初等数论二-夏子厚

null初等数论(二) Number Theory （Chap2）初等数论(二) Number Theory （Chap2）信阳职业技术学院 夏子厚第二章 不定方程第二章 不定方程教学目的和要求 （1）正确理解不定方程的基本概念。 （2）熟练掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构，掌握二元一次不定方程与多元一次不定方程解的关系，会解三元一次不定方程和简单的高次不定方程，会应用不定方程解某些实际问题。 本章重点是二元一次不定方程和勾股不定方程。 第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程二元一次不定方程的形式： ax  by = c a,b,c∈Z,且ab≠0 (1) 不定方程的基本问题是 (1) 方程有没有解？ （2）若有解，怎样求出它的解？ 定理1 方程(1)有解的充要条件是 (a，b)c第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：必要性：若（1）式有一整数解（x0, y0），则 a x0 b y0= c 因(a，b) a，(a，b) b，从而(a，b)c 充分性：若(a，b)c，则c=c1(a，b)，c1∈Z。由裴蜀恒等式知，存在s,t Z,使得 as+bt=(a,b)。 令x0 =s c1, y0 =t c1 ,即得 a x0 b y0= c 。故（1）式有整数解（x0, y0）。第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程定理2 设a，b，c是整数，若方程ax  by = c有解(x0, y0)，则它的一切解具有 ， tZ (2) 的形式，其中 。第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程证明 容易验证，由式(2)确定的x与y满足方程(1)。下面证明，方程(1)的解都可写成式(2)中的形式。 设(x, y)是方程(1)的解，则ax0  by0 = ax  by = c，得到a(x  x0) = b(y  y0)，即： 第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程由此，以及 和第一章第三节定理4，得到 x  x0，因此存在整数t，使得 故 tZ第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程注：定理1和定理2说明了解方程(1)的步骤： (1) 判断方程是否有解，即(a, b)c是否成立； (2) 若方程(1)有解，即(a, b)c成立。则把 方程 (1)改写为 显然上式与方程(1)同解。 若可用观察法得到上式的特解x0，y0，则可进行下一步；若不易用观察法得到，可利用辗转相除法先求出a1x  b1y =1的特解x0，、y0，，再求a1x  b1y = c1的特解x0，y0 。第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程(3) 写出方程(1)的解 例1：求7x+4y=100的一切整数解 解：因（7，4）=1，从而原方程有解。其特解为x0 =0，y0 =25。 故其一切整数解为x=4t，y=25-7t tZ。 第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程例2：求111x－321y=75的一切整数解 解：因（111，321）=3，3︱75，从而原方程有解。且其解与37x-107y=25的解相同。 先利用辗转相除法求37x-107y=1的特解（x0，、y0，）。 由107=37×2+33 37=33×1+4 33=4×8+1 第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程得 1=33-4×8 =107-37×2-（37-33）×8 =107-37×10+33×8 =107-37×10+（107-37×2）×8 =107×9-37×26 =37×（-26）-107×（-9） 从而x0， = -26、y0， =-9 因此 x0 =-26×25，y0 =-9×25。 故 x=-26×25-107t，y=-9×25-37t tZ。 第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程例3：证明：二元一次不定方程ax  by = N，a > 0，b > 0，(a, b) = 1的非负整数解的个数为  1。 证明：二元一次不定方程ax  by = N的一切整数解为 ，tZ，于是由x  0，y  0得 ，但区间的长度是 ，故此区间内的整数个数为  1。第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程例4：证明：二元一次不定方程 ax  by =N (a, b) = 1，a＞1，b＞1,当N＞ab  a  b时有非负整数解，但是N= ab  a  b时则不然。（不再给予证明） 注：这就是著名的弗罗贝尼乌斯（Frobenius）问题。这时n=2的情况，在19世纪，由西勒维斯特（Sylvester）证明了这个定理。 如：5x+6y=C无非负整数解的最大整数C=?第一节 二元一次不定方程第一节 二元一次不定方程思考与 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 2.1 1、解下列不定方程： （1）15x+25y=100 （2）306x-360y=630 2、把100分成两份，使一份可被7整除， 一份可被11整除。 