s3纤维丛之基础与示性类理论之概要

1 纤维丛之基础与示性类理论之概要 项武义 纤维丛 （fiber bundle）这种几何结构，是在大域几何（global geometry）、拓扑学（topology） 和近代物理的研讨中自然展现的基本结构；其基础理论和示性类理论（theory of characteristic classes） 则自然而然的是上述领域的研究中重要、有力的基本工具。有鉴于此，我在 2005 年 1 月在北大给了四讲（八小时）的短课，概述其要，以便于高年级本科生和研究生能够简 明扼要地掌握纤维丛的基础理论和示性类理论之精要与基本运用。 这本小册子也就是上述四讲所讨论的要点之概括，希望它能够有助于更多的同学们学 习，掌握这种研究大域几何性质的基础理论与基本工具。 2 第一讲：纤维丛的范例、结构与基础 纤维丛乃是fiber bundle 的中译，但是在英文本身，fiber bundle两字的本义，对于我们所 要讨论的数理结构来说，依然是词不达意。此事不足为奇，因为这种在大域几何、拓扑学和 近代物理的研讨中才自然展现的几何结构，本来就并非我们日常易见常见者也，所以我们今 天开始讨论纤维丛，就自然得先从这种结构的来源和范例讲起，因为纤维丛的结构乃是从这 种自然展现的范例的综合分析、归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 而得者也。 §.1 纤维丛的几个范例 [例一]：时空结构的返朴归真 话说当年（十九世纪末、二十世纪初），自然定律应该在 Galileo变换之下保持不变，乃 是自有牛顿力学以来，两百多年深信不疑的“相对性原理”（principal of relativity），但是新兴 的电磁学基础理论（Maxwell，1873）却是并非如此！由此自然就引发了一系列的探讨与实 验，例如Michelson-Morley 的光速实验，Lorentz 的压缩假说，Lorentz 变换的发现等等。这 也就是导致 Einstein 在 1905 年所发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的狭义相对论的时代背景，它使得理性文明对于时空 （space-time）的观念与认识，有了彻底的革新。兹简述 Einstein 在 1905 年狭义相对论中， 对于时空之本质所作的认知如下： （i）在同一个位置发生的事件（events）在时间上有先后之别，例如在某一位置的某种 计时器（clock）所纪录者就是当地的局部时间（local time）。总之，时间的本质是局部的 （intrinsically local）！所以“时空”本质上就是空间之上的一个1-bundle，即 （时空）E π⎯⎯→V（空间）， 其中空间 V 中每一个点 p 的 1 1(p)π − ≅  就是 p 点的局部时间。再者，全空间各点所用的 计时器是统一同样的，则时间之间前推进乃是 E 上的一个1-流，其数学表达式就是 (1) E× 1→E 亦称为 E 上的一个1-作用（an 1-action），[在中文里有“时光流逝”这个成语，其所描述 者其实就是上述1-流是也！] (ii).在每一点（连续地）取定具局部时间之起计点，就是 E→V 的一个横截（cross-section） 即 V s⎯⎯→ E 满足 π D s=IdV.对于一个取定的横截 s，就有下述 E 的卡积结构（Cartesian product），即 (2) V× 1 ≅⎯⎯→ E （p，t）6 s(p) ⋅ t Einstein 在 1905 年的文章中，明确了妥加选取上述横截的基本重要性，称之为瞬时性 （simultaneity）。而他是结合光速守恒律 Michelson-Morley 实验之结果］来对于瞬时性妥加 定义的。然后就可以用来建立时空的坐标系，即 (3) E≅ V× 1≅ 3× 1 接着他对于这样妥加选取的时空坐标系研讨其坐标变换式（亦即时空的相对性），发现它就 是 Lorentz 变换！由此，他引领我们认识到 Lorentz 变换所表达者，不但是电磁现象的相对 性，它根本就是时空的相对性（the relativity of space-time）！有鉴于一切自然现象皆发生于 时空之中，所以它当然也是一切自然定律的相对性，古典力学当然也如此，其基本定律必须 3 要加改正成在 Lorentz 变换之下保持不变者，这就是狭义相对论。 [例二] 以线段 I 为纤维，圆圈 S1 为底（base），我们可以构造下述两个纤维丛，即 S1× I→S1： Moebius bend： 在上面二者之中，若略去任何一点 p∈S1 之逆映象 1(p)π − （亦即剪去一个 I），则所剩者都是 （0，2π）× I，所以两者皆有局部卡积结构，但是后者不具有全局的卡积结构，它乃是一种 扭积（twisted product）。 [例二]΄：假如我们把上述两者局限到它们的边界，则有 S1 2×Z →S1： S1 的二重覆盖： [例三]：可微流形的切丛（the tangent bundle of a differentiable manifold）： 设 M 是一个可微流形，令 TpM 是它在 p 点的切向量空间（tangent space at p）；本质上， 它就是 M 在 p 点的局部线性逼近。