自由曲线与曲面建模

11 1曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 天津大学机械工程学院天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所产品设计与制造技术研究所 陈永亮陈永亮 CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模 2曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 典型机械零件 3曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 典型机构 4曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 圆柱齿轮 5曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 蜗轮蜗杆 6曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 锥齿轮 面齿轮 摆线锥齿轮弧齿锥齿轮 22 7曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM • 齿轮类零件 • 涡轮类零件 • 凸轮类零件 • 叶轮叶片类零件 离心压缩机叶轮 8曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 9曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 圆的参数方程 • 例1：圆 • 参数方程文件：Rel.ptd • /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 • /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z • /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 • /* 半径 = 50，参数方程将是: • db=100 • rb=db/2 • x = rb * cos ( t * 360 ) • y = rb* sin ( t * 360 ) • z = 0 10曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 渐开线的参数方程 • 例2：渐开线 • 1）采用直角坐标系 • db=100 • rb=db/2 • u =t* 45 • x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 • y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 • z=0 11曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 渐开线的参数方程 rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1] 12曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 渐开线的参数方程 db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0 33 13曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 外摆线 • 例3：外摆线 • 采用直角坐标系 • r1=100 • r2=50 • a=60 • u1 =t* 45 • u2=u1*r1/r2 • x=-a*sin(u1+u2)+(r1+r2)*sin(u1) • y=-a*cos(u1+u2)+(r1+r2)*cos(u1) • z=0 14曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 基于反求测 和Pro/e的混合网格曲面 建模过程 15曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 以马鞍形为例： • （马鞍型曲面z = ( - x4 + y4 -x2 - y2 - 2xy) /30来进行说 明。设定x = - 4 ∶015∶4; y = x） • 利用MATLAB得到公式曲面 数据。利用Matlab取得生 成曲面需要的数据,将结果 存储于. ibl中，利用ProE 边界混成曲面命令可以直接 从. ibl文件曲线，进而生成 曲面即可. 16曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM M文件 • clc • clear • [th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:. 05:1); %在极坐标系下设置一个 73×21的网格矩阵， • [X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿 坐标系% • Z=X+i.*Y; • F=abs((Z.^4-1).^(1/4)); • surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形 % 17曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAMPro/e数据格式 18曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 参考书 • Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解曹 岩主编 2007-4-7 • SolidWorks 2008曲面建模实例精解曹岩主编 2009-3-18 • UG NX4曲面建模实例精解北京立科公司编著 2007-6-6 • SolidWorks 2007曲面建模实例精解曹岩主编 2007-7-12 • SolidWorks 2005曲面建模实例精解曹岩, 陈桦主 编 • CATIA V5R15曲面建模实例精解曹岩主编 • Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解 曹岩主编 2008-7-15 44 19曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲 线曲面称为规则曲线曲面规则曲线曲面，常用隐函数或二次 方程的显函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。 