，简化平衡方程。 3. 一般物体的平衡 0F  且 0M  即同时满足 1、2 的条件. ☆虚功原理 在分析力学中，施加于某物体的作用，由于给定的虚位移，所做的机械功，称 为虚功。以方程表达， W F r   。通过虚功原理和能量间的关系可将一些量之间 的关系揭示出来，从而避免使用微元法，在一些情况下可以很快得求出特定的作用 力的大小。 《高一欢迎你》 .DDAo出品 21 .Eg 如图所示，一个半径为 R的四分之一光滑圆柱面固定在水平桌面 上，柱面上有一条单位长度质量为 ρ 的均匀铁链。铁链因 A端受到水 平拉力 F的作用而平衡，B刚好与桌面接触，求水平拉力 F的大小。 解 设在 A端施加一个水平力F ，且有虚位移 r 。 由功能原理有拉力做的正功等于重力做的负功，重力做虚功的过程等 效于只有B端 r 的链被提升R高度来到 A点，其余的链子都在原位， 即： F r r g R       解得 F gR 第二部分 数学 正式开始之前，先来做点初中题目 看看你初中数学过关了没 2 2 2.ai bik k ai bi    1.求证： （ ） 4 4 4 2 2 2 2 2 22. 2 2 2 .a b c a b b c a c    因式分解： 3 3 32 2 2 1 3. ( ) , (1) (3) (999). 2 1 1 2 1 f x f f f x x x x x           求 24. 2 2 0x ax a b b   对于任何实数， 有实根，求 的范围. 2 1 15 2009 20.09 10 , .x y x y   . 求 2 26. 1 .x y x xy y    求 的实解 3 27. 5 (2 5 1) 5 5 0.x x x     解方程: 8 6 4 28. 1.x x x x   因式分解: 1 1 1 1 9. .( ) sin12 sin 24 sin 48 sin84        证 提示：用构造法 《高一欢迎你》 .DDAo出品 22 2 2 2 2 2 2 10. . b c c a a b a b c b c c a a b a b c           化简： 2 11. 0, 1, , , . 3 a b c abc a b c    求证 中必有一个不小于 1 1 1 1 12. . 3 3 5 3