高考数学解题技巧
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中选择题稳定在12道题，分值60分，占总分的40%.高考选择题注重多个
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的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向；使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本策略是四个字——准确、迅速. 准确是解答选择题的先决条件.选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分.所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确. 迅速是赢得时间获取高分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成低分的一大因素.对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完. 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.如特例法、筛选法、图解法等. 总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确
答案
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，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间. 1、直接法： 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 【例1】（1996年高考题）若sin x>cos x，则x的取值范围是 （A）{x|2k － ＜x＜2k ＋ ，k Z} （B） {x|2k ＋ ＜x＜2k ＋ ，k Z} （C） {x|k － ＜x＜k ＋ ，k Z} （D） {x|k ＋ ＜x＜k ＋ ，k Z} 【解】直接法：由sin x>cos x得cos x－sin x＜0， 即cos2x＜0，所以： ＋kπ＜2x＜ ＋kπ，选D. 【另解】数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|， 画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D. 【例2】（1996年高考题）设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于 （A） 0.5 （B） －0.5 （C） 1.5 （D） －1.5 【解】由f(x＋2)＝－f(x)得 f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数， 得 f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B. 通用规律：性质1 图像关于x=a对称 =》f(a+x)=f(a-x) =》f(x)=f(2a-x) =》f(-x)=f(2a+x) =》f(x+a)是偶函数 若f(x)是奇函数，图像周期为4a， 若f(x)是偶函数，图像周期为2a. 附加： 若f(a+x)=f(a-x), f(b+x)=f(b-x) 则f(x)图像周期为2|a－b|。 若 则f(x)图像周期为2a。 附例1：设a为常数，函数f(x)=x2-4x+3 ， 若f(x+a)为偶函数，则a=______ f(x)=x2-4x+3 f(x+a)=(x+a)2-4(x+a)+3 = x2+2ax+a2-4x-4a+3 = x2+(2a-4)x+a2-4a+3, 若f(x+a)为偶函数, 则x项的系数为0， 即2a-4=0, a=2 通用巧解法：因为对称轴方程为x=2, 所以a=2 附例2： 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象 关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 （2001年理工类第22题） 证明：∵f(x)关于x＝0和x＝1轴对称 ∴f(x)为周期函数且T＝2 附例3：2005年广东高考19题 设函数 ， ， 1）求f（x）的周期： 解：2（a-b）=10， 附例4： F(x)在（0，2）上是增函数，F(X+2)是偶函数， 则F(1),F(2.5),F(3.5)的大小关系是_______ Y=F(x+2)是偶函数 所以F(x+2)=F(-x+2) 则F（2.5）=F（0.5+2）=F（-0.5+2）=F（1.5）； F（3.5）=F（1.5+2）=F（-1.5+2）=F（0.5） 因为F（x）在（0，2）上是增函数 所以F（0.5）
b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e，则cos 等于（ ） A．e B．e2 C． D． 解:可用特殊方程来解.取方程为 － =1，易得离心率e= ，cos = ，故选C. ⑦特殊模型: 例14、若实数x，y满足 (x－2)2＋y2=3，则 最大值是（ ） A． B． C． D． 解：题中 = .联想数学模型:两点直线的斜率公式k= ，将问题看成圆(x－2)2＋y2=3上点与原点O连线斜率最大值，得D. 当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值(取得愈简单愈好)进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右. 【例9】(2003年高考题) 已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（ 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【解】考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0， 此时容易求出tan = ，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan ≠ ， 排除A、B、D，故选C. 【另解】直接法：注意入射角等于反射角，……，所以选C. 【例10】（1985年高考题）如果n是正偶数，则C ＋C ＋…＋C ＋C ＝ （A） 2 （B） 2 （C） 2 （D） (n－1)2 【解】用特值法：当n＝2时，代入得C ＋C ＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C ＋C ＋C ＝8，排除答案D.所以选B. 【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C ＋C ＋…＋C ＋C ＝2 ，选B. 【例11】（1996年高考题）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （A）130 （B）170 （C）210 （D）260 【解】用特例法：取m＝1，依题意 ＝30， ＋ ＝100，则 ＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故S3＝210，选（C）. 【例12】（2000年高考题）若 ，P= ，Q= ，R= ，则 （A）R P Q （B）P Q R （C）Q P R （D）P R Q 【解】取a＝100，b＝10，此时P＝ ，Q＝ ＝lg ， R＝lg55＝lg ，比较可知选P Q R 当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右. 例13: (2001年全国高考试题) 若 , , , 则( ) A. B． C． D． 解:令 , , 则 , ,显然 ,∴应选A. 简评:此题是采取特殊值的方法予以解答的,解法简单、快捷. 特例法适用于含有字母，且具有一般性的问题. 