但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品 设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲 线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（自由曲线（Free Free Form CurvesForm Curves））和自由曲面（自由曲面（Free Form Free Form SurfacesSurfaces），），这是计算机辅助几何设计计算机辅助几何设计 （（CAGDCAGD））研究的主要几何形状。 举例：汽车车身、飞机机身、模具型面 20曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 汽车车身三维曲面模型 21曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM大众汽车 VW Golf IV (3+5 door, station wagon, convertible, and Minivan) VW Bora (Bora sedan, coupe, convertible, and station wagon) VW Beetle (New Beetle, New Beetle convertible) Skoda Octavia (Octavia sedan, and station wagon) Audi A3 (3+ 5-door) Audi TT coupe Audi TT roadster Seat Toledo Successor (Toledo, coupe, station wagon, and convertible) Development Car Division Source: • VW plans for 19 vehicles based on A-platform • VW estimates development and investment cost savings of $1.5 billion/yr using platforms 22曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 波音飞机 23曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 空中客车四个飞机系列： • 单通道A320系列飞机 (A318/A319/A320/A321) • 宽体A300/A310系列飞机 • 远程A330/340系列飞机 • A380双层超大型客机 Airbus（空客）飞机 www.airbus.com 24曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 模具型面 上模 压边圈 下模 ＋ ＋ ＋ 模具主模块 55 25曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 思 考 题 •• 1 1 其它需要采用复杂曲面的产其它需要采用复杂曲面的产 品有哪些品有哪些,,请举例说明请举例说明?? •• 2 2 如何构造这些复杂曲面如何构造这些复杂曲面?? 26曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 工程设计中常遇到具有复杂形体的产品，如 汽车外壳、飞机的机身、电话机等，这些产 品由复合曲面构成，其曲面生成的过程曲面生成的过程是： 首先确定一系列的离散点离散点，再由一组点来生 成一条曲线曲线或一个曲面曲面，通过多条曲线或多 个曲面之间的光滑连接光滑连接，构造达到 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的复 杂形状。 构造曲面的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 构造曲面的方法：首先通过一系列离散 点确定一组曲线（称为控制曲线控制曲线），再由这 些曲线构造要求的曲面。 27曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 第4章自由曲线与自由曲面建模 4.1 自由曲线 4.2 自由曲面 28曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.1 自由曲线 4.1.1 曲线曲面描述的基本原理 4.1.2 Hermite曲线 4.1.3 Bezier曲线 4.1.4 B样条曲线 4.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线 29曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.1.1 曲线曲面描述的基本原理 自由曲线自由曲线可以是由一系列的小曲线段小曲线段连接而成，自自 由曲面由曲面可以是由无数个小的曲面片曲面片拼合而成。因此，曲 线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述曲线段或曲面片的描述及其连接拼连接拼 合方法合方法。 1. 几何设计的基本概念 在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点： （1）特征点特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的 形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。 （2）型值点型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状 并且经过该点。 30曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特 征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满 足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼 近。 （1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函 数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要 求。 （2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个 函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些 点。 （3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线 或曲面具有至少一阶连续导数。 （4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相 关。但仍有一些客观标准及处理方法。 66 31曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 曲线曲面可以用隐函数隐函数、显函数显函数或参数方程参数方程表示。