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20100319 第三讲:求导积分与微分方程数值解(2次课)

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20100319 第三讲:求导积分与微分方程数值解(2次课)null第三讲 极限、导数、积分(补充)内容:本讲针对高等数学一元微积分学补充极限、导数、积分相关运算;介绍Funtool符号计算器; 目的:学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实现,为学习微分方程数值解作准备; 要求:能够解决高等数学中的一类极限/导数/积分求解问题;了解并会使用Funtool符号计算器; 掌握极限(左、右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导、高阶导、偏导) 函数 diff 掌握积分(不定积分、定积分、数值积分) 函数 int trapz qua...

20100319 第三讲:求导积分与微分方程数值解(2次课)
null第三讲 极限、导数、积分(补充)内容:本讲针对高等数学一元微积分学补充极限、导数、积分相关运算;介绍Funtool符号计算器; 目的:学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实现,为学习微分方程数值解作准备; 要求:能够解决高等数学中的一类极限/导数/积分求解问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ;了解并会使用Funtool符号计算器; 掌握极限(左、右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导、高阶导、偏导) 函数 diff 掌握积分(不定积分、定积分、数值积分) 函数 int trapz quad quadl quad8第三讲 极限、导数、积分(补充)求极限、求导数与求积分...求极限、求导数与求积分... 极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又是 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 计算和科学研究直接面对的问题. 微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用导数公式和求导法则算出它们的导数. 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数“积不出来”,由于它们的原函数无法由基本初等函数经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我们也只能采用数值 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 . 借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题!求极限运算的调用格式基本调用格式: limit(f) 功能:计算 limit(f,x,a) 功能:计算 limit(f,x,inf) 功能:计算 limit(f,x,a,'right') 功能:计算 limit(f,x,a,'left') 功能:计算求极限运算的调用格式注意: 默认x趋于0; 在左,右极限不相等,或有一个不存在时,默认为求右极限;求极限运算的应用示例求极限运算的应用示例应用示例(熟悉应用类型): 例1 求极限 syms x; y=((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/x^3); limit(y) 例2 求极限 syms n; y=(1+1/n)^n; limit(y,n,inf) 例3 求极限 syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x))); limit(y,x,3,'left') 求导数运算的调用格式求导数运算的调用格式[1] 一元函数求导 基本调用格式: diff(f) 功能-求函数f的一阶导数 diff(f,n) 功能-求函数f的n阶导数 应用示例: 例4 求 的一阶、二阶导数 syms a b x; y=(a*x+tan(3*x))^(1/2)+sin(x)*cos(b*x); d1y=diff(y), disp('***'), pretty(d1y), disp('***') d2y=diff(y,2), disp('***') , pretty(d2y), 求导数运算的调用格式求导数运算的调用格式[2] 多项式拟合求导( 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式未知或不易求导) 方法说明: 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数,然后利用多项式函数求导命令polyder求导或diff求导 应用示例: 例5 用5阶多项式拟合函数 并求x=2处的二阶导函数值 x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.^2+exp(x.