课程编号：07000149 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期
2008 级《微积分 A》期末试题 A 卷
班级 学号 姓名
一、 填空（每小题 3 分，共 30 分）
1. 极限 =+→ xx x sin
2
0
)21(lim .
2. 不定积分 =++∫ dxxx x )ln1arctan( 2 .
3. 函数 的间断点是
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
<−
=
13
11
113
)(
xx
x
xx
xf ，是第 类间断点.
4. 设 ，则 )2tan(10 xxy = =′y .
5. 微分方程 0=+′ yyx 满足条件 1)1( =y 的解是 =y .
6. 定积分 =+++∫
π
π−
2
2
5
2
3
]cos
)1ln(
[ 2 dxx
xe
x
x
.
7. 参数方程
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
ty
tx
1
2
2
所确定的函数的二阶导数 =2
2
dx
yd
.
8. 广义积分 =+∫
∞+
1 )1( xx
dx
.
9. 设 ,1)()1ln(lim 2
2
0
=+−+→ x
bxaxx
x
则 =a ， =b .
10. 设函数 )(xyy = 由方程 1ln =+ yxy 确定，则 =′ )0(y .
二、（9 分）求微分方程 的通解. xxyy +=+′′ 2
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三、（9 分）设函数 ，试讨论
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
>= ∫
0
0)(
2
0
xx
xdttexf
x t
)(xf 在点 0=x 的连续性和可
导性.
四、（10 分）
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
：当 0≥x 时，有 22 1
11
2
x
ex x +≤≤−
− .
五、（10 分）设 )(xf 是周期为 2 的连续函数.
(1) 证明：对任意实数a都有 ;)( )(
2
0
2 ∫∫ =+ dttfdttfaa
(2) 证明： 是周期为 2 的周期函数. ∫ ∫ +−= x tt dtdssftfxF 0 2 ])()(2[)(
六、（10 分）设曲线 ， 及)0(2 >= yyx )0(2 2 >−= yyx 0=y 围成一平面图形 D.
(1) 求平面图形 D 的面积；
(2) 求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积.
七、（8 分）求函数 的极值和它所表示的曲线的拐点的横坐
标.
dtttxf
x∫ −−= 0 2)2)(1()(
八、（8 分）设已知跳伞运动员打开降落伞时，其速度为 176m/s,假定空气阻力是 vm
16
千
克力（其中 是人伞系统的总质量），试求降落伞打开后m t秒时的运动速度以及其
极限速度.
九、（6 分）设函数 f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最小
值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在 ( , )a bξ ∈ ，使得 ( ) ( ).f gξ ξ′′ ′′=
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