一阶系统与二阶系统

nullnull3.1 典型输入作用和时域性能指标 3.1.0 时域分析 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 3.1.2 瞬态过程和稳态过程 3.1.3 瞬态过程的性能指标 3.1.4 稳态过程的性能指标 3.1.5 对一个控制系统的要求 3.1.0 时域分析 时域分析是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。 时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。 控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。 3.1.0 时域分析null这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 在分析和 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 控制系统时，需要确定一个对各种控制系统的性能进行比较的基础，这个基础就是预先规定一些具有特殊形式的测试信号作为系统的输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 选取测试信号时必须考虑的原则： 选取的输入信号的典型形式应反映系统工作时的大部分实际情况。 选取外加输入信号的形式应尽可能简单，易于在实验室获得，以便于数学分析和实验研究。 应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型的测试信号。在控制工程中采用下列五种信号作为典型输入信号 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换null 脉冲函数：nullnull 分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。 当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。 讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为典型输入信号。null典型响应：[提示]：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲函数响应单位阶跃函数响应单位斜坡函数响应单位抛物线函数响应 3.1.2 瞬态响应和稳态响应 在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都由瞬态响应和稳态响应两部分组成 。1．瞬态响应：又称为瞬态过程或过渡过程。是指系统在典型输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 由于实际的控制系统存在惯性、阻尼及其它一些因素，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，瞬态过程曲线形态可表现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。 瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称为系统的瞬态性能。 一个可以实际运行的控制系统，瞬态过程必须是衰减的。即系统必须是稳定的。 3.1.2 瞬态响应和稳态响应 null2．稳态响应：又称为稳态过程。是指系统在典型输入信号的作用下，当时间趋近于无穷大时，系统的输出响应状态。 稳态过程反映了系统输出量最终复现输入量的程度，包含了输出响应的稳态性能。 从理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程应用中是无法实现的。因此在工程上只讨论典型输入信号加入后一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了系统主要的瞬态性能指标。而在这段时间之后，认为进入了稳态过程。 3.1.3 瞬态过程的性能指标 控制系统在典型输入信号的作用下的性能指标，由瞬态性能指标和稳态性能指标两部分组成。 由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只有当瞬态过程收敛（衰减）时，研究系统的瞬态和稳态性能才有意义。 在工程应用上，通常使用单位阶跃信号作为测试信号，来计算系统时间域的瞬态和稳态性能。 3.1.3 瞬态过程的性能指标null 描述稳定的系统在单位阶跃信号作用下，瞬态过程随时间t的变化状况的性能指标，称为瞬态性能指标，或称为动态性能指标。 为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。 稳定控制系统的单位阶跃响应曲线有衰减振荡和单调上升两种类型。 3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。(或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间)。 3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）null输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。null ⒍ 振荡次数N： 3.1.3 瞬态过程的性能指标（单调变化）（二）单调变化的响应单调变化响应曲线如图所示： 这种响应没有超调量，只用调整时间ts表示瞬态过程的快速性，调整时间的定义同上所述。有时也采用上升时间tr这一指标。上升时间的定义应修改为由稳态值的10%上升到90%所需的时间。 3.1.3 瞬态过程的性能指标（单调变化） 3.1.4 稳态过程的性能指标 当响应时间t>ts时，系统的输出响应进入稳态过程。稳态过程的性能指标主要是稳态误差。当时间趋于无穷大时，若系统的输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差，稳态误差是控制系统精度或抗干扰能力的一种度量。稳态过程的性能指标式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是系统的误差。 3.1.4 稳态过程的性能指标 3.1.5 对一个控制系统的要求 系统应该是稳定的； 系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求； 系统在瞬态过程中应有好的快速性。 简称为：稳、准、快 3.1.5 对一个控制系统的要求null 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.2.1 一阶系统的数学模型 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应 3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标 3.2.1 一阶系统的数学模型 3.2.1 一阶系统的数学模型 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应 显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数规律单调上升并最终趋于1的曲线。 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点 单位阶跃响应曲线是单调上升的指数曲线，为非周期响应； 时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢，单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统为惯性环节或非周期环节。 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点null根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常数，或测定系统是否属于一阶系统。 