^2)); p=polyfit(x,y,5), y2=polyval(p,x); plot(x,y,'b',x,y2,'r'); legend('y','y2',2); %产生数据点,拟合成5阶多项式函数,并作图比较 p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导,并代值 y2=poly2sym(p,'x'), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导,并代值求导数运算的调用格式求导数运算的调用格式[3] 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 方程求导 方法说明: 对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出dy/dt和dx/dt 然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可 应用示例: 例6 求参数方程 syms t; x=t*(1-sin(t)); y=t*cos(t); ezplot(x,y); grid on; dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx) %下面在t=4.1处作出参数方程的切线(导数) hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,'ro'); k=eval(dydx); line([x,x+1],[y,y+k],'color','r')求导数运算的调用格式求导数运算的调用格式[4] 多元函数求导 方法说明: 对指定变量求导,求偏导数 应用示例: 例7 求 对z 的偏导数 syms a b x y z; u=a*exp(b*x+y+z^2);pretty(diff(u,z)) 例8 对 syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y);diff(z,x,3)求导数运算的应用示例求导数运算的应用示例 例9 以 为例验证罗必塔法则: syms a b x f=a^x-b^x; g=x; l1=limit(f/g,x,0) df=diff(f,x); dg=diff(g,x); l2=limit(df/dg,x,0) if l1==l2 disp('罗必塔法则得到验证!') end求不定积分运算的调用格式求不定积分运算的调用格式[1] 不定积分 方法说明: int(f)对默认变量积分;int(f,v)对指定变量积分 应用示例: 例10 计算 syms x; y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); pretty(int(y)) 例11 计算 syms a x; y=1/(a^2-x^2); pretty(int(y,x)) 例12 计算二重不定积分 syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)求定积分运算的调用格式求定积分运算的调用格式[2] 定积分-解析解法 方法说明: int(f,x,a,b) 依据微积分基本公式计算 应用示例: 例13 计算 syms a x;f=sqrt(x^2+a);pretty(int(f,x,-2,2)) 例14 对变上限函数 求导 syms t x;f= sqrt(1-t^2);pretty(diff(int(f,t,0,x^2)))求定积分运算的调用格式求定积分运算的调用格式[3] 定积分-数值解法 方法说明: 当定积分-符号解法失效时,必须用定积分-数值解法来近似计算定积分的值。矩形公式sum,复合梯形公式trapz,复合辛普森公式quad/quad8的区别在于替代等距曲边梯形的方式不同: 求定积分运算的应用示例求定积分运算的应用示例应用示例: sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和,若使用两次则先按列求和再按行求和(行列总和) 例15 矩形法计算 在x=0与x=10之间所围面积 dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.^2+115; sum(y(1:length(x)-1))*dx ( 的近似值)求定积分运算的调用格式求定积分运算的调用格式trapz(x,y) 用复合梯形公式计算定积分,x为积分变量分点向量,y为被积函数分点函数值向量 quad('fun',a,b,tol,trace) 用复合辛普森公式计算定积分,fun为被积函数表达式字符串或m函数文件名,a,b是积分下上限,tol表示精度(缺省0.001),trace=1图示积分过程(默认=0不显示) %quadl采用Lobatto算法,精度和速度要优于quad %quad8采用8阶NewtonCotes算法,精度优于quad求定积分运算的应用示例求定积分运算的应用示例例16 用两种方法求定积分 x=2:.1:5;y=log(x)./(x.^2); tt=trapz(x,y) %复合梯形公式 fun=inline(' log(x)./(x.^2) ','x'); ss=quad(fun,2,5) %复合辛普森公式Funtool符号计算器-界面Funtool符号计算器-界面Funtool符号计算器-功能Funtool符号计算器-功能图形化符号函数计算器的使用: f= 为图形窗口1的控制函数,其缺省值为x; g= 为图形窗口2的控制函数,其缺省值为1; x= 为两窗口函数的自变量取值范围,缺省[-2*pi,2*pi] a= 为常数,缺省值为1/2。 df/dx 计算函数f对x的导法式,并赋给f。 int f 计算函数f的积分函数,并赋给f。 simple f 计算函数f的最简表达式,并赋给f。(syms x) simplify(cos(x)^2+sin(x)^2); simplify((x^2+5*x+6)/(x+2)); expand(cos(x+y)); expand((x-2)*(x-4)); syms x y; factor(x^3-y^3); factor(x^3+3*x^2+3*x+1); num f 取表达式f的分子,并赋给f。 