将 M 的逐点局部线性逼近聚集而成的总体，亦即 (4) -1p p p M T(M) = T (M) M, (p) = T (M)π π ∈ ⎯⎯→∪ 叫做 M 的切丛，切丛的一个横截就是在大域几何和电磁学、力学中常见常用的向量场（vector field）是也！ [例三΄]：可微流形的偶切丛（the cotangent bundle）： 令 *pT M 是 TpM 的对偶空间，称之谓偶切空间。则， 4 (5) * * -1 *p p p M T (M) = T (M) M, (p) = T (M)π π ∈ ⎯⎯→∪ 叫做 M 的偶切丛（the cotangent bundle of M）。 [例四]：可微流形的标架丛（the frame bundle）： 令 Fp(M)为 TpM 中所有可能的基底（base）所组成的空间，则 (6) p p M (M) = (M) M π ∈ ⎯⎯→∪ ]F F 叫做 M 的标架丛（the frame bundle of M）。 [例五]：黎曼流形的正交标架丛（the orthonormal frame bundle）： 设 M 是一个黎曼流形，亦即其上每点的切空间具有选定的内积，令 Fpo(M)为 TpM 中的 所有正交标架所组成的空间，则 (7) o op p M (M) = (M) M π ∈ ⎯⎯→∪ ]F F 叫做黎曼流形 M 的正交标架丛（the orthonormal frame bundle of M）。 [例六]：G-主丛： 例一、二΄、四和五具有一种共性，即都具有一个变换群 G=1，2，Gl(n，)，O(n)， 分别在其每一个纤维， -1(p)π ，上的作用是单可递的（simply transitive）；而且都具有局部 横截（local cross-section）。这种纤维丛在所有纤维丛中居于既精简又扼要的地位，称之为 G-主丛（principal G-bundle）。兹明确其定义如下： 在此让我们先介绍一下普遍有用而且常用的几个变换群（transformation groups）的术语 和符号： 下述三者乃是同一事物的三种表述方式： (i).G 是 E 上的一个左（或右）变换群 (ii).E 是一个左（或右）G-空间（G-space） (iii).E 上的一个左（或右）G-作用（G-action） 它们的结构乃是具有下述变换映射（transformation map），即 (8) : G E E ( E G E)Φ × → × →或 满足条件式： (8΄) 1 2 1 2 1 2 1 2 (e,x) = x, ( g , (g , x))= ( g g , x) (x,e) = x, ( (x, g ), g ) = (x, g g )) Φ Φ Φ Φ ⋅ Φ Φ Φ Φ ⋅(或 若以简化符号 g ⋅ x（或 x ⋅ g）表示 (g, x)Φ （或 (x, g)Φ ）则(8΄)式即为 e ⋅ x = x, g1 ⋅ ( g2 ⋅ x) = (g1 ⋅ g2) ⋅ x (或 x ⋅ e = x, (x ⋅ g1) ⋅ g2) = x ⋅ (g1 ⋅ g2)) 这种习用的乘法运算律的形式。 对于 E 中给定点 x0，G 中使得 x0 点不动的元素，即子群 0 0 00xG ={g G; gx = x x g =∈ (或 0x )}，叫做 x0 点的定点子群（stability subgroup of x0）或迷向子群（isotropy subgroup of x0）； 5 而 E 中由所有 g ⋅ x0 所成的子集，即 ( )00 0 0G = {gx ; g G x(x ) g = x }∈ ⋅或 ，则称之谓点 x0 的 G-轨（G-orbit）。 再者，若 E 中每一点 x 的定点子群 Gx 等于极小可能的单位子群，亦即 Gx = {e}， x E∀ ∈ , 则称 E 是一个左（或右）free-G-space，它的每个 G-轨都和 G 本身等同，所以 G 在每个 G- 轨上的作用都是单可递的（simply transitive）。 把 E 中的每个 G-轨看成一点，所得的商空间（quotient space）叫做 G-空间 E 的轨空间 （orbit space），通常以 E/G 记之。 有上述变换群的基本概念的符号，一个 G-主丛结构就是一个 free-右-G-空间 E 和 E E/Gπ⎯⎯→ ，而且上述投影 π 具有局部横截性。 [注]：最简单的 G-主丛乃是下述卡积 G-主丛（product G-bundle），即： (9) E=X×G，E×G→E：(x, g1) g2 = (x，g1g2) 它显然具有全局横截；反之，由例一的讨论易见一个具有全局横截的 G-主丛也就是等同于 上述卡积 G-主丛。由此可见，G-主丛的定义中的局部横截性其实也就是它具有局部卡积性 是也！ §.2 纤维丛的定义之一（构造描述方式）： 对于§.1 中所列举的这些典型的实例，加以比较分析，就自然可以总结而得下述共性， 这就是纤维丛结构的定义的来源。兹简述如下： 纤维丛的结构包括下列要点： 1. 丛空间（bundle space，total space）E； 2. 底空间（base space）X； 3. 投影 E π⎯⎯→X 和纤维Y ；每个 -1(x)π 都和Y 拓扑同构； 4. 