用隐函 数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示 存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问 题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲 面。 自由曲线曲面自由曲线曲面多用参数方程参数方程表示，相应地称为参数曲线参数曲线或 参数曲面参数曲面。 空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹轨迹， 其矢量函数为： P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1] 同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为： P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1] 2. 曲线曲面的数学描述方法 32曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 曲线和曲面的参数表示 在解析几何中，空间曲线上一点P的每个 坐标被表示成参数化u的函数： 同样在三维空间内一张任意曲面可用带参 数u、v的参数方程表示为： 33曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 如下图所示，曲面有两族参数曲线r (u,vj)和r (ui,v)，通常简称u线和v线，u线 与v线的交点是r(ui,vj)。 34曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 用参数表示曲线曲面的优点： （1）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换 而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标 系的选取无关。 （2）可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) （3) 参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化 对各因变量的影响可以明显地表示出来。 （4）可以处理多值曲线。 （5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。由 于参数限制在0到1的闭区间之内，因而所表示的曲线总 是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。 （6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次 曲线的显式表示为： 35曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM dcxbxaxy +++= 23 dctbtatx +++= 23 hgtftety +++= 23 （7）易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计 算。 其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示 为： 其中有8个系数可用来控制曲线的形状。 36曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.1.2 Hermite曲线 Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以 及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一 条三次参数曲线可以表示为： 3 3 2 333 3 2 2 222 3 1 2 111 tdtctbaz tdtctbay tdtctbax +++= +++= +++= 该曲线的矢量表达式为： 32)( tttt 3210 kkkkpp +++== 应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’, 可得： 77 37曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 103 102 01 00 ppppk ppppk pk pk ′+′+−= ′−′−−= ′= = )(2 2)(3 01 01 ( ) ( )32323232 )2(23)231()( tttttttttt +−′++−′+−++−== 1010 pppppp [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ′ ′⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−== 1 0 1 0 p p p p pp 1122 1233 0100 0001 1)( 32 tttt 矩阵表达式为： 于是， 38曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.1.3 Bezier曲线 1962年，Bezier提出了一种自由曲线曲面的设 计方法，称为Bezier方法。其具体设计过程 是： 从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工 具绘出曲线图，然后从这张图上大致定出 Bezier特征多边形各控制顶点的坐标值，并输 入计算机进行交互的几何设计，调整特征多 边形顶点的位置，直到得出满意的结果为 止；最后用绘图机绘出曲线样图。 39曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 1. 下图所示为三次Bezier曲线的形成原理，这是 由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。 Bezier曲线概述 40曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM Bezier曲线的一般数学表达式为： 式中Qi各顶点的位置矢量， 为Bernstein基函数， 并有 41曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 当n=3时，上式变为三次Bezier曲线： 写成矩阵形式则为： 42曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM Bezier曲面概述 88 43曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 1. Bezier曲线定义 在空间给定n+1个控制顶点Pi(I=0,1,…,n)，称下列参 数曲线为n次Bezier曲线。 )10()()( 0 , ≤≤=∑= ttBPtP n i nii ( ) ( ) ( )1t0 1, ≤≤−= − iininni ttCtB ( )!! ! ini nC in −= ( )tB ni , 称为伯恩斯坦基函数（Bernstein Basis）。 