den f 取表达式f的分母,并赋给f。 1/f 求f的倒数函数,并赋给f。 finv 求f的反函数,并赋给f。Funtool符号计算器-功能Funtool符号计算器-功能f±a 计算f(x) ±a,并赋给f。 f*a 计算f(x)*a,并赋给f。 f/a 计算f(x)/a,并赋给f。 f^a 计算f^a,并赋给f。 f(x+a) 计算f(x+a),并赋给f。 f(x*a) 计算f(ax) ,并赋给f。 f+a 计算f(x)+a,并赋给f。 f±g 计算两函数之和/差,并赋给f。 f*g 计算两函数之积,并赋给f。 f/g 计算两函数之比,并赋给f。 f(g) 计算复合函数f(g(x)) 。 g=f 将f的函数值赋给g。 swap 交换f与g的函数表达式。That’s all~3Q! That’s all~3Q! 第三讲 微分方程数值解第三讲 微分方程数值解内容:本讲首先演练单摆微分方程求解的全过程;随后由例题入手介绍基于MATLAB的微分方程求解函数,然后重点讲解微分方程(组)的图形图像解法;最后介绍欧拉方法、改进欧拉方法,R-K方法 目的:掌握微分方程数值解的一般思路和方法。 要求:能够处理应用类型微分方程数值解问题。 掌握单摆微分方程求解的完整过程(课本引例) 掌握基于常用微分方程求解函数 dsolve ode 掌握图形图像求解: 斜率场 / 相平面 / 等值线 了解欧拉方法、改进欧拉方法、R-K方法大多数微分方程无法求解析解?大多数微分方程无法求解析解? 微分方程是研究函数变化规律的有力工具,在科技、工程、经济管理、及生态、环境、人口、交通等各个领域有着广泛的应用。 建立微分方程可以依据物理的、或其他原理和规律建立的平衡关系,但是!更重要的问题是如何求解这些微分方程(组) 部分微分方程可以求得解析解,但是绝大多数的非线性、变系数微分方程或“难以求解”或“求不出解”,所以对于实际问题,研究微分方程的数值解具有重要意义!我们所熟悉的微分方程?我们所熟悉的微分方程?微分方程初值问题的最简单形式: 简单定义:含有导数的方程就称为微分方程 一般形式: 解析解:求得具体解析式y=f(x) (早先学过的...) 数值解:求得系列散点xi对应的近似值yi(表格法) 图像解:用图像表示解曲线(有何优势?)表示函数的三种方法?单摆微分方程求解:建立方程单摆微分方程求解:建立方程提示:这是一个完整的微分方程建立、求解的过程,通过本例的学习,要求完成p58容器刻度问题全程求解!(本讲实验题)由牛顿第二定律建立方程:我们要找到符合条件的theta与t的函数关系,但是此2阶非线性微分方程并不容易求得解析解…除非单摆微分方程求解:求近似解单摆微分方程求解:求近似解除非一简化方程求其近似解: 取x0=10°即x0= 0.1745,在此弧度范围内sin   所以原微分方程可以简化为:此线性常系数微分方程可以直接用dsolve函数求得:dsolve('D2theta+g/l*theta=0','theta(0)=a0','Dtheta(0)=0','t') 其解析解为: a0*cos((g/l)^(1/2)*t) 这个解可以作为原方程的近似解单摆微分方程求解:求数值解单摆微分方程求解:求数值解除非二求其数值解:也就是部分点xi对应的近似值yi 我们采用ode23函数求解,所以首先改写方程:由简化方程求得近似解为:代入g=9.8 l=25,得到周期 T  10s,下面考察ts=0到tf=10内若干点处的近似值i,即所谓的数值解单摆微分方程求解:求数值解单摆微分方程求解:求数值解首先建立被调函数danbai.m function xdot=danbai(t,x) g=9.8;l=25; xdot(1)=x(2); xdot(2)=-g/l*sin(x(1));xdot=xdot';然后是主调指令,也可写成主调文件loaddanbai.m warning off ts=0; tf=10; a0=0.1745; cond0=[a0,0]; %初始化变量 [t,x]=ode23('danbai',ts,tf,cond0); %调用ode23函数求解 g=9.8; l=25; w=sqrt(g/l); y=a0*cos(w*t); %近似解 [t,x(:,1),y] %输出t对应的数值解和近似解 subplot(1,2,2); stem(t,x(:,1),'ro'); title('数值解') subplot(1,2,1); hold on; stem(t,y, 'bp'); plot(t,y, 'b-'); title('近似解')用dsolve函数求解微分方程用dsolve函数求解微分方程MATLAB求解微分方程解析解的函数dsolve Symbolic solution of ordinary differential equations . Syntax~ r = dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v') 题例:p49-4.4.1/ex1,ex2 dsolve('Dy=1+y^2') dsolve('Dtheta=1+theta^2','theta(0)=1','xi') dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-(1/2)^2)*y=0','y(pi/2)=2','Dy(pi/2)=-2/pi','x') pretty(ans) 提示:一些需要注意的细节…用dsolve函数求解微分方程组用dsolve函数求解微分方程组MATLAB求解微分方程组解析解的函数dsolve 题例: p50-4.4.1/ex3,ex4 [f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g') [f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0','g(0)=1','x') 下面的指令有否区别? dsolve('Dy=x*sin(x)/cos(y)') dsolve('Dy=x*sin(x)/cos(y)','x') 提示: 用dsolve求解存在解析解的微分方程相当方便,在“只要结果,不求过程”的场合,节约了大量时间。