结构群：它乃是Y 上的一个变换群 G× Y → Y 亦即纤维Y 其实乃是一个给定的左 -G-空间。 5. 局部卡积结构（local product structure）：对于底空间 X 中任给一点 x，皆有其一个 适当的邻域 U，使得 -1(U)π 具有下述卡积结构，即 (10) -1 U : U Y (U) E U X πϕ π π × ⎯⎯→ ⊂ ↓ ↓ ⊆ 2 而且两个相交的局部卡积结构满足下述相容性条件：即在 -1 (U W)π ∩ 之上，存在 (11) U∩W→G， x 6 gx 使得 (11΄) φU(x，y) = φW (x，gxy) [分析]： (i). 大体上来说，纤维丛这种结构的确是相当繁复的，特别是局部卡积结构中涉及某种 覆盖邻域{Uα，α∈I}和局部卡积{ Uαϕ ：Uα×Y ≅⎯⎯→ -1 (U )απ }和 Uαϕ 和 Uβϕ 在 -1 (U U )α βπ ∩ 上 6 的相容性。但是这种结构是自然而且有用的，而上述叙述其结构乃是由其自然构造法来加以 描述的。正因为如此，我们亟需改弦更张，从它的本质性结构去探讨之。例如同一个纤维丛 E→X 当然可以用两种不同的覆盖和局部卡积来构造它；反之，两种不同构造法所得者也很 可能是同构的。由此可见，我们亟需要下功夫做好纤维丛这种结构的“抓本质”（intrinsic study）。 (ii). 抓其本质的首务之要就要认清上述结构之中的“主角”是什么? 稍加分析，不难看 到主角在于纤维 Y 及其上给定的变换群 G，亦即给定的 G-空间 Y。概括地来说，以（G，Y） 为其纤维的丛(简称之为（G，Y）-丛)乃是卡积空间 X×Y 的一种有规范的推广，其规范性 有两点，其一是它依然保有局部卡积结构，而其二则在于它在每一纤维 -1 (p) Yπ ≅ 上所作的 扭动（twisting）都必须取之于 Y 上的 G-对称。简言之，（G，Y）-丛乃是那种以 G-对称为 许可的扭动（admissible twisting）所构造而得的扭积（twisted product）是也。 §3. G-主丛与纤维丛的结构定理： G 所表示者，乃是纤维 Y 上的一个变换群，其不同的元素表示 Y 上不同的变换，亦即 G 中只有单位元素 e 在 Y 上的作用是使得其上每点皆固定不动的单位变换，在变换群的术 语中，把这一点叫做 G 在 Y 上的作用是有效的（effective），在此特加注明。[其实，若 G 在 Y 上的作用并非有效的，则使得 Y 上每点不动的 g∈G 乃是 G 中的一个正规子群 G0，而（G， Y）其实应该改写成（G/G0，Y）] 对于给定的左-G-空间 Y，以它为纤维的丛之中，最为简单者单者莫过于 E=Y，X={pt} 的单纤丛{Y→pt}。而它的自同构群（auto-morphism group）就是 G。再者，由它到 E π⎯⎯→X 的丛映射（bundle map） b�：Y→E，乃是把 Y 映射到某一 -1 0(x )π ，而且存在一个适当的 g0∈G 使得 (12) { }-1 0 0( b(y)) = (x , g y), y YUϕ ⋅ ∀ ∈� 定义：令 E ̃是所有由单纤丛到 E� π⎯⎯→X 的丛映射所组成之空间。因为 G 中的元素 g 皆为单纤丛的自同构，所以组合映射 b� Dg 当然也是一个 E ̃中的元素，亦即有 E� ×G→ E� ， （ b�，g）6 b� Dg，它乃是 Ẽ上的右-G-作用，而且是具有局部卡积结构的 free-右-G-空间。 总之，Ẽ具有自然的 G－主丛结构 E� π⎯⎯→X(= E� /G)。称之为 E� π⎯⎯→X 的相应主丛（the associated principal bundle）。 主映射（principal map）： [分析]：把（G，Y）－丛之中的“至简”-单纤丛－到一个给定的（G，Y）－丛 E→X 的丛映射之总体赋于自然的结构，其所得乃是一个 free-右-G-空间 E� ，而且 E� /G=X 并具有 局部横截结构，亦即是一个相应的 G－主丛。在方法论上，这是一种常用、有用的探求其本 质和构造不变量（intrinsic invariants）的方法，例如在李群结构的研讨中，李代数这种结构 7 其实就是单参子群之总体赋以其自然结构之所得者也。 总之，上述所得之 G－主丛当然是原本的（G，Y）－丛结构的一种自然的本质性不变 量。在概念上，它突显了结构群 G 在纤维丛结构中所扮演的角色！很自然地，我们接着要 研讨者乃是这个不变量是否业已构成一个完全不变量（complete invariants）。对于上述基本 问题的一种直接探索途径就是试着由 Ẽ设法去构造原本的 E π⎯⎯→X。其实，此事是既自然 而且又直截了当者，亦即下述主映射： 有鉴于 Ẽ中的元素 b 都是单纤丛 Y 到 E 的丛映射，所以 P： E� ×Y→E，( b�，y)6 b� (y) 其实就是所有这种丛映射的“总账”（total record）。 再者， E� 是右-G-空间，但是 Y 则是左－G－空间。因此要用转置法把 Y 也改成右－G －空间，亦即定义 G 在 Y 上的右作用为 y ⋅ g=g-1 ⋅ y。