一般称折线 nPPP L10 为P(t)的控制多边形；称 nPPP ,,, 10 L 各点为P(t)的控制顶点。 44曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM （1）三次Bezier曲线 常用的三次Bezier曲线，由4个控制顶点确定。容易算 出，与其对应的4个Bernstein基函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33,323,2 2 3,1 3 3,0 13 13 1 ttBtttB tttBttB =−= −=−= 相应的Bezier 曲线为 ( ) ( ) ( ) ( ) 33221203 13131 PtPttPttPttP +−+−+−= ( ) [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 3 2 1 0 23 0001 0033 0363 1331 1 t t P P P P ttP 45曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM （2）二次Bezier曲线 二次Bezier曲线由三个控制顶点确定，此时，相应 的曲线表达式为 ( ) ( ) ( ) 22102 121 PtPttPttP +−+−= 对应于一条抛物线。 （3）一次Bezier曲线 一次Bezier曲线由两个控制顶点确定，此时，相 应的曲线表达式为 ( ) ( ) 101 t ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt tP +−= 这是一条连接P0和P1的直线段。 46曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 2. Bezier曲线的程序设计 实际应用的主要是三次Bezier曲线。利用它的参数 表达式在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出 这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到 一条Bezier曲线。 为程序设计方便，改写曲线的表达式为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ +−+−+−= +−+−+−= 3 3 2 2 1 2 0 3 3 3 2 2 1 2 0 3 13131 13131 ytyttyttytty xtxttxttxttx 47曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +−+−= +−= +−= = 32103 2102 101 00 33 363 33 xxxxA xxxA xxA xA ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +−+−= +−= +−= = 32103 2102 101 00 33 363 33 yyyyB yyyB yyB yB ( ) ( ) 1t0 332210 3 3 2 210 ≤≤ ⎩⎨ ⎧ +++= +++= tBtBtBBty tAtAtAAtx 注意：再添加一个z 坐标，就可得到空间Bezier曲 线。 48曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 3. Bezier曲线的性质 在Bernstein基函数 ( ) ( ) ( )1t0 1, ≤≤−= − iininni ttCtB 中， n为基本曲线的次数， i为基函数的序号。由排列组 合和导数运算规律可以推导出Bernstein基函数的如下性 质： （1）正性（非负性）： ( ) 0, ≥tB ni （2）权性： ( )∑ = = n i ni tB 0 , 1 （3）对称性： ( ) ( )tBtB ninni −= − 1,, （4）导数性质： ( ) ( ) ( )( )1' 1,1,1, −−= −−− tBtBntB ninini （5）递推性质： ( ) ( ) ( ) ( )tBtBttB ninini 1,11,, 1 −−− +−= 10 ≤≤ t 99 49曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM Bezier曲线的一些性质： 1）端点性质 i 曲线经过特征多边形的首末点。因为 ( ) ( ) 1 ,0 0 nPPPP == i 曲线P(t)在P0点与边P0P1相切，在Pn点与 ( ) ( ) ( ) ( )101 1 ,0 −−=′−=′ nn PPnPPPnP 2）对称性 由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的次序完 全颠倒过来后，曲线的形状不变，但走向相反。这 表明,同一特征多边形定义的Bezier曲线是惟一的. nn PP 1− 相切。因为 50曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM （3）凸包性 所以，P(t)是P0,P1,…,Pn凸线性组合。这证明Bezier曲线 完全被包在其特征多边形的凸包内。 ( )⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =≤≤≡∑ ∑ = = n i n i iiii nir 0 0 ,,1,010,1| Lλλλ 所以，控制顶点P0,P1,…,Pn的凸包为: ( )⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑ ∑ =≤≤≡= = n i n i iiii niP 0 0 ,,1,010,1| Lλλλ 51曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM （5）交互能力 （4）几何不变性 由给定控制顶点所确定的Bezier曲线的形状与坐标 系的选取无关。此性质就是Bezier曲线的几何不变 性。 几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。 在计算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表 示式在不同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形 变换带来很多不便之处。 控制多边形P0P1…Pn大致地勾画出Bezier曲线P(t) 的形状。要改变P(t)的形状，只要改变P0,P1,…,Pn 的位置即可。 52曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM （6）变差减小性 （7）保凸性 如果Bezier曲线P(t)的控制多边形P0P1…Pn是一平面 图形，则该平面内的任意直线与P(t)的交点个数不 多于该直线与控制多边形P0P1…Pn交点的个数，这 一性质称为变差减小性。