南京市2011届四星高中高三摸底试卷（数学）

南京市2011届四星高中高三摸底试卷（数学） 一、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：本大题共14小题，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上． 1．若复数 （i为虚数单位 是纯虚数，则实数 的值为 ▲ ． 2．若 ，则 ▲ ． 3．过原点作曲线 的切线，则切线方程为 ▲ ． 4．设集合 ，则 =____ ▲ _______. 5．根据《中华人民共和国道路交通安全法》 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_______▲______． 6. 已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为 ______▲_______． 7. 将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是______▲_______． 8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______▲_______． 9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图2所示，其中支出在 元的同学有 人，则 的值为______▲_______． 10. 已知抛物线 焦点 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 恰好是双曲线 的右焦点，且双曲线过点（ ），则该双曲线的渐近线方程为______▲_______． 11. 已知函数 若函数 有3个零点，则实数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是______▲_______． 12. 当 时， 恒成立，则实数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 的取值范围是______▲_______． 13. 首项为正数的数列 满足 , 若对一切 都有 ，则 的取值范围是______▲_______． 14．已知函数 ，关于 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 的方程 ，给出下列四个命题： ① 存在实数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为______▲_______． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知 为 的三个内角，且其对边分别为 ，且 ．（1）求角 的值； （2）若 ，求 的面积． 16、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= ，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． （1）求三棱锥E－PAD的体积； （2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置 关系，并说明理由； （3）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF． 17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为 元。 （1）试写出 关于 的函数关系式，并写出定义域；（2）当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 18. 已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x坐标轴上，且经过点 ,离心率为 （1）求椭圆P的方程：（2）是否存在过点E（0，－4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足 ．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 19. 数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 满足： HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 .（Ⅰ）若数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 为常数列，求 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 的值； （Ⅱ）若 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求证： HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 单调递减. 20. 已知函数 ， （1）若 ，且关于 的方程 有两个不同的正数解，求实数 的取值范围； （2）设函数 ， 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与 无关.试求 的取值范围． 2011届江苏省南京市四星高中 高三数学摸底试卷（一） 1、-2 2、 3、 4、 5、4320_ 6、 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ㎝2 7、 8、 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 9、100 10、 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 11、 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 12、 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 13、 或 14、①②③④ 15、（本小题满分14分） 解：（1）由 ，得 ，即 ……4分 为 的内角， ………………………………… 7分 （2）由余弦定理： …………………9分 即 …………………………………………………12分 又 . ……………………………………………14分 16、（本小题满分14分） （1）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD， ∴三棱锥E－PAD的体积为 ．…………4分 （2）当点E为BC的中点时， EF与平面PAC平行.∵在△PBC中， E、F分别为BC、PB的中点， ∴EF//PC 又EF 平面PAC， 而PC 平面PAC ∴EF//平面PAC.…9分 （3）证明：∵PA⊥平面A BCD，BE 平面ABCD， ∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP 平面PAB， ∴EB⊥平面PAB， 又AF 平面PAB，∴AF⊥BE. 又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB， 又∵PB∩BE=B，PB，BE 平面PBE，∴AF⊥平面PBE. ∵PE 平面PBE，∴AF⊥PE.……………………14分 17、（本小题满分15分） 解：（1）设摩天轮上总共有 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 个座位，则 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 定义域 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ； ……………………6分 （2）当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时，令 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，（10分） 当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 上单调减， 当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 上单调增， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时取到，此时座位个数为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 个。……………………15分 18、（本小题满分15分） 解：（1）设椭圆P的方程为 由题意得b= , …………………………………………2分 ∴ ………………………………………………… 5分 ∴椭圆P的方程为： …………………………………………………… 7分 （2）假设存在满足题意的直线L.易知当直线的斜率不存在时, 不满足题意. 故设直线L的斜率为 . ………………………………………………8分 ……………………………………9分 ……………………①. ……………………………………………11分 ………………………12分 …②. 由①、②解得 ……………………………………………………14分 ……………………15分 19、（本小题满分16分） 解：（Ⅰ）因为数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 为常数列， 所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 或 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 由 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 的任意性知， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 或 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . 所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 或 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . ………………… 3 分 （Ⅱ）用数学归纳法证明 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . 1​ 当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 符合上式. ………………… 4 分 ② 假设当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 因为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . 从而 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . 因为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 所以，当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 成立. 由①，②知， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . ………………… 9分 （Ⅲ）因为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ( HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 )， 所以只要证明 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . 由（Ⅱ）可知， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 所以只要证明 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 即只要证明 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . …………………12分 令 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 所以函数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 上单调递增. ………………… 14分 因为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 成立. 故 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 . 所以数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 单调递减. ………………… 16分 20、（本小题满分16分） 20．解：(1)令 ， ，因为 ，所以 ，所以关于 的方程 有两个不同的正数解等价于关于 的方程 有相异的且均大于1的两根，即 关于 的方程 有相异的且均大于1的两根，…………………………………………………2分 所以 ，…………………………………………………………………4分 解得 ，故实数 的取值范围为区间 .……………………………6分 (2) ①当 时， a) 时， ， ，所以 ， b) 时， ，所以 ……8分 ⅰ当 即 时，对 ， ，所以 在 上递增， 所以 ，综合a) b) 有最小值为 与a有关，不符合……10分 ⅱ当 即 时，由 得 ，且当 时， ，当 时， ，所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，综合a) b) 有最小值为 与a无关，符合要求．………12分 ②当 时， a) 时， ， ，所以 b) 时， ， ， 所以 ， 在 上递减， 所以 ，综合a) b) 有最大值为 与a有关，不符合………14分 综上所述，实数a的取值范围是 ．………………………………………………16分