用特例法 解题要注意两点: (1) 所选取的特殊值或特殊点一定要简单, 且符合题设条件. (2) 有时因问题需要或选取数值或点不当可能 会出现两个或两个以上的选择项都正确,这时 应根据问题的题设再恰当地选取一个特殊值 或点进行检验,以达到选出正确选项的目的. 例14设 ，那么 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 例2：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn， 若Sn=2，S3n=14，则S4n等于（ ） （A）80 （B）30 （C）26 （D）16 解：取 则 又 即 ∴ 即 ∴ 解之得： （舍去）， 故所求为 故选B 3、筛选法: 也叫排除法、淘汰法，使用筛选法的前提是“答案唯一”.目前高考数学及平时的练习，选择题中的正确答案都是唯一的.使用筛选法的具体做法是：充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，采用简捷有效的手段(如取特殊值，找特殊点，选特殊位置等)，通过分析、推理、计算、判断，对各选择支进行筛选，排除假支，选出真支。 从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断. 选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围中找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％. 例1、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx＋cosx值域是( ) A.(1， ] B.(0， ] C.[ ， ] D.( ， ] 解:因x为三角形中的最小内角，故x∈(0， )， 由此可得y=sinx＋cosx>1，排除错误支B，C，D，应选A. 例2、 解： ， ， . 【例3】（1995年高考题）已知y＝log (2－ax)在[0，1]上是 x的减函数，则a的取值范围是 （A）(0，1) （B）(1，2) （C）(0，2) （D） [2，+∞ 【解】∵ 2－ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C； 若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以选B. 【例4】（1988年高考题）过抛物线y ＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是 （A） y ＝2x－1 （B） y ＝2x－2 （C） y ＝－2x＋1 （D） y ＝－2x＋2 【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B； 【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则 ，消y得： k x －2(k ＋2)x＋k ＝0，中点坐标有 ，消k得y ＝2x－2，选B. 筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％. 例2: 如图是周期为 的三角函数 的图象,那么 可以写成( ) y A. B． 0 1 x C． D． －1 解: 选图象上的特殊点(1,0)易排除A、B， 又 时， ，故排除C. ∴应选D. 简评: 本题是利用找特殊点的方法排除A、B、C的. 排除法一般适用于不易用直接法求解的问题.其主要特点是能较快地限制选择的范围,从而目标更加明确,这样就可以避免小题大做,小题错做. 认真而又全面的观察,深刻而又恰当的分析,是解好选择题的前提，用排除法解题尤其注意，否则就有可能将正确选项排除在外，导致错误. 【例6】（2003，北京）设集合A＝｛ ｝， ，则 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 【例7】如果不等式 的解集为 则实数a的取值范围是（ ） （A） （B）a为一切实数 （C） （D） 【例8】已知三个不等式： ① ，② ，③ ，要使满足①和②的所有x都满足③则实数m的取值范围是（ ） （A） （B）m＝9（C）m≤9 （D）01，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以选B. 4、代入法： 将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案. 将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案. 【例】（1997年高考题）函数y=sin( －2x)＋sin2x的最小正周期是 （A） （B） （C） 2 （D） 4 【解】代入法：f(x＋ )＝sin[ －2(x＋ )]＋sin[2(x＋ )]＝－f(x)，而 f(x＋π)＝sin[ －2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以应选B； 【另解】直接法：y＝ cos2x－ sin2x＋sin2x＝sin(2x＋ )，T＝π，选B. 【例】（1991年高考题）函数y＝sin（2x＋ ）的图象的一条对称轴的方程是 （A）x＝－ （B）x＝－ （C）x＝ （D）x＝ 【解】代入法：把选择支逐次代入，当x＝－ 时，y＝－1， 可见x＝－ 是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A. 【另解】直接法： ∵函数y＝sin（2x＋ ）的图象的对称轴方程为2x＋ ＝kπ＋ ，即 x＝ －π，当k＝1时，x＝－ ，选A. 代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题.若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度. 【例】 设全集I= ,A= , , 则a的值是 ( ) A. －4 B．2 C．－3或2 D．－4或2 解:将 代入,有I= , A= ,此时, . 将 代入,有I= , A= ,此时, . 综上可知应选D. 简评: 代入检验法,适用于选项中的数值较少、结论比较简单的情况. 有时一道题目可由多种方法解决. 例．（2007年安徽）若对任意x∈R,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 （A） <－1 （B）| |≤1 （C）| |<1 （D） ≥1 解： 化为 ，显然恒成立， 由此排除答案A、D 化为 ，也显然恒成立， 故排除C，所以选B； 5、图解法： 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上也叫数形结合法. 根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法. 数形结合法在解有关选择题时非常简便有效.不过运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如： 例1、函数y=|x2—1|＋1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）；答案为（C）。 数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右. 【例2】（2002年全国高考题）在 内，使 成立的 的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【解】图解法：在同一直角坐标系中分别作出y＝sinx与y＝cosx的图象，便可观察选C. 【另解】直接法：由 得sin（x－ ）＞0，即2 kπ＜x－ ＜2kπ＋π，取k＝0即知选C. 