南通市六所省重点中学联考
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试卷 江苏省新马高级中学2011届高考全真模拟试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011-5-2 一、填空题:共14小题,每小题5分,共70分,请将正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
填写在答题纸对应部分。 1、已知 为虚数单位,复数 ,则 | z | = ▲ 2、若实数列1,a,b,c,4是等比数列,则b的值为 ▲ 3、方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是 ▲ 4、如图所示,在两个圆盘中, 指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等, 那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ▲ 5、设 为互不重合的平面, 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ; ②若 ∥ ∥ ,则 ∥ ; ③若 ;④若 . 其中所有正确命题的序号是 ▲ 6、已知函数 ,其图象在点(1, )处的切线方程为 , 则它在点 处的切线方程为 ▲ 7、设 ,则函数( 的最小值是 ▲ 8、设 若-2≤x≤2,-2≤y≤2,则z的最小值为 ▲ 9、已知椭圆 的中心为O,右焦点为F、右顶点为A,右准线与x轴的交点为H, 则 的最大值为 ▲ 10已知数列 满足 , ( ), . 若前100项中恰好含 有30项为0,则 的值为 ▲ 11、在△ABC中, ,D是BC边上任意一点(D与B、C不重合), 且 ,则 等于 ▲ 12、已知函数 , R,则 , , 的大小关系为 ▲ 13、设M1(0,0),M2(1,0),以M1为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2),记作⊙M1;以M2为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3),记作⊙M2;……; 以Mn为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1),记作⊙Mn;…… 当n∈N*时,过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An,Bn.考察下列论断: 当n=1时,| A1B1 |=2; 当n=2时,| A2B2 |= ; 当n=3时,| A3B3 |= ; 当n=4时,| A4B4 |= ; …… 由以上论断推测一个一般的结论:对于n∈N*,| AnBn |= ▲ 14、设函数 的定义域为 ,若所有点 构成一个正方形区域,则 的值为 ▲ 二、解答题:本大题共六小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、(本题满分14分)如图,在直三棱柱 中, , 分别是 的中点,且 . 学科 网 (Ⅰ)求证: ; 学科网 (Ⅱ)求证:平面 平面 . 16、(本题满分14分)已知向量 , , , 其中 、 、 为 的内角. (Ⅰ)求角 的大小; (Ⅱ)若 , , 成等差数列,且 ,求 的长. 17、(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D,且|CD|= , (1) 求直线CD的方程; (2)求圆P的方程;(3)设点Q在圆P上,试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个?证明你的结论. 18、(本题满分15分)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 (元)与年产量 (吨)满足函数关系 .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 元(以下称 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 (元)表示为年产量 (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 (元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 是多少? 19、(本题满分16分)设数列 的前 项和为 ,满足 ( , ,t为常数) , 且 . (Ⅰ)当 时,求 和 ; (Ⅱ)若 是等比数列,求t的值; (Ⅲ)求 . 20、(本题满分16分)设 ,函数 . (Ⅰ)当 时,求函数 的单调增区间; (Ⅱ)若 时,不等式 恒成立,实数 的取值范围. 江苏省新马高级中学高考全真模拟试卷 (加试部分) B.矩阵与变换 已知矩阵 , ,求满足 的二阶矩阵 . C.选修4 – 4 参数方程与极坐标 若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1与 = 2cos( + ),它们相交于A,B两点,求线段AB的长. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2. (本小题满分10分) 如图,在四棱锥P – ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA底面ABCD,点M是棱PC的中点,AM平面PBD. ⑴求PA的长; ⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值. 23.(本小题满分10分) 用 四个不同字母组成一个含 个字母的字符串,要求由 开始,相邻两个字母不同. 例如 时,排出的字符串是 ; 时排出的字符串是 ,… …, 如图所示.记这含 个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是 的字符串的种数为 . (1)试用数学归纳法证明: ; (2)现从 四个字母组成的含 个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是 的概率为 ,求证: . 