第9章1-4节 单步微分方程

null第9章 常微分方程初值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 数值解法第9章 常微分方程初值问题数值解法9.1 引 言9.1 引 言 本章要着重考察的一阶方程的初值问题 null 即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. null9.2 简单的数值方法与基本概念 9.2 简单的数值方法与基本概念 9.2.1 欧拉法与后退欧拉法 积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向一致. nullnull即 这就是著名的欧拉（Euler）公式.null 例1求解初值问题 解欧拉公式的具体形式为 计算结果见 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 9-1. null 还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度. nullnull称为此方法的局部截断误差. 于是可得欧拉法（2.1）的公式误差 null称为后退的欧拉法. 局部截断误差也是（2.3）. 近似，则得另一个公式 称作是显式的；null 隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化. 设用欧拉公式 这类公式称作是隐式的. null如此反复进行，得 由（2.6）减（2.5）得 null 从积分公式可以看到后退欧拉方法的公式误差与欧拉法是相似的. 9.2.2 梯形方法 9.2.2 梯形方法 若用梯形求积公式近似等式（2.4）右端的积分称为梯形方法. 梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解. null 为了分析迭代过程的收敛性，将（2.7）与（2.8）式相减，得 同后退的欧拉方法一样，仍用欧拉方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为 null 这说明迭代过程（2.8）是收敛的. 于是有 9.2.3 单步法的局部截断误差与阶 9.2.3 单步法的局部截断误差与阶 初值问题(1.1)，(1.2)的单步法可用一般形式表示为 所以显式单步法可表示为 例如对欧拉法（2.1）有 它的局部截断误差已由（2.3）给出.null 对一般显式单步法则可如下定义. 定义1为显式单步法（2.10）的局部截断误差. 称 null在前一步精确的情况下用公式（2.10）计算产生的公式误差. 根据定义，欧拉法的局部截断误差 即为（2.3）的结果. 局部截断误差可理解为用方法（2.10）计算一步的误差，即显然null 定义2 若将（2.12）展开式写成 以上定义对隐式单步法（2.9）也是适用的. null 对后退欧拉法（2.5）其局部截断误差为 null 对梯形法（2.7）有 所以梯形方法是2阶的，其局部误差主项为 9.2.4 改进的欧拉公式 9.2.4 改进的欧拉公式 梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂. 为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的 计算，这就简化了算法. 而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测. 称之为预测值，null 这样建立的预测-校正系统通常称为改进的欧拉公式： 预测校正也可以表为下列平均化形式 null 例2 解用改进的欧拉方法求解初值问题（2.2）. 改进的欧拉公式为 null 同例1中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度. 9.3 龙格-库塔方法9.3 龙格-库塔方法 9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式 9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式 上节给出了显式单步法的表达式其局部截断误差为 若用改进欧拉法，它可表示为 null此时增量函数 null若要使公式阶数提高，就必须使右端积分的数值求积公式 精度提高，必然要增加求积节点. 为此可将（3.3）的右端用求积公式表示为为得到便于计算的显式方法，可类似于改进欧拉法，将公式表示为 其中 null简称R-K方法. null 9.3.2 二阶显式R-K方法 9.3.2 二阶显式R-K方法 根据局部截断误差的定义，（3.6）的局部截断误差为 null其中 各项展开式为 null将以上结果代入局部截断误差公式则有 null（3.9）的解是不惟一的. 这样得到的公式称为二阶R-K方法，这就是改进欧拉法（3.1）.null称为中点公式， （3.10）也可表示为 得计算公式 相当于数值积分的中矩形公式. null 9.3.3 三阶与四阶显式R-K方法 9.3.3 三阶与四阶显式R-K方法 此时（3.4）,（3.5）的公式表示为 公式（3.11）的局部截断误差为 null可得待定参数满足方程 null这是8个未知数6个方程的方程组，解也不是惟一的. 所以这是一簇公式. 满足条件（3.12）的公式（3.11）统称为三阶R-K公式. 一个常见的公式为 此公式称为库塔三阶方法. null 继续上述过程，经过较复杂的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 演算，可以导出各 种四阶龙格-库塔公式，下列经典公式是其中常用的一个： null 例3 解null 表9-3列出了计算结果，同时列出了相应的精确解. 比较例3和例2的计算结果，显然龙格-库塔方法的精度高. null 龙格-库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性质. 反之，如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格-库塔 方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法. 9.3.4 变步长的龙格-库塔方法 9.3.4 变步长的龙格-库塔方法 单从每一步看，步长越小，截断误差就越小，但随着 步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了. 步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍 入误差的严重积累. 因此同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也 有个选择步长的问题. 在选择步长时，需要考虑两个问题： 1. 怎样衡量和检验计算结果的精度？ null 2. 如何依据所获得的精度处理步长？ 考察经典的四阶龙格-库塔公式: null比较（3.14）式和（3.15）式我们看到，步长折半后，因此有 null由此易得下列事后估计式 这样，可以通过检查步长、折半前后两次计算结果的偏差 来判定所选的步长是否合适. 具体地说，将区分以下两种情况处理： null 这种通过加倍或折半处理步长的方法称为变步长方法.这时再将步长折半一次，就得到所要的结果. 表面上看，为了选择步长，每一步的计算量增加了，但总体考虑往往是合算的. 9.4 单步法的收敛性与稳定性 9.4 单步法的收敛性与稳定性 9.4.1 收敛性与相容性 数值解法的基本思想是通过某种离散化手段将微分方程转化为差分方程，如单步法（2.10），即 null 定义3 对单步法（4.1）有下述收敛性定理. null 定理1则其整体截断误差 null再考察改进的欧拉方法，其增量函数由给出，这时有则由上式推得 又因为p=2,因此改进的欧拉方法也是收敛的. null 类似地，也可验证其他龙格-库塔方法的收敛性. 有展开式 null 定义4则称单步法（4.1）与初值问题（1.1），（1.2）相容. 于是由定理1可知若增量函数 方法（4.1）收敛的充分必要条件是此方法是相容的. null 稳定性引例 /* Stability */ 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101 1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.76561041.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.76561011.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107 What is wrong ??!9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域 9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域 定义5 以欧拉法为例考察计算稳定性. 例4考察初值问题 如图9-3所示. null计算结果列于表9-4的第2列. null计算结果列于表第3列（图9-3中标以·号），这时计算过程稳定. 模型方程的稳定性模型方程的稳定性 为了只考察数值方法本身，通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性，模型方程为 欧拉方法的稳定性. null则扰动值满足 可见扰动值满足原来的差分方程（4.9）. 如果差分方程的解是不增长的，即有 则它就是稳定的. 即null这个圆域称为欧拉法的绝对稳定域，一般情形可有下面定义. 定义6 对欧拉法，给出，它与实轴的交称为绝对稳定区间. 其绝对稳定域由null绝对稳定区间为 .null故 null 三阶显式R-K方法 四阶显式R-K方法即 即 null 例5用经典的四阶R-K方法（3.13）计算. 解稳定区间（0，0.139）内，后者则不在.用四阶R-K方法计算其误差见下表： null 对隐式单步法，可以同样的方法讨论绝对稳定性，例如对后退欧拉法，用它解模型方程可得故 null故