此性质说明Bezier曲线比 控制多边形所在的折线更光顺。 如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为 凸曲线，则称这个曲线生成的方法具有保凸性。 我们将控制多边形的终点与起点连起来，如果这样 形成一个闭的凸多边形，则相应的Bezier曲线是一 个凸的平面曲线。此性质就是Bezier 曲线的保凸 性。 53曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4. Bezier曲线的拼接与反算 Bezier曲线的次数是由其控制顶点确定的。常用的三次 Bezier曲线由四个控制顶点确定。 多控制点(n>4)的三次Bezier曲线存在着几条曲线的拼接 问题，其关键问题是如何保持拼接处的连续性。不同的 问题在连接点处对连续性有不同的要求，常用到的有以 下几种： 1C 2C 连续 参数连续: 切矢同向且模长相等. 几何连续:切矢同向. 1) 拼接 54曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM P1 P0 P3=Q0 Q2 Q1 P2 Q3 设P(t)是Pi(i=0,1,2,3)确 定的三次Bezier曲线; Q(t)是Qi(i=0,1,2,3)确定 的三次Bezier曲线. P3=Q0,满足 1) 两曲线在连接点达到一阶导数连续的条件为 0<=t<=1 ( ) ( )01 QP ′=′ 即 0132 QQPP −=− 亦即,P2、P3(Q0)和Q1共线，且P2、 Q1在P3的异侧。 1010 55曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM2）两曲线在连接点达到二阶导数连续的条件为 ( ) ( )01 QP ′′=′′( ) ( )01 QP ′=′ 由 ( ) )(61 123 PPPP +−=′′ ( ) )(60 012 QQQQ +−=′′ ( )2112 2 PQPQ −=−可得 根据以上条件，可以调整P(t)和Q(t)这两段曲线，使得在 连接点处达到一阶几何或导数连续： 步骤1：平移多边形 3210 QQQQ 使Q0与P3重 合。 步骤2：围绕Q0转动多边形 3210 QQQQ 使 32PP 10QQ与 平行且同向（或模长相 等） P1 P0 P3=Q0 Q2 Q1 P2 Q3 56曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 所谓曲线控制顶点的反算是指由曲线上的一系列点（称 之为型值点）反求出该曲线的一系列控制顶点的过程。 如果给定 n+1个型值点 nQQQ ,,, 10 L ,要求一系列控 制点，由这些控制点定义的一条Bezier曲线通过已知 的型值点，这与平常给定控制点求型值点的过程恰好 相反。 设所求的控制点为 nPPP ,,, 10 L ，它定义的Bezier 曲线为P(t), 满足 ( ) iQniP =/ ，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )niPniCPniniCPniCQ nnnnnnnni ,,2,1,0//1/1/1 11100 LL =++−−+−= − 注意：t的取法不同，反求的控制顶点不同。 2) 反算 57曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.1.4 B样条曲线 Bezier曲线是通过逼近特征多边形而获得曲线 的，存在的不足是： 1）缺乏局部修改性, 即改变某一控制点对整个 曲线都有影响. 2）n较大时，特征多边形的边数较多,对曲线 的控制减弱。 1972年，Riesenfeld等提出了B样条曲线。 i用B样条基函数代替Bernstein基函数； i逼近特征多边形的精度更高. i多边形的边数与基函数的次数无关。 i具有局部修改性. 58曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM B样条曲线 1．B样条曲线采用特征多边形及权函数定义曲 线，权函数是B样条基函数，便于局部修改。B样 条基函数定义为： 式中i是基函数的序号， ； n是样条 次数，j表示一个基函数是由哪几项相加。 B样条曲线概述 59曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 三次均匀B样条曲线的矩阵表达式为： 60曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 2．同理B样条曲面也可视为由B样条曲线网格绘制 而成的。通用B样条曲面方程为： 双三次B样条曲面方程为： B样条曲面概述 1111 61曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM cM 3. B样条曲线、曲面的优点 具有局部可修改性和很强的凸包性，较成功地解决 了自由型曲线、曲面的描述问题。 62曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学 表达式为: ( ) ∑= = n i iki PtNtP 0 , )( 式中Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数.它由一个结点 向量递归定义,它仅在某个局部不等于零,因而使B样条 曲线具有局部可修改性. B样条曲线定义 63曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 三次均匀B样条曲线 对于n+1个控制顶点 nPPP ,,, 10 L ，每四个顺序点 1. 三次均匀B样条曲线的表达式 321 +++ iiii PPPP 一组构造相应的一段三次B样条曲 线：( ) ( ) ( ) ( ) ( )tNPtNPtNPtNPtP iiiii 4,334,224,114,0 +++ +++= 3,,2,1,0 −= ni L10 ≤≤ t 其中 N0,4(t)=1/6(1-t)3 , N1,4(t)=1/6(3t3-6t2+4), N2,4(t)=1/6(-3t3+3t2+3t+1), N3,4(t)=1/6t3 ( )tNP j j ji 4, 3 0 ∑= = + 64曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 所以，Pi(t)的矩阵表达式为 ( ) [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −= + + + 3 2 132 1331 0363 0303 0141 1 6 1 i i i i P P P P ttttiP 10 ≤≤ t 根据上式可以在平面直角坐标系中设计三次B样条曲线生 成的程序. 65曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM i iPi(0) Pi+3 Pi+2 Pi+1 Pi P’i(0) P’i(1)( )0 iP ′′ ( )1 iP ′′ Pi(1) 2. 