上海市黄浦区2011年高考二模数学试卷(理科)(2011年4月14日)

黄浦区2008学年度第一学期高三年级教学质量检测 黄浦区2011年高考模拟考 数学试卷(理科) (2011年4月14日) 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟． 一．填空题(本大题满分56分)　本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数 的定义域是 ． 2．已知全集 ，集合 ，则 = ． 3．已知函数 是函数 的反函数，则 (要求写明自变量的取值范围)． 4．双曲线 的渐近线方程是 ． 5．若函数 与函数 的最小正周期相同，则实数a= ． 6．已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列， 是数列的前n项和，则 = ． 7．直线 ， ，则直线 与 的夹角为= ． 8．已知 ， 是方程 的根，则 = ． 9． 的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ． 10．已知 是平面上两个不共线的向量，向量 ， ．若 ，则实数m= ． 11．已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比 = (用数值作答)． 12．已知角 的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合， 角 的终边与单位圆交点的横坐标是 ，角 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ，则 = ． 13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为 ，现用 表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量 的数学期望 = ． 14．已知点 是函数 的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论 成立．运用类比思想方法可知，若点 是函数 的图像上的不同两点，则类似地有 成立． 二．选择题(本大题满分16分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知 ， ．若 是 的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 [答]( ) 　　　　A． ．　　　 B． ． 　　　　C． ． D． ． 16．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心的极坐标是 ( 是正数)，则圆C的极坐标方程是 [答]( ) A． ．　B． ． C． ． D． ． 17．已知直线 ，点 在圆C： 外，则直线 与圆C的位置关系是 ． [答]( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 不能确定 18．现给出如下命题： (1)若直线 与平面 内无穷多条直线都垂直，则直线 ； (2)空间三点确定一个平面； (3) 先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A和B相互独立且 = ； (4)样本数据 的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 　 [答]( ) A．(1)、(4)． 　B．(1)、(3)． C．(2)、(3)、(4)． D．(3)、(4)． 三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 在 中，记 (角的单位是弧度制)， 的面积为S，且 ． (1)求 的取值范围； (2)就(1)中 的取值范围，求函数 的最大值、最小值． 20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 已知正方体 的棱长为a． (1)求点 到平面 的距离； (2)求平面 与平面 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)． 21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分． 已知函数 ，数列 满足 ， ． (1)若数列 是常数列，求a的值； (2)当 时，记 ，证明数列 是等比数列，并求出通项公式 ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分． 已知函数 是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)． (1)求实数m的值，并写出区间D； (2)若底数 ，试判断函数 在定义域D内的单调性，并说明理由； (3)当 ( ，a是底数)时，函数值组成的集合为 ，求实数 的值． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知点 是直角坐标平面内的动点，点 到直线 的距离为 ，到点 的距离为 ，且 ． (1)求动点P所在曲线C的方程； (2)直线 过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线 的垂线，对应的垂足分别为 ，试判断点F与以线段 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)； (3)记 ， ， (A、B、 是(2)中的点)，问是否存在实数 ，使 成立．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 进一步思考问题：若上述问题中直线 、点 、曲线C： ，则使等式 成立的 的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)． 黄浦区2011年高考模拟考 数学试卷(理科)(2011年4月14日) 参考答案和评分标准 说明： 1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。 2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 一、填空题 1、 　 8、 2、 9、 3、 　 10、 4、 　 11、 5、 12、 6、 13、 7、 14、 二、选择题：　15、B　　　16、A　　　17、A　　　18、D 三、解答题 19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解 (1)∵ ， ， 又 ， ∴ ，即 ． ……………………………4分 ∴所求的 的取值范围是 . ………………………7分 (2)∵ ， 9分 ∴ ， . 11分 ∴ . 14分 20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 、 、 、 ，向量 ， ， ． 2分 设 是平面 的法向量，于是，有 ，即 ． 令 得 ．于是平面 的一个法向量是 ． 5分 因此， 到平面 的距离 ．(也可用等积法求得) 8分 (2) 由(1)知，平面 的一个法向量是 ．又因 ，故平面 的一个法向量是 ． 10分 设所求二面角的平面角为 (结合图形可知二面角是锐角，即 为锐角)，则 ． 13分 所以，平面 与平面 所成的二面角为 ． 14分 21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分． 解 (1)∵ ，数列 是常数列， ∴ ，即 ，解得 ，或 ． …………………………6分 　　∴所求实数 的值是1或2． (2)∵ ， ∴ ，即 ．……10分 ∴数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，于是 ． 12分 由 即 ，解得 ． 16分 ∴所求的通项公式 ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分． 解 (1) ∵ 是奇函数， ∴对任意 ，有 ，即 ．2分 　化简此式，得 ．又此方程有无穷多解(D是区间)， 必有 ，解得 ． ………4分 ∴ ． 5分 (2) 当 时，函数 上是单调减函数． 理由：令 ． 易知 在 上是随 增大而增大， 在 上是随 增大而减小，6分 故 在 上是随 增大而减小． 8分 于是，当 时，函数 上是单调减函数． 10分 (3) ∵ ， ∴ ． 11分 ∴依据(2)的道理，当 时，函数 上是增函数， 12分 即 ，解得 ． 14分 若 ，则 在A上的函数值组成的集合为 ，不满足函数值组成的集合是 的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1) ∴必有 ． 16分 因此，所求实数 的值是 ． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 解　(1) 设动点为 ， 1分 依据题意，有 ，化简得 ． 3分 　　因此，动点P所在曲线C的方程是： ． ……………………4分 (2) 点F在以MN为直径的圆的外部． 理由：由题意可知，当过点F的直线 的斜率为0时，不合题意，故可设直线 ： ，如图所示． 5分 联立方程组 ，可化为 ， 则点 的坐标满足 ． 7分 又 、 ，可得点 、 ． 点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断． 因 ， ，则 = ．9分 于是， 为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部． 10分 (3)依据(2)可算出 ， ， 则 ， ． 14分 所以， ，即存在实数 使得结论成立． 15分 对进一步思考问题的判断：正确． 18分