坐标系与参数方程B

极坐标高考题分类与解析 极坐标高考题的几种常见题型 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式： 或 θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为 ， ． (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I) ， ，由 得 ．所以 ． 即 为⊙O1的直角坐标方程． 同理 为⊙O2的直角坐标方程． (II)解法一:由 解得 ， 即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x． 解法二: 由 ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线 的准线方程是 (A) (B) (C) (D) 解: 由 去分母后两边同时乘以 得: ,所以x2=8y ,其准线方程为y= ,在极坐标系中方程为 ,故选C. 例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1, ),(1, ),长轴长是4,则此 椭圆的直角坐标方程是_______________. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3, 故所求椭圆的直角坐标方程为 =1 评述：点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的 互化要熟练掌握. 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是 ,则它的直角坐标方程是___________. (答案:3x2-y2=1) 2(1998年全国)曲线的极坐标方程 =4sin 化成直角坐标方程为 (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 (答案:B) 3(2002北京)已知某曲线的参数方程是 ( 为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 (A) (B) (C) (D) (答案:D) 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性: 1、直线的极坐标方程(a>0) (1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程: =α; (2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程: cos =a; (3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程: sin =a; (4)不过极点,和极轴成 角,到极点距离为a的直线的极坐标方程: sin(α-θ)=a. 2、圆的极坐标方程(a>0) (1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a; (2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos ; (3)圆心在(a, ),半径为a的圆的极坐标方程: = ; (4)圆心在(a, ),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin ; (5)圆心在(a, ),半径为a的圆的极坐标方程: = ; (6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos( - 0). 3、极坐标系中的旋转不变性: 曲线f( , + )=0是将曲线f( , )=0绕极点旋转| |角( 时,按顺 时针方向旋转, 时,按逆时针方向旋转)而得到. 例4(1990年全国)极坐标方程4 sin2 =5所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解:由已知极坐标方程及三角公式得:2 (1-cos )=5, ∴2 =2 cos +5,由互化公式得2 =2x+5,平方整理得 y2=5(x+ ),方程表示的曲线是抛物线,故选D. 评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的,一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型. 类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2 =3表示的曲线是 (A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987年全国)极坐标方程 =sin +2cos 所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 3(2001年广东、河南)极坐标方程 2cos2 =1所表示的曲线是 (A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D) 4(2003北京)极坐标方程 表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D) 例5(1994年全国)极坐标方程 =cos( - )所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆 解:曲线 =cos( - )=cos( - )是把圆 =cos 绕极点按逆时针方向旋 转 而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D 评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程 cos( - 0)=0表示一条直线,方程 =acos( - 0)表示半径为 , 圆心为( , 0)的圆,要注意两者的区别. 例6(2001年全国)极坐标方程 =2sin( + )的图形是 (A) (B) (C) (D) 解:圆 =2sin( + )是把圆 =2sin 绕极点按顺时针方向旋转 而得,圆心的极坐标为(1, ),故选C. 类题:1(2002江苏)极坐标方程 与 = 的图形是 (A) (B) (C) (D) (答案:B) 2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在( 且过极点的圆的方程为 (A) (B) (C) (D) (答案:B) 三、判断曲线位置关系 例7(2000年京皖春)直线 = 和直线 sin( - )=1的位置关系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解:直线 sin( - )=1是把直线 sin =1绕极点按逆时针方向旋转 角 而得, 从而两直线平行,故选B. 评注:对直线 sin( - )=1与直线 sin =1的关系要十分熟悉. 四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是=4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是 (A) sin=3 (B) sin = –3 (C) cos =2 (D) cos = –2 解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13. 圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即sin=3,故选A. 评述:注意直线的直角坐标方程极易求出. 类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆 =4sin 相切的一条直线的方程是 (A) sin =2 (B) cos =2 (C) cos = 4 (D) cos =- 4(答案:B) 2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2, )且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______. (答案: sin =2) 3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1, ),那么过点P且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为 (A) =1 (B) =cos (C) = (D) = (答案:C) 4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (A) =2cos( - ) (B) =2sin( - ) (C) =2cos( -1) (D) =2sin( -1) (答案:C) 五、求曲线中点的极坐标 例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1, ),点B在直线 上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_________. 解:在直角坐标系中,A点坐标为(0,1),B在直线x+y=0上, AB最短,则B为 ,化为极坐标为 . 例10(1999年上海)极坐标方程5 2cos2 + 2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为__________. 解:由5 2cos2 + 2-24=0得5 2(cos2 -sin2 )+ 2-24=0化为直角坐标方程得 ,该双曲线的焦点的直角坐标为( ,0)与(- ,0),故所求 焦点的极坐标为( ,0)、( , ). 评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标 的对应关系极为有用. 例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆 =4cos +3sin 的圆心的坐标是 (A) ( ,arcsin ) (B)(5,arcsin ) (C)(5,arcsin ) (D)( ,arcsin ) 解:由 = 4cos +3sin =5( cos + sin )=5cos( -φ)(其中sinφ= ) 所以所求圆心坐标为( ,arcsin ),故选A. 类题：(2002上海)若A、B两点的极坐标为A(4, ),B(6,0),则AB中点的极坐标是_________.(极角用反三角函数值表示). 答案.( ) 六、求距离 例12(2007广东文)在极坐标系中，直线 的方程为ρsinθ=3，则点(2, )到直线 的距离为___________. 解: 将直线 的极坐标方程ρsinθ=3化为直角坐标系方程得:y=3, 点(2, )在直角坐标系中为( ,1),故点(2, ) 到直线 的距离为2. 评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化. 例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是 =cos 和 =sin 的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 解法一:两圆的圆心坐标分别为( ,0)与( , ),由此求得圆心距为 ,选D. 解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x- )2+y2= 与x2+(y- )2= , 由此求得圆心距为 ,选D. 评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解, 一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案. 例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为 sin( + )= ,则极点到该直线的距离是_______. 解法一:化直线方程为 = ,根据极坐标的概念极点到该直线 的距离等于这个函数ρ的最小值,当sin( + )=1时, 取最小值 即为所求. 解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1, 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为 . 类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 = 4cos 于A、B两点，则|AB|=______. (答案:2 ) 2(2004上海)在极坐标系中,点M(4, )到直线 : 的距离d=__________________. (答案: ) 七、判定曲线的对称性 例15(1999年全国)在极坐标系中,曲线 = 4sin( - )关于 (A) 直线 = 轴对称 (B)直线 = 轴对称 (C) 点(2, )中心对称 (D)极点中心对称 解:把圆 = 4sin 绕极点按逆时针方向旋转 便得到曲线 = 4sin( - )= , 知其圆心坐标为(2, ),故圆的对称轴为 = ,应选B. 评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其 圆心的坐标. 八、求三角形面积 例16(2006上海)在极坐标系中,O是极点，设点A(4, )，B(5, )，则△OAB的面积是 . 解:如图所示,在△OAB中， 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.