三次均匀B样条曲线段的几何特性、拼接 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −+−+= ++= −+−+= ++= +++++ +++ ++++ ++ 23212 321 1211 21 6 1 4 6 11 6 1 4 6 10 iiiii iiii iiiii iiii PPPPP PPPP PPPPP PPPP ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=′ −=′ ++ + 13 2 2 11 2 10 iii iii PPP PPP ( ) ( )⎩⎨ ⎧ +−=′′ +−=′′ +++ ++ 321 21 21 20 iiii iiii PPPP PPPP 66曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 3. 三次均匀B样条曲线的边界控制与反算 P0 Pn-1P1 P-1 Pn Pn+1 在始端和终端各 增加一个顶点 P-1 和 Pn+1 , 使 P-1 P0 =P0 P1 Pn-1Pn=PnPn+1 则P0(0)=P0, P0’ =P1-P0. 终点具有类似的特性. •边界处理 在实际应用中,往往需要所设计的B样条曲线通过控制 多边形的起点和终点,这就需要对曲线的边界进行处 理.有多种处理方法,现介绍一种: 1212 67曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 2) 控制顶点的反求 在实际应用中往往是知道曲线上的型值点,而并不知道 特征多边形顶点的位置,为构造B样条曲线,就需要由这 些型值点反求出特征多边形的顶点,这就是B样条曲线 顶点的反求. 设已知型值点列Qi(i=1,2,…,n-1), 要求一条三 次B样条曲线经过这些点,求出这条曲线的控制 顶点Pi(i=0,1,…,n). 由曲线的端点性质可得下列线性方程组: Pi-1+4Pi+Pi+1=6Qi (i=1,2,…,n-1) 再补充两个边界条件就可得到唯一解. 例如,已 知Q1和Qi-1处的切矢,则有 68曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 12102 2,2 −− ′=−′=− nnn QPPQPP 把它们写成矩阵形式为 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − −− 1 1 2 1 1 1 2 1 0 2 6 6 6 2 101 141 141 141 101 n n n n Q Q Q Q Q P P P P P MMO 69曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线 它提供了解析曲线(如圆锥曲线)和自由曲线统一的数 学描述,便于工程数据库的管理和应用. NURBSNURBS曲线的定义曲线的定义: 给定n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)及 其权因子Wi (i=0,1,…,n),则k阶(k-1次)NURBS曲线的 表达式为: ( ) ( )∑∑= == n i iki n i iiki WtNPWtNtP 0 , 0 , /)( 缺点:计算量大、当权因子为零和负值时容易引起 计算的不稳定，导致曲线畸变，因此使用NURBS 时应有适当的限制以保证算法的稳定性。 70曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 非均匀有理B样条（NURBS）曲线和曲面 NURBS曲线提供了对标准解析几何和自由曲线、 曲面的统一数学描述方法，它可通过调整控制顶点和权 因子，方便地改变曲面形状，同时也可方便地转换成对 应Bezier曲面。 1. 给定n+1个控制点 及权因 子 ，则k阶（k-1）次NURBS曲线的表达式 为： 71曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 其中 为非均匀有理B样条基函数， 按照deBoor-Cox公式递推地定义： 72曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 2．给定一张（m+1）（n+1）的网络控制 点 ，以及各网络控制点 的权值 ， NURBS曲面的表达式为： 式中 和 分别为NURBS曲面u和v参数 方向的B样条基函数；k，l为B样条基函数的阶次。 1313 73曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.2 自由曲面 6.2.1 参数曲面的概念 6.2.2 双三次曲面片的数学表示 6.2.3 曲面的反算、拼接和互化 6.2.4 新的自由曲面造型技术 74曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.2.1 参数曲面的概念 P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w)] 0<=u,w<=1 0 1 1 u w (u,w) )0 ,0(P )1 ,0(P )0 ,1(P )1 ,1(P) ,( wuP )0 ,(uP )1 ,(uP) ,0( wP ) ,1( wP 75曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM u和w向切矢： ( ) ( ) ( ) ( ) w wuPwuP u wuPwuP w u ∂ ∂= ∂ ∂= ,, ,, 四个角点的u向和w向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1). 混合偏导矢（扭矢）： ( ) ( ) wu wuPwuPuw ∂∂ ∂= ,, 2 四个角点的扭矢为： Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1) 76曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.2.2 三次曲面的数学表示 双三次曲面片的代数形式为 其矩阵表达式为 其中， 构造双三次曲面片的的关键是确定矩阵方程中的系数矩 阵。 77曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 1. 孔斯（Coons）曲面 由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处 的混合偏导矢（扭矢）确定曲面。 78曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAMCoons曲面的特点： 属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且 曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型值 点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为： i