这样 Ẽ×Y 就具有自然的“分量右－G －作用”，即有 (13) ( b�，y)g = ( b� Dg，y ⋅ g) = ( b� Dg， g-1 ⋅ y) 由此易见下述可换图解： (14) P E E Y E X E/G (E Y)/G ← × ↓ ↓ ≅ ≅ ← × ⎯⎯→� / � � 所以主映射 P 业已一蹴而成地达成了由 Ẽ和 Y 得回 E→X 的构造法，亦即 (15) E = (E Y)/G×� π⎯⎯→Ẽ/G = X [注]：通常把上述轨空间( Ẽ×Y )/G 记号为 Ẽ×GY。所以 Ẽ π⎯⎯→X 乃是 E→X 的一个 完全不变量。 总结上述双向的自然构造之所得，述为下述简明扼要的结构定理： 纤维丛结构定理：由单纤丛 Y→pt 到一个给定的（G，Y）－丛 E π⎯⎯→X 的所有丛映 射自然地构成一个 G－主丛 E ̃ → E ̃/G = X，而原本的 E π⎯⎯→X 就是： E≅ ( E Y ) / G×� →Ẽ/G≅ X [注]：上述极其自然简朴的结构定理，不但明确了结构群在纤维丛这种结构中所扮演的 主导角色，而且也把整个纤维丛的理论，直截了当地归结（reduced to）G-主丛的理论，而 后者乃是简朴的具有局部横截的 free-右-G-空间。有鉴于此，我们还可以把上述 E = (E Y)/G×� π⎯⎯→ Ẽ/G = X 叫做 G-主丛 E ̃的相应（G，Y）-丛。 [例子]：例二΄乃是例二的相应2-主丛；例四则是例三的相应 Gl(n，)－主丛。 §.4 诱导丛和纤维丛的同伦性质（induced bundles and homotopy properties of fiber bundles）： 8 设 E ̃是一个 G-主丛，f：Z→X = Ẽ/G 是一个连续函数。Z×Ẽ具有下述显然的 G-主丛结 构，即 (16) (Z×Ẽ )×G→Z×Ẽ，(z, b� )g=(z， b� Dg) 令Γ(f)={(z, f(z); z∈Z)}是 f 的图象（graph ），Ẽ1=π-1(Γ(f))，则有下述可换图解： (17) 1 1 Z E E E (f) E π π × ⎯⎯→ ⊇ ↓ Γ ≅ � � 3 / � 0 2 X⎯⎯→ Ẽ1 1 π⎯⎯→Γ(f)≅ Z 叫做{ Ẽ π⎯⎯→X}对于 f 的诱导丛。它是那个具有下述丛映射（亦即 G 一 等变者） (18) 1 f f E E Z X ⎯⎯→ ↓ ↓ ⎯⎯→ �� � 的唯一 Z 上的 G-主丛。将以 f! ( Ẽ π⎯→X) 记之。 [注]因为一个 G-主丛的底空间 X 其实就是右-G-空间 Ẽ的轨空间（orbit space）Ẽ/G，而 且投影 π 就是 Ẽ到轨空间的投影。所以往后将以简约符号 Ẽ表示之，以 f! (Ẽ)表示上述诱导丛 Ẽ1。 关于诱导丛，有下述简洁好用的定理，即 同伦覆盖定理（covering homotopy theorem）： 设 Ẽ和 Ẽ΄是两个 G 一主丛，X 和 X΄分别是它们的底空间（亦即轨空间），而且 X 是郑 泽、紧致(normal, compact)者。设有 G-等变映射 h0：Ẽ→Ẽ΄（以 h 0 表示其在轨空间所诱 导者）和 h ：X× [0，1] → X΄使得 h |X×{0} = h 0。则存在由 Ẽ× [0，1]到 Ẽ΄的 G－等变 映射 h，它在轨空间上所诱导就是 h，即 (19) h h E [0,1] E X [0,1] X ′× ⎯⎯→ ↓ ↓ ′× ⎯⎯→ � � [证]：所要论证其存在之 h，是逐段、逐区间来逐步构造的。易见可以把[0，1]分成小 段{[ti-1，t i] ，1≤ i≤m }，使得每一小段的 X× [ti-1，t i]都具有满足下述条件的 X 的邻域覆盖 { Uα }：即每个 Uα 都包含在另一 X 的“坐标邻域” Wα 之内， h ( Wα × [ti-1，t i])则又包含在 9 X΄的一个坐标邻域之中，由 X 的紧性，不妨设上述{ Uα }的个数是有限的 N。再者，用 Urysohn 引理，对于每对 Uα ⊆ Wα ，我们可以构造一个 X 上的连续函数u (x)α ，它在 Wα 之外等于 ti-1 而在 Uα 之上等于 ti。令 (20) kτ (x) = Max{ u (x)α ，1 α≤ ≤ k}，x∈X 则有 (20΄) ti-1≤ 1 1 k Nτ (x) τ (x) τ (x) τ (x)≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤… … t i 令 Xk = {(x，t)；ti-1 kt τ (x)≤ ≤ }，0≤ k≤N，E ̃k =π-1(Xk)（ 即 Ẽ× [0，1] 之中位于 Xk 之上 者）我们不妨归纳地设 h 丛已在 Ek̃-1 上妥加定义，而构造 h 之要点就是要把它扩张到 E ̃k。 Vβ i-1 ih ( W [t ,t ] )k⊃ × 如上图所示， kW 和 Vβ 分别是 X 和 X΄中具有局部卡积结构者，而且 h ( kW × [ti-1，t i])⊂ Vβ ， 即有 (21) 1 k k 1 W G W G : ( ) E, Id : V (V ) Eβ β ϕ π ϕ ϕ φ π − − ≅ ≅ × × ⊆ = × ′⊆ ⎯⎯→ ⎯⎯→ � � 令 s 为相应于ϕ 的局部横截，即 (22) s： Wα × [ti-1，t i]→ E×� [ti-1，t i]，s(x，t) = (ϕ (x，e)，t) 我们所要妥加定义者，乃是如何把 s 限制在 Xk\Xk-1 之上者映射到 1 (V )βπ − ，亦即 h D s(x，t)=？ 