数学试题一参考答案 一、填空题 1、 2、2 3、 4、 5、①③ 6、 7、 8、 9、1/4 10、6或7 11、 12、 13、 14、-4 二、解答题 15、证:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 . ∵ 分别是 的中点,∴ ∥ 且 = ,∴四边形 是矩形. ∴ 是 的中点…………………………………………………………………………(3分) 又∵ 是 的中点,∴ ∥ ………………………………………………………(5分) 则由 , ,得 ∥ …………………………………(7分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分) (Ⅱ) ∵在直三棱柱 中, ⊥底面 ,∴ ⊥ . 又∵ ,即 ⊥ ,∴ ⊥面 ……………(9分) 而 面 ,∴ ⊥ ………………………………(11分) 又 ,由(Ⅰ) ∥ , ∴ 平面 ………………………………………(13分) 平面 ,∴平面 平面 . ……………………………(14分) 16、解:(Ⅰ) ………………………(2分) 对于 , ………………………(4分) 又 , ………………………(7分) (Ⅱ)由 , 由正弦定理得 ………………………(9分) , 即 ……………………(12分) 由余弦弦定理 , , …………………(14分) 17、17、解:(1)∵ ,AB的中点坐标为(1,2) ∴直线CD的方程为: 即 (2)设圆心 ,则由P在CD上得 -----------------① 又直径|CD|= ,∴|PA|= ∴ ----------------------------------------------② ①代入②消去 得 , 解得 或 当 时 ,当 时 ∴圆心 (-3,6)或 (5,-2) ∴圆P的方程为: 或 , (3)∵|AB|= , ∴当△QAB面积为8时,点Q到直线AB的距离为 , 又圆心到直线AB的距离为 ,圆P的半径 ,且 , ∴圆上共有两个点Q,使△QAB的面积为8. 18、解:(1)乙方的实际年利润为: . ,当 时, 取得最大值. 所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨). ………………7分 (2)设甲方净收入为 元,则 . 将 代入上式,得: . 又 令 ,得 . 当 时, ;当 时, ,所以 时, 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 (元/吨)时,获最大净收入. ………………15分 19、(Ⅰ)因为 及 ,得 所以 且 ,解得 ----------------------2分 同理 ,解得 ----------------------4分 (Ⅱ)当 时, , 得 , ----------------------5分 两式相减得: (**) ----------------------6分 即 当t=0时, ,显然 是等比数列 ----------------------7分 当 时,令 ,可得 因为 是等比数列,所以 为等比数列, 当 时, 恒成立, ----------------------8分 即 恒成立, 化简得 恒成立, 即 ,解得 综合上述, 或 ----------------------9分 (Ⅲ)当 时,由(**)得 数列 是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以 --------------------10分 当 时,由(**)得 设 (k为常数) 整理得 显然 --------------------12分 所以 即数列 是以 为首项, 为公比的等比数列 所以 , 即 所以 所以 ----------------------16分 20、解:(1)当 时, …………(2分) 当 时, , 在 内单调递增; 当 时, 恒成立,故 在 内单调递增; 的单调增区间为 。 …………(6分) (2)①当 时, , , 恒成立, 在 上增函数。 故当 时, 。 …………(8分) ②当 时, , (Ⅰ)当 ,即 时, 在 时为正数,所以 在区间 上为增函数。故当 时, ,且此时 …………(10分) (Ⅱ)当 ,即 时, 在 时为负数,在 时为正数,所以 在区间 上为减函数,在 上为增函数。故当 时, ,且此时 。 …………(12分) (Ⅲ)当 ,即 时, 在 进为负数,所以 在区间 上为减函数,故当 时, 。 …………(14分) 所以函数 的最小值为 。 由条件得 此时 ;或 ,此时 ;或 ,此时无解。 综上, 。 …………(16分) 附加题答案 B.矩阵与变换: 解:由题意得 ,…………………………………………………5分 , ………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标 若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1与 = 2cos( + ),它们相交于A,B两点,求线段AB的长. 解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x2 + y2 = 1与x2 + y2 – x + y = 0……………………………………………………6分 解方程组 eq \b\lc\{(\a\al(x2 + y2 = 1,x2 + y2 – x + y = 0)) 得两交点坐标(1,0),(–, – eq \f(,2)) 所以,线段AB的长为 eq \r((1 + )2 + (0 + eq \f(,2))2)= 即AB = .………………………………………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a). 因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,,),所以 = (,,), = (–1,1,0), = ( – 1,0,a). ⑴因为平面PBD,所以· = · = 0.即 – + = 0,所以a = 1,即PA = 1. …………………………………4分 ⑵由 = (0,1,0), = (,,),可求得平面AMD的一个法向量n = ( – 1,0,1).又 = ( – 1,–1,1).所以cos
= eq \f(n·,|n|·||) = eq \f(2,·) = eq \f(,3). 所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为 eq \f(,3).……………………………10分 23.解(1):证明: (ⅰ)当 时,因为 , ,所以等式正确. (ⅱ)假设 时,等式正确,即 ,那么, 时,因为 , 这说明 时等式仍正确. 据(ⅰ),(ⅱ)可知, 正确. ……………………5分 (2)易知 , ①当 为奇数( )时, ,因为 ,所以 ,又 ,所以 ; ②当 为偶数( )时, ,因为 ,所以 ,又 ,所以 .综上所述, .……………………10分