【例3】（1987年高考题）在圆x ＋y ＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是 （A）（ ， ） （B）( ，－ ) （C）(－ ， ) （D）(－ ，－ ) 【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x ＋y ＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A. 【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得. 【例4】（2003年全国高考题）设函数 ，若 ，则 的取值范围是 （A）（ ，1） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （0， ） （D）（ ， ） （1， ） 【解】图解法：在同一直角坐标系中，作出函数 的图象和直线 ，它们相交于（－1，1） 和（1，1）两点，由 ，得 或 . 严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴， 而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时 非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如： 【例7】（1987年高考题）在圆x ＋y ＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是（ ） （A）（ ， ） （B）( ，－ ) （C）(－ ， ) （D）(－ ，－ ) 【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x ＋y ＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A. 【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得. 【例8】（2003年全国高考题）设函数 ，若 ，则 的取值范围是 （ ） （A）（ ，1） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （0， ） （D）（ ， ） （1， ） 【例15】（2003年广州市“一模”试题）函数y=|x2—1|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）.答案选（C） 6、割补法 “能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度. 【例16】（2003年全国高考题）一个四面体的所有棱长都为 ， 四个项点在同一球面上，则此球的
表
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面积为 （A）3 （B）4 （C）3 （D）6 【解】如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中 心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为 ，所以正方体棱长为1， 从而外接球半径R＝ .故S球＝3 . 【直接法】（略） 【例17】某城市的中心广场有一个钟表雕塑，它是由一个 底面半径为2米的圆柱体，被一个不平行于底的面所截（如图 所示），钟表雕塑最高为10米，最低为5米，则这个钟表雕塑 的体积为 （A）15 （B）30 （C）45 （D）60 【解】补一个大小相同的几何体构成一个圆柱，则圆柱的底 半径为2，高为15，其体积为60 ，故雕塑的体积为30 ，选（B）. 我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”. 7、极限法: 从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程. 【例】对任意θ∈（0， ）都有 （A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ) （B） sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ) （C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ （D） sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ) 【解】当θ 0时，sin(sinθ) 0，cosθ 1， cos(cosθ) cos1，故排除A，B. 当θ 时，cos(sinθ) cos1，cosθ 0， 故排除C，因此选D. 【例】（1997年高考题）不等式组 的解集是 （A）（0，2） （B）（0，2.5） （C）（0， ） （D）（0，3） 【解】不等式的“极限”即方程， 则只需验证x=2，2.5， 和3哪个为 方程 的根，逐一代入，选C. 【例】：对于任意的锐角 ，下列不等关系式中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 解：当 ， 时 排除 当 ， 时 排除 选D. 8、估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次. 【例21】（1999年高考题）如图，在多面体ABCDEF中， 已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF ，EF 与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 （A） （B）5 （C）6 （D） 【解】由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2， ∴VF－ABCD＝ ·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D）. 【例22】（1994年高考题）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ） （A） π （B） π （C）4π （D） π 【解】∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝ ， 则S球＝4πR2≥4πr2＝ π＞5π，故选（D）. 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次. 例23、已知双曲线中心在原点且一焦点为 ，直线 与其交于M、N两点，MN中点横坐标为 ，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 解：设方程为 ，由点差法得 ，选D.注:不必解m、n. 九、特殊化方法： 在不影响结论的条件下，将题设条件特殊化，取满足条件的特殊数值、图形、图象，从而得到正确结论。 例9．(2005全国III)设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为 （ ） A． B． C． D． 解：设点 与点 重合，设点 与点 重合。易算得： 故选C 例10：（2007安徽）定义在R上的函数 既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 （A）0 （B）1 （C）3 （D）5 解：设满足条件的函数为： 则 而从 在 上可能有5个根。故选D 点拨：特殊化法利用满足已知条件特殊函数、特殊数列、特殊向量，特殊模型等。然后迅速排除干扰支，从而得出正确答案的数学方法。 三、总结提炼 从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”，“手段”都是无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速. 总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.
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