10 (x，t)∈ Xk\Xk-1。对于 k-1 kτ (x) t τ (x)≤ ≤ ，令 (23) h D s ( x，t ) = k-1Ψ ( h (x, t) , p h s ( x, τ (x)))′ D 其中 p΄是 1 (V )βπ − ≅ V Gβ × 到 G 的投影。然后再用 G-等变性，即可把 h 扩张到 Ek̃。如此逐 区间、逐段推进，最后就构造得所要的 G-等变映射。 h h E [0,1] E X [0,1] X ′× ↓ ↓ ′× ⎯⎯→ ⎯⎯→ � � 推论：设 Ẽ是 X× [0，1]之上的一个 G-主丛，令 Ẽ0= 1( ) , X {0}π − × 则有 Ẽ≅ Ẽ0× [0，1] [注]： (i). 不难用上述证法把同伦覆盖定理推广到 X 是 separable compact normal spaces 的情形 （参看§11.3[ ]）。 (ii). 同样的同伦覆盖定理，对于一般的(G，Y)-丛皆成立，它是上述对于 G-主丛者的直 接推论。 推论：若底空间 X 是可缩者（contractible），则任何以 X 为其底空间的纤维丛 E≅ X×Y。 定理：设 x0是底空间 X 中一个取定基点， 1 0Y (x )π −= . y0 是 Y 中一个取定的祭奠。则 有下述 long exact sequence of homolopy groups，即 k 0 k k 0 k-1 0 k(Y, y ) (E, Y) (X, x ) (Y, y )π π π π∂→ → → →⎯⎯→" " 其中“ ∂”乃是运用同伦覆盖定理之所得。 （上述定理之证明乃是直截了当的，它是纤维丛的同伦覆盖性质的直接推论。参看 [ ]。） [注]：在E X Y≅ × 是卡积丛时， k 0∂ = 。由此可见上述{ k∂ }乃是扭积E X→ 在同伦群 上的具体表现与精简之刻画。相比之下，扭积在同调或上同调上的表现就来得复杂，它得要 用 spectral sequence 才能刻画之，参看[ ]。 11 第二讲：结构群的压缩定理与 G-主丛的分类定理 在上一讲中，我们认识到结构群 G 在纤维丛结构之中主导的地位，并且用简朴自然的 结构定理，把纤维丛的本质性结构（intrinsic structure）完全归结到其相应的 G-主丛（the associated G-principle bundle）和 G 在纤维（fiber）Y 上的作用，而 G-主丛本质就是一个具 有局部横截的空间。例如，一个可微流形 Mn 的切丛，T(M)→M，的相应 G-主丛就是 M 上 的标架丛， (M) M →F ，G=Gl(n，)。再者，当 Mn 上赋予一个黎曼结构时，它的标架丛 (M) M→F 中，就自然包含正交标架丛F 0 (M) M→ ，同样的，一个复流形（complex manifold）的复切丛 T  (Nm)→Nm的结构群是 Gl(n，)，而其相应的 G-主丛就是其上的复 标架丛F  (Nm)→Nm。再者，当 T (Nm)上赋予一个 Hermitian 度量时，它的复标架丛 F (Nm)→Nm 之中，就自然包含 Hermitian 正交标架丛F 0(Nm)→Nm，G=U(n)。上述这两 种典型实例，就自然引领我们去研讨纤维丛的结构群是否可以压缩这个基本、扼要的问题。 §.1 结构群的压缩与扩张 压缩和扩张乃是相对的概念，设 H⊂G 是一个给定的闭子群，Ẽ1 是一个 H-主丛，则 Ẽ2=Ẽ1 ×HG 乃是一个 G-主丛，它就是 Ẽ1 把 H 扩大为 G 之所得。在 Ẽ2 之中，显然包含 Ẽ1=Ẽ1×HH 为其子集。反之，若有 G-主丛 Ẽ2，它包含一个 H-主丛 Ẽ1 为其子集，而且 Ẽ1∩π2-1(x)=π1-1(x) 对于所有 x∈X 皆成立。则易证 Ẽ2 = Ẽ1×HG。我们把这种 H-主丛 Ẽ1 叫做原本的 Ẽ2 把结构群 由 G 压缩到 H 之所得者。例如一个 G-主丛的结构群可以压缩到单位子群的充要条件乃是 Ẽ = X×G，亦即 Ẽ是一个平凡的卡积 G-丛。 压缩定理（reduction theorem）：一个 G-主丛的结构群可以压缩到 H⊂G 的充要条件是 它的相应（G， G/H）-丛，亦即 E = Ẽ×GG/H = Ẽ/H→X，具有一个横截。 [证]：易见 Ẽ×GG/H≅ Ẽ/H。若 Ẽ⊃ Ẽ1 而且 Ẽ/H≅ X 则有 (1) G 1E =E G/H E/H E /H X s = X = X π × ≅ ⊇ ≅ ↓ � � � 3 1 反之，若 E = Ẽ/H 具有一个横截 s：X→E。则 p-1(s(X)) ⊂ Ẽ，[p：Ẽ→ Ẽ/H ]就是一 个现成的子 H-丛 Ẽ1。 [注]：上述定理仅仅是把结构群的压缩概念改用 Ẽ的相应 G/H 丛的横截加以重新表述者 也，极其简单平凡。但是，把它和一个深刻的李群论的结果和下述横截存在定理相结合，即 得极为重要的“可压缩性定理”（theorem of reducibility）： Cartan 定理：设 G 是一个有限连通区的李群。则 G 中的极大紧致李子群 K（maximal compact subgroups）皆互相共轭，而且其齐性空间 G/K 和一个高维欧氏空间可微同胚 （diffeomorphic）。 