null 一阶系统跟踪单位阶跃信号时，输出量和输入量之间的位置误差随时间减小，最后趋于零。 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点 一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总是存在位置误差，并且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于常值T。位置误差的大小与系统的时间常数T也有关，T越大，位置误差越大，跟踪精度越低。反之，位置误差越小，跟踪精度越高。 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点null 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－特点 一阶系统在跟踪单位加速度信号时，总是存在位置误差，而且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于无穷大。因此，一阶系统不能实现对单位加速度信号的跟踪。 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－特点3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－线性系统的特点 单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－线性系统的特点null结论一：一阶系统对输入信号导数的响应，等于一阶系统对该输入信号响应的导数。 结论二：这个性质是线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶的线性定常系统，而线性时变系统和非线性系统则不具有这个特性。 3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标 3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标null 峰值时间tp 和超调量d%： 一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线，没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。 null例1：已知一阶系统的方块图如图所示。①试求该系统单位阶跃响应的调整时间ts；②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。解：①由系统方块图求出闭环传递函数：由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒所以：ts=3T=0.3秒（D=5）null②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 可设反馈系数为k由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。反馈加深对系统的响应还有什么影响？由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。null 3.3 典型二阶系统的瞬态性能 3.3.1 典型二阶系统的数学模型 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应 3.3.3 典型二阶系统的瞬态性能指标 3.3.4 二阶系统瞬态性能的改善 3.3.1 典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。 3.3.1 典型二阶系统的数学模型nullnull 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应当输入为单位阶跃函数时， ，有： 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应null输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 误差曲线呈现等幅振荡形式。即系统在无阻尼情况下，不能跟踪输入的单位阶跃信号。 nullnullnullnullnull输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：null阶跃响应函数为： 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为按指数规律单调上升的过程。 null输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 随着时间的增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。nullnull因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为:null 由于-p1和-p2均为负实数，所以过阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个衰减的指数项组成。因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是非振荡的单调上升曲线。 null当阻尼系数 z远大于1，即 –p1>>-p2时，在两个衰减的指数项中，后者衰减的速度远远快于前者，即此时二阶系统的瞬态响应主要由前者来决定，或者说主要由极点–p1决定，因而过阻尼二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。 null 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示：null 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程） 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）null取 k=0，得：null⒉ 峰值时间 ：当 时，null00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025nullnull最大超调量仅与阻尼系数有关。null可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为： 根据调节时间的定义，当t≥ts时 |y(t) - y(∞)|≤ y(∞) ×Δ%。null当t=t’s时，有： 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。null说明： 调整时间与系统特征根的实部数值成反比。系统特征根距虚轴的距离越远，系统的调整时间越短。 由于阻尼系数z的选取主要是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调整时间主要由无阻尼振荡频率wn决定。 若能保持阻尼系数不变而增加无阻尼振荡频率wn值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调整时间。 nullnull 通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。 nullnull 当阻尼系数z一定时，无阻尼振荡频率wn越大，上升时间、峰值时间和调整时间越短，响应速度越快。 null例1： 例1： 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。 null[例2]如图所示的二阶系统，开环传递函数包括三个典型环节：比例、积分和一阶惯性环节。图中 K为开环放大系数，T为一阶惯性环节的时间常数，通常称 K和T为系统的实际参数。由实际参数表示的系统闭环传递函数为：由上式可以看出瞬态性能指标与系统实际参数之间的关系。