3、设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大于ab  a  b的整数n都可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成n = ax  by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab  a  b不能表示成这种形式。第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程设a1, a2, , an是非零整数，N是整数，称关于未知数x1, x2, , xn的方程 a1x1  a2x2    anxn = N (1) 是n元一次不定方程。 若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1)，则称(x10, x20, , xn0)是方程(1)的解，或者说x1 = x10，x2 = x20，，xn = xn0是方程(1)的解。第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程定理1 方程(1)有解的充要条件是 (a1, a2, , an)N。 定理2 设a1, a2, , an, N是整数，再设 (a1, a2, , an  1) = dn  1，(a1, a2, , an) = dn，则(x1, x2, , xn)是方程(1)的解的充分必要条件是存在整数t，使得(x1, x2, , xn, t)是方程组 (2) 的解。第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程注：定理2说明了求解n元一次不定方程的方法：先解方程组(2)中的第二个方程，再解方程组(2)中的第一个方程，于是，解n元一次不定方程就化为解n  1元一次不定方程。重复这个过程，最终归结为求解二元一次不定方程。第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程例1 求不定方程9x 24y －5z = 1000的解。 解 因（9，24）=3，（3，-5）=1知原方程有解。由定理2知原方程化为 9x  24y = 3t， 即 3x  8y = t， (4) 3t -5z = 1000 3t -5z = 1000， (5) 解(5)得 ， uZ，第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程再解3x  8y =5u得到 u，vZ。 故 u, vZ。 第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程例2 将 写成三个分数之和，它们的分母分别是2，3和5。 解 设 则15x  10y  6z = 19。 依次解方程 5t  6z = 19， 15x  10y = 5t，第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程得到： uZ vZ 消去t得到 uZ ，vZ 第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程取u = 0，v = 0， 得到x = 1，y = 1，z = 4， 因此第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程例3 求不定方程x  2y  3z = 7的所有正整数解。 解 依次解方程 t  3z = 7， x  2y = t， 得到 u，vZ 第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程从上式中消去t，得到 u, vZ。 (6) 要使x  1，y  1，z  1，则应有 3u  2v  0， v  1， (7) 1  u  0。第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程所以 3u  2v  2， u  1   u  1， 即 u = 1。由此及式(7)，有 3  2v  0，v  1    v  1，所以v = 1。 将u = 1，v = 1代入式(6)，得到原方程的唯一一组正整数x = 2，y = 1，z = 1。第二节 多元一次不定方程第二节 多元一次不定方程思考与练习2.2 1、证明定理1。 2、求不定方程3x  6y  12z = 15的解。 3、把 写成分母两两互质的三个既约分数之和。 4、鸡公一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡公母雏各几何？第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2本节讨论二次方程 x2  y2 = z2 。 (1) 容易看出，(x, y, z) = (0, 0, 0)，(0, a, a)以及(a, 0, a)都是方程(1)的解。除此之外，方程(1)的每一组解都不包含零。 要求方程(1)的一切非零解，只假设 x > 0，y > 0，z >0第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2 若方程(1)有非零解，(x, y) = k > 1，则kz，此时可以从方程(1)的两端约去k，因此，我们再假定：(x, y) = 1。 由(x, y) = 1，x与y不能同时是偶数；又若x与y均为奇数，则 x2＝4m+1, y2＝4n+1， 从而x2  y2＝4（m+n）+2, 但因x与y均为奇数，z为偶数，从而z2＝4N。故x2  y2≠z2 。 因此，x与y有不同的奇偶性。不妨假设x是偶数。 我们只需研究方程(1)的满足下述条件的解： x > 0，y > 0，z >0，(x, y) = 1，2∣x第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2由第一章第二节例2容易得到如下结论： 定理1 不定方程uv =w2的满足条件 uv =w2，u > 0，v > 0，w > 0，(u, v) = 1 的一切正整数解，可以写成下面的形式 u = a2，v= b2，w = ab， (a, b) = 1，a > 0，b > 0。 