Tietze 扩张定理（extension theorem）：设 X 是一个正则拓扑空间（normal topological space），A 是它的一个闭子集，f：A→ [0，1]（或 (0,1] [0,1)， ）的一个连续函数，则必存在 连续函数 f′：X → [0，1]（或 (0,1] [0,1)， ，使得 f′|A = X。 定义：使得上述 Tietze 扩张定理依然成立的空间，统称之为实心空间（solid space），易 见诸多实心空间的卡积依然是实心的，例如高维欧氏空间或方块等。 横截存在定理（existence theorem of cross-sections）：设底空间 X 是可分的、正规的 （separable, normal），而纤维 Y 则是实心的。则任给以 X 和 Y 分别为其底空间和纤维的纤 12 维丛E Xπ⎯⎯→ 皆存在有横截。 [证]：令{Un，n∈ N }是 X 的一个具有局部卡积结构的覆盖邻域。我们将证明任给π-1(A) （A 是 X 的一个给定闭子集）的一个横截皆可扩张为 E→X 的横截。令 A0=A (2) An = U n∪An-1，n∈N 再者，归纳地设横截 f0：A→π-1(A)业已扩张成横截 fn-1：An-1→π-1(An-1)，我们只要证明 它又可以扩张为 An 上的横截。令 Cn= U n∩ An-1，Vj-1 是一个包含U n 的坐标邻域，即有： (3) -1 j j j : V Y (V ) p Y jϕ π≅× ⎯⎯→ ′↓2 令 h(x)=pj′fn-1(x)，x∈Cn。把 Tietze 定理用到（U n，Cn）和 h：U n →Y，即有 h′: U n→Y, nCh |′ =h。由此即得 fn，其在 An-1 部分就是 fn-1 而它在U n 部份就是 (4) fn(x) = j (x, h (x))ϕ ′ 。□ 结合上述诸定理，即得下述极为基本重要的 可压缩性定理：设纤维丛 E→X 的结构群 G 是一个有限连通区的李群，底空间 X 是可 分、正规者（separable, normal），则其结构群皆可压缩到 G 中的极大紧子群 K。 [证]：由 Cartan 定理，G/K 是和一个高维欧氏空间可微同胚的，所以是实心空间，再由 上述横截存在定理得知 Ẽ/K→X 恒有横截 (5) s：X→Ẽ/K 所以 Ẽ之中包含 K—主丛 Ẽ1 = π-1(s(X))，（π：Ẽ→Ẽ/K）。□ (i). Ẽ/K→X 的横截是很多、很多的。所以一个 G-主丛压缩到一个 K-主丛是有很多不 同的压缩途径的。例如在 T(M)→M 的情形，G= Gl(n，)，K=O(n)，它的一种压缩方式其 实就相应于在 M 上取定一个黎曼度量。众所周知，在同一个 M 上取黎曼度量的办法是极多 极多的。 (ii). 有鉴于上述定理，在往后的讨论中，我们将设结构群 G 本身就是一个紧致李群而 不再另作申明。 (iii). 从变换群的角度来看，紧致李群比之于非紧李群的变换要规则得很多、很多，例 如紧致李群的表示论（亦即线性变换群）就要比非紧李群的表示论简单得多多。由此可见， 上述可压缩性定理实乃使得纤维丛整个理论得以大幅简化的无上佳音。不但此也，下述 Gleason 引理一方面说明了紧李变换群在其局部几何上具有好用、常用的规则性（remarkable local regularity ），而且也使得紧李群的 G-主丛，更加便于研讨，因为一个 free-G-空间总是 具有局部横截的（automatically has local cross-section）！[一般说来，一个 free-G-空间是否具 有局部横截性，恰恰就是一种难以检验的棘手问题！] Gleason 引理（The existence of a slice）： 设 G 是一个紧李群，V 是一个线性实（或复）G-空间。则 V 上存在 G-不变的内积（或 酉积）。上述在表示论上熟知、好用的事实之证明用到对于紧李群的积分平均法： 设< , >是 V 上的一个任给内积（或酉积），令 (6) G dg(x, y) =∫ 则有 13 (7) 1 1 1 1G G1 1 1dg dgg(g x, g y) = = (x, y)=∫ ∫ （Harr-测度的右-不变性：d(gg1)=dg） 再者，设 G 是一个紧李群，M 是一个可微（differentiable）G—空间，［亦即变换映射 G ×M→M 是可微的，亦称（G，M）是一个李变换群（Lie transformation group）］。我们也 可以同样地用积分平均法证明 M 上存在有 G-不变的黎曼度量，亦即（G，M）乃是保长变 换群（isometric transformation group on a Riemannian manifold）。M 上的一个黎曼度量乃是在 整个切空间 Tp(M)上皆取定其内积者也。对于 g∈G 在 M 上的作用，它在 T(M)上自然就诱 导一个 G-作用，通常用“dg”表示之。由此可见，我们可以在每个 Tp(M)上作类似于(6)式 的平均内积，即得每个 Tp(M)上的不变内积，这也就是 G-不变黎曼度量的一种自然构造法 （G 的紧性是这种平均法的根本）。 设（G，M）是黎曼流形 M 上的一个保长紧李变换群，x∈M，Gx 是 x 的定点子群，G(x) 是 x 的 G-轨道（G-orbit），υx(ε)是由 M 上以 x 为起点，垂直于 G 而且长度为ε的测地线 所集成的“正交小碟”（small normal disc of G(x) at x）。 