讨论如下： null 当K增大， T一定时，阻尼系数z值减小，超调量d％上升，调整时间ts基本不变，振荡次数增加。即K越大，二阶系统振荡越严重。 当 K一定， T增大时，阻尼系数z值减小，超调量d%上升，振荡次数增加。T增大又引起无阻尼振荡频率的减小，z，wn的减小均引起调整时间ts的增加，所以增大时将使调整时间ts增加。由此可见，T增大对系统瞬态性能是不利的。 例3 例3 图示系统，要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于1秒，求开环增益K。 null[例4] 有一位置随动系统，其方块图如图所示。其中K=4，T=1。试求： (1) 该系统的无阻尼振荡频率 wn；(2)系统的阻尼系数z；(3)系统超调量d%和和调整时间ts；（4）如果要求z＝0.707，在不改变时间常数T的情况下，应怎样改变系统开环放大系数K。 解： 系统的闭环传递函数为:null（4）当要求在z＝0.707时，wn=1/2z= 0.707，则K＝wn2=0.5。可见要满足二阶工程最佳参数的要求（该例中为增加阻尼系数），必须降低开环放大系数 K的值。 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（单调上升瞬态过程）（二）过阻尼（包括临界阻尼）二阶系统的瞬态性能指标 ： 当二阶系统的阻尼系数 z时，其单位阶跃响应曲线呈现单调上升形式,单位阶跃响应没有振荡，因此系统没有超调量。瞬态性能指标主要考虑上升时间 tr和调整时间ts。 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（单调上升瞬态过程）null（2）调整时间ts: 可以利用牛顿迭代法求解上述非线性方程的根。 求解过程如下：对于方程f(x)=0，其根可由迭代式： xk+1=xk-f(xk)/f’(xk) 迭代求出。如果f’(x)是连续的，并且待求的根x是孤立的，那么在根x周围存在一个区域，只要迭代初始值x0位于这个区域内，牛顿迭代一定是收敛的。 nullnull过阻尼二阶系统：阻尼系数z>1，其单位阶跃响应为： 同样可以根据确定的阻尼系数 z值，由牛顿迭代法求得系统的调整时间。比如： null过阻尼二阶系统调整时间曲线null通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的阻尼系数在0~1之间。而不希望处于过阻尼情况(z>1)，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于(z>1)的情况。 需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（小结）⒈极点位置与阶跃响应形式的关系 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（小结）① 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系① 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系⒉极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系③ 极点距虚轴的距离与系统的调整时间成反比(01时，系统的无阻尼振荡频率wkd和阻尼系数zkd都增大了，这是否表明系统的超调量和调整时间都将减小，从而使系统的瞬态性能得到改善呢？ null具有零点的二阶系统的零、极点位置： null系统的单位阶跃响应为： 分别为典型二阶系统的单位阶跃响应和附加零点引起的分量。 null由图看出：由于y2的影响，使得具有附加零点的二阶系统比典型二阶系统的单位阶跃响应具有更快的响应速度和更大的超调量 。 null随着a的减小，即附加零点越趋向于虚轴，y(t)的超调量将明显增大，附加零点对系统的影响愈加显著。 null具有附加零点的二阶系统主要性能指标 null超调量d%与a的关系: 例如：当z=0.3，a>=7或z>=0.5，a>=4时，附加零点对系统超调量的影响可以忽略。 null 典型二阶系统引入比例微分校正后，系统的无阻尼振荡频率wn和阻尼系数z都可以增加。从这个角度说，系统的超调量和调整时间可以减小。 同时系统的表现形式变为附加了一个零点的二阶系统，附加一个零点的二阶系统相对典型二阶系统（在无阻尼振荡频率wn和阻尼系数z不变的情况下 ）来说，超调量增大，响应速度加快。 综合起来，典型二阶系统引入比例微分校正后，只要比例系数kp和微分系数kd选择恰当，其瞬态性能指标能得到较好的改善。 讨论：null引进比例微分校正前后，二阶系统单位阶跃响应曲线的一个例子 曲线1、2分别为未引入和引入比例微分校正后的单位阶跃响应曲线。很显然，引入比例微分校正后，系统的响应速度加快，超调量和调整时间减小。 3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施--速度反馈校正2．速度反馈校正： 利用系统输出信号y(t)的微分作为反馈信号，与输出信号一起同时加到系统的输入端，以产生误差信号，起到增加系统阻尼的目的。 3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施--速度反馈校正null 系统对单位阶跃信号响应的超调量可以通过改变阻尼系数zv的值加以控制。通过调整速度反馈系数t，使阻尼系数zv落在0.4~0.8之间，从而减小超调量。 null引进速度反馈校正前后，二阶系统单位阶跃响应曲线的一个例子 曲线1、2分别为未引入和引入速度反馈校正后的单位阶跃响应曲线。由图可知，二阶系统引入速度反馈校正以后，可以减小系统的超调量和调整时间，但有时会增大系统的上升时间。null比例-微分控制与测速反馈控制的比较 对于理想的线性控制系统，在比例-微分控制和测速反馈方法中，可以任取一种来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等。下面仅讨论几种主要差别： 1）附加阻尼来源：微分控制的阻尼作用来源于系统输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。 2)使用环境：微分控制对噪声具有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用微分控制；同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器。测速反馈控制对系统输入端的噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。 null3）对开环增益和自然频率的影响：微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈虽不影响自然频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益，开环增益的加大，必然导致系统自然频率的增加，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。 4）对动态性能的影响：微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的情况下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。 3.3.4 二阶系统响应特性--小结二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。 典型二阶系统的瞬态响应—二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。 典型二阶系统的性能指标—主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。 具有零点的二阶系统—单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；比例微分校正。 3.3.4 二阶系统响应特性--小结