第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2定理2 方程(1)的满足 x > 0，y > 0，z >0，(x, y) = 1，2∣x (2) 的一切正整数解具有下面的形式： x = 2ab，y = a2  b2，z = a2  b2， (3) 其中a > b > 0，(a, b) = 1，a与b有不同的奇偶性。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2证明 (ⅰ) 若x，y，z由式(3)确定，容易验证它们满足方程(1)。 设(x, y)＝d ，由式(1)得到d2z2，因此dz，于是有 da2  b2，da2  b2  d2(a2, b2)  d2。 所以d = 1或2。由于2 y，所以d = 1，这说明式(2)满足。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2(ⅱ) 若x，y，z是方程(1)的满足式(2)的解，则2 y，2 z，并且 (4) 记d = ，所以dy，dz，于是d(y, z) = 1，d = 1。因此，利用定理1及式(4)得到第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2 从而 x = 2ab，y = a2  b2，z = a2  b2。 由y > 0，可知a > b；由于x与y有不同的奇偶性，所以2 y，因此，a与b有不同的奇偶性。 第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2推论2.1 单位圆周上座标都是有理数的点（称为有理点），可以写成 的形式，其中a与b是不全为零的整数。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2例1 证明不定方程 x2  y2 = z4 ， x > 0，y > 0，z >0， (x, y) = 1，2∣x 的一切正整数解可以写成公式： x=4ab(a2  b2), y=∣a4  b4－6a2 b2∣, z= a2  b2 (a, b) = 1，a > b > 0，a,b一奇一偶。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2证明：设x，y，z是x2  y2 = z4的满足(x, y) = 1，2x的正整数解，则 x = 2uv，y = u2  v2，z2 = u2  v2， u > v > 0，(u, v) = 1，u, v一奇一偶， 再由z2 = u2  v2得 u = 2ab， v = a2  b2， z =a2  b2 或 u = a2  b2，v = 2ab， z = a2  b2， a > b > 0，(a, b) = 1，a, b一奇一偶，第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2于是得 x = 4ab(a2  b2)， y = |a4  b4  6a2b2|， z = a2  b2， a > b > 0，(a, b) = 1，a, b一奇一偶。 反之，易验证它是原不定方程的整数解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x, y) = 1，2x。 第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2例2：求出不定方程 x2 3y2 = z2 ，x > 0，y > 0，z >0，(x, y) = 1 的一切正整数解的公式。 证明：由(x, y) = 1易知(x,z) = 1。设(z  x, z  x) = d，易知d = 1或2。由(z  x)(z  x) = 3y2得 z  x = 3da2，z  x = db2，y = dab或 z  x = db2，z  x = 3da2，y = dab， a > 0，b > 0，(a, b ) = 1。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2(ⅰ) 当d = 1时， a > 0，b > 0，(a, b ) = 1，3 b，a, b同为奇数； 第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2(ⅱ) 当d = 2时， x = |b2  3a2|，y = 2ab，z = b2  3a2， a > 0，b > 0，(a, b ) = 1，3 b，a, b一奇一偶。 反之，易验证(ⅰ)或(ⅱ)是原不定方程的解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x, y) = 1。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z2思考与练习2.3 1、证明推论1.1。 2、试证x2 2y2 = z2 ，(x, y,z) = 1的整数解可以写成 x=±(a2  2b2)，y=2ab，z= a2  2b2， 其中a > 0，b > 0，(a, b) = 1, 2 a。第三节 方程x2  y2 = z2第三节 方程x2  y2 = z23、证明不定方程 x2  y2 = z4 ，x > 0，y > 0，z >0，(x, y) = 1，2∣x 的一切正整数解可以写成公式： x=4ab(a2  b2), y=∣a4  b4－6a2 b2∣, z= a2  b2 其中 (a, b) = 1，a > b > 0，a,b一奇一偶。