如上图所示，G 是 M 中一个紧致子空间，在ε足够小时，G(x)上相异的两点的正交小 碟是无交点的。所以 (8) ευ (G(x)) = y G(x) yυ (ε) ∈ ∪ →G(x) 构成一个纤维丛，其相应的主丛就是 Gx-主丛 G→Gx，而其纤维就是（Gx，υx(ε)）。称之 为轨道 G(x)的法碟丛（normal disc bundle of G(x)），υx(ε)则称为（G，M）在 x 点的一个 截片（slice）。它和 G(x)的邻近轨道都相交，而且对于υx(ε)中任给一点 y，皆有 Gy⊆Gx。 因为对于任何 g∉Gx，g(υx(ε)) = υgx (ε)乃是相异两点 x 和 gx 的法小碟，它们是不相交 者也！在变换群的研讨中，我们把上述两点作为“截片”（slice）的定义性质。 在上述讨论中，若（G，M）是一个紧李变换群，我们可以借助于 M 上 G-不变黎曼度 量的存在性而得到这种截片的存在。是否还可以把这种截片的存在推广到紧李群在更加广泛 的 G-空间呢？例如正则（normal）的 G-空间，这也就是重要的 Gleason 引理之所证。 Gleason 引理（slice 的存在定理）： 设 G 是紧李群，X 是一个正则（normal）的 G-空间，x 是其中任给一点。则存在 G(x) 在 x 点的一个截片 sx，亦即它和的邻近轨道皆相交，但是当 g∉Gx 时 gSx∩ Sx =∅。 14 [证]：基本思想是运用 G 的紧李群结构和 X 的 normalily，构造一个由(G,X)到一个适当 的线性 G—空间 V 的等变映射 f，它把 G(x0)映射到 V 中的一个同样的轨道，亦即 gx0∈V 的 定点子群也是 0x G 。令 0gx υ (ε)是（G，V）在 gx0 －点的一个截片，则易见 S 0x = f-1 ( 0gx υ (ε) ) 其实就是（G，X）在点 x0 点的一个截片。 这种想法要行得通，首先是对于任给紧李群 G 和其闭子群 H，都能有一个线性 G-空间 V，其中含有一个向量0，其定点子群 G  0 = H。此事是在 Gleason 的工作之前，早已熟知 的一个线性表示论的结果。［在此暂且表过。］ 以此为起点，即有（X，G(x0)）和（V，G(0)）这样两个 G—空间，而 X 是正则（normal） 的，V 则是一个问量空间。用 Tietze 定理，f0：G(x0) ≅⎯⎯→ G(0)就可以扩张为 f：X→V。 现在再用积分平均法，由 f 去构造另外一个 f ：X→V，它是 G-等变的且 f |G(x0)=f0。其具 体做法如下： (9) -1 G f = g f (gx) dg∫ （注意这里 f( i )是一个向量） 对于任给 g1∈G 和 x∈X 皆有 (10) -1 -1 -1 1G G1 1 1 1 gf(x) = g f (gx) dg g f ( gg x ) dg f (x) = g , d(gg ) = dg = g ⋅∫ ∫ 亦即 f ：X→V 是 G—等度者也。□ [注]：上述 slice 定理，在变换群中有很多重要的应用。它是紧李群 G-空间的局部规则 性的要点所在，而在 G 0x ＝{e}（单位子群）的特殊情形，则 S 0x 截片乃是 G-空间 X 的一个 局部横截！因为所有 y∈S 0x 的定点子群也必然是{e}。 §.2 紧致李群 G 的 G-主丛分类定理： 在古典曲面论中的高斯映射 f：Σ→S2(1)，其重要性在于 T(Σ)= f!(T(S2(1))→ S2)。及 至近代，关于可微流形 Mn 的系统研究中，Whitney 嵌入定理是一个引人入胜的突破。它证 明任给 n 维流形都可以嵌入到2n+1 之中，由此即可推论切丛 T(Mn)总是可以由下述n+1-丛 (11) O(n) O(2n+1) O(n+1) × n→ O(2n+1) O(n+1) O(n)× 诱导而得之。下述分类定理乃是上述结果深远的推广（far reaching generalization）： G-主从的分类定理(classification theorem of G-bundles)：设 G 是一个任给紧李群 (i). 存在一个 G-主丛 EG→BG，EG是弱可缩的（weakly contractible）。 (ii). 任给有限复形（finite complex）X，其上的任给 G-主丛 Ẽ皆可由适当的 f：X→BG 诱导而得。即 Ẽ= f!(EG)。 再者，f1!(EG)≅ f2!(EG)的充要条件是 f1 和 f2 同伦。 [证]： 在证(i)之前，先以 G = S1 和 S3 这两个重要而简朴的例子来看一看： S1={ei θ , 0 θ 2π≤ < }是单位长复数（unit complexes）所成的乘法群，它是最简单的连通 可换紧李群。它以复数乘法作用于n 中的单位球 S2n+1 之上，其定点子群显然都是{e}（亦即 15 freely）。这也就是熟知的 S1-bundle： (12) S2n+1 →S2n+1/S1≅ Pn (复射影空间) S3 是单位长的四元体数（unit quaternions）所成的乘法群，它是最简单的连通可换紧李 群。它以右乘作用于n 中的单位球 S4n+1 之上，也是 freely 的。