练习:Malthus人口模型计算练习:Malthus人口模型计算Malthus认为单位时间内人口净增长率为常数:d=1790:10:1900; x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; t=(d-1790)/10; y=log(x); p=polyfit(t,y,1); y=poly2str(p,'t') r=p(1), a=p(2); x0=exp(a) plot(t,x,'r+'); hold on; t=min(t):0.01:max(t); x=x0*exp(r*t); plot(t,x,'b-');基于R-K算法的数值解函数ode基于R-K算法的数值解函数odeMATLAB求解微分方程数值解的函数ode Solve initial value problems for ordinary differential equations (ODEs).Syntax(ode23): [T,Y] = ode23(odefun,tspan,y0) [T,Y] = ode23(odefun,tspan,y0,options) 题例:p51-ex1解析法/数值法的局限...解析法/数值法的局限...解析法~能找到精确解固然好,但适应面太窄。 数值法~只能得到一些离散点处的近似值, 不能较好展示全局和趋势。 图像法~可能也只有图像法,才能避免上述缺陷 [ 方法概述 ]: 斜率场法是依据y'=f(x,y)得到平面上一些点的斜率值,然后过这些点引出自该点出发的短直线,通过观察趋势,了解解曲线的分布和性态。 题例:p45-ex1图解法-斜率场1图解法-斜率场1用斜率场法求解微分方程:y'=sinx siny syms x y; fun=sin(x)*sin(y); hx=16/40; hy=16/40; x0=-8;y0=-8; hold on for i=1:40 x=x0+(i-1)*hx; for j=1:40 y=y0+(j-1)*hy; k=eval(fun);图解法-斜率场2图解法-斜率场2if abs(hx*k)>hy plot([x,x+hy/k*2/3],[y,y+hy*2/3]) else plot([x,x+hx*2/3],[y,y+hx*k*2/3]) end end end title('dy/dx=sinx*siny'); xlabel('x'); ylabel('y'); 图解法-斜率场3图解法-斜率场3图解法-相平面轨迹1图解法-相平面轨迹1[ 方法概述 ]: 相平面轨迹法是依据不同的初值条件,先用数值解法求出各自对应的数值解(x(t),y(t)),最后用plot描点绘图,通过观察趋势,了解解曲线的分布和性态。 题例:p53-ex1 先用数值解法求出若干初值条件下的(x(t),y(t)) %tbp53.m function dequ=tbp53(t,x) dequ=[2*x(1)-1*x(1)*x(2);-1*x(2)+1*x(1)*x(2)];图解法-相平面轨迹2图解法-相平面轨迹2%loadtbp53.m hold on for i=1:7 tspan=0:0.01:5; cond0=[1,0.1+0.2*i]; [t,x]=ode45('tbp53',tspan,cond0); plot(x(:,1),x(:,2)) end axis([0 4 0 4]); xlabel('x'); ylabel('y');图解法-相平面轨迹3图解法-相平面轨迹3图解法-等值线1图解法-等值线1[ 方法概述 ]: 等值线隶属于相平面轨迹法,先求出通解(dsolve?),再针对通解中的常数,每一个常数定值都对应着一条等值线,用contour函数根据三维数据绘出等值线即可,通过观察趋势,了解解曲线的分布和性态。 题例:p55- [x,y]=meshgrid(0:.1:4, 0:.1:4); z=2*log(y)-y+log(x)-x; contour(x,y,z,20); xlabel('x');ylabel('y')图解法-等值线2图解法-等值线2欧拉方法介绍1欧拉方法介绍1数值解法求得的结果是一系列散点{xi,yi} 向前欧拉方法(Euler) 欧拉方法介绍2欧拉方法介绍2向前欧拉方法的几何解释-折线:改进欧拉方法介绍1改进欧拉方法介绍1向前欧拉公式:后退欧拉公式:改进欧拉公式:改进欧拉方法介绍2改进欧拉方法介绍2改进欧拉方法的几何解释-校正:oyxx0x1y0y2y1x2龙格-库塔方法介绍 龙格-库塔方法介绍 改进的euler方法比向前euler精度高的原因在于,它在确定平均斜率时,多取了一个点的斜率值。这启发我们,如果在[xi,xi+1]上多取几个点的斜率值,然后把它们加权平均,则有可能构造出精度更高的计算方法,这就是runge-kutta方法的基本思路。 事实上,R-K方法是计算常微分方程的最重要的方法之一。MATLAB专门提供了基于R-K方法的求解函数,它们是: ode23 ode45 ode113 ... 练习一:Malthus人口模型计算 练习二:通用化斜率场程序 That’s all~3Q! 练习一:Malthus人口模型计算 练习二:通用化斜率场程序 That’s all~3Q!
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分类:理学
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