这也就是熟知的 S3-bundle： (13) S4n+3→S4n+3/S3≅ Pn (四元数射影空间) 让(12)和(13)中的 n 分别→∞，即有 (12)′ S∞ →P∞ (13)′ S∞ →P∞ 而 S∞是显然弱可缩的。 再者，在拓扑中有一种常用的连结（joint）构造，即 (14) X1 DX2≅ X1× [0，1]×X2/{(x1，0，X2)，(X1，1，x2)} 亦即把所有(x1，0，X2)或(X1，1，x2)这种点集都各别等同为一点者。易见 (15) S1 D S1=S3，…，S1 D… D S1 = S2n+1 ，… S3 D S3=S7，…，S3 D… D S3 = S4n+3 ，… Milnor[ ]把上述对于 G=S1 和 S3 这两个特例的构造法，直接推广到任何紧致李群 G，即令 EG = G DG D…DGD… （∞ -joint） 它显然有自然的 free-G-作用，而且其本身也显然是弱可缩的。[令 nGE 为 G 的 n 个连结，则 nGE 中的任给子集都可以在 n+1GE 之中缩到一点，因为 n+1GE 之中包括 nGE 的锥，亦即 nGE D {pt}] 接着让我们证(ii)：要点在于证明任给有限复形 X 之上的 G-主丛 Ẽ都可以由某一 f： X→BG诱导而得，即有 Ẽ= f!(EG)。上述可以逐步构造如下： 令 (16) 0 1 k k+1 nX X X X X =X⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊆… … 其中 Xk 是由 X 中所有维数至多是 k 的单形所和成者。归纳地设业已构造得 fk：Xk→BG， Ẽ|Xk=fk!(EG)。再者设 Xk+1/Xk = 1 11k kmσ σ+ +∪ ∪… ，其中{ k+1iσ ,1 i m≤ ≤ }乃是 X 所含有的(k+1) 维单形（simplexes）。我们所要做的，就是逐步地把 fk 扩张到每一个 k+1iσ 的内部（它们是不 相交的（disjoint））。 iϕ ：Ẽ| k+1iσ ≅ k+1iσ ×G，而且 Ẽ| k+1iσ∂ =(fk| k+1iσ∂ )! (EG)。亦即有 (17) hk+1 k+1 i i i G hk+1 k+1 i i G (σ ×G) E | σ E σ σ B ϕ ⊇ ∂ ⎯⎯→ ↓ ↓ ↓ ⊇ ∂ ⎯⎯→ � ， k+1k ih=f | σ∂ 所以 k+1 k+1i i iσ ( σ {e})ϕ≅∂ ⎯⎯→ ∂ × → hk+1i GE | σ E∂ ⎯⎯→� 乃是一个由 k+1iσ∂ 到 EG中的映射，由 EG的弱可缩性即可把它扩张成 k+1iσ 到 EG中的映射，然后再用 G-等变性把它扩充到 Ẽ| k+1iσ∂ 到 EG的 G-映射。如此逐个构造其扩张，即得所求者, 16 (18) k+1 k+1 fk G fk+1 G E | X E X B ⎯⎯→ ↓ ↓ ⎯⎯→ �� 一直到 k+1= n，即构造而得 f：X→BG， f!(EG) =Ẽ。最后，我们要证明，若 f1!(EG)≅ f2!(EG) ⇔ f1 和 f2 同伦：若 f1 和 f2同伦，则由第一讲§4 的同伦覆盖定理即有 f1! (EG)≅ f2! (EG)。反 之，若 f1! (EG)≅ f2! (EG)，即有 X× [0，1]上的 G-主丛 Ẽ′，Ẽ′̃|X×{1}= f2!(EG)。不难用同样的 逐步构造法把 1 2f f∪ ：X×{0，1}→BG，扩张为 F：X× [0，1]使得̃F! (EG) = Ẽ′。□ [注]： (i). EG可以说是最为复杂的 G-主丛，它本质上包含所有有限复形（finite complexes）之 上的各种可能的 G-主丛为其子 G-主丛，称之为万有-G-丛（universal G-bundle）。再者，耐 人寻味的这种万有-G-丛的特征性质乃是其总体空间（total space）的拓扑最简性（weakly homotopic to a point!）。 (ii).万有-G-丛的底空间 BG=EG/G 叫做 G 的分类空间（the classifying space of G），一个 给定的有限复形 X 上所有可能的 G-主丛等价类乃是和由 X 到 BG的映射同伦类一一对应者。 如此就把 X 上的 G-丛的分类归结到这种“由 X 到 BG的同伦类”这种典型的代数拓扑问题。 由此再用代数拓扑学中的各种、各样不变量去探测、分析上述同伦类，实乃水到渠成、顺理 成章之事。在下一讲所要讨论的示性类理论，也就是用上同调（cohomology）这种代数拓扑 不变量去研讨上述同伦类（通常以符号[X，BG]记之）所得的成果是也。 (iii).万有-G-丛 EG 的存在并非唯一，但是它们都是弱同伦等价的（weakly homotopical equivalent）。由此可见，EG 是可以有不同的构造法的。在历史上第一个想到的，是把 G=S1 和 S3 的情形所自然展现的 S ∞，分别想成 (19) 2n+1 4n+3 U(n+1)S = , n U(n) Sp(2n+2)S = , n Sp(2n) →∞ →∞ 这种齐性空间的想法就自然地引领我们把它推广成，分别想成 (20) O(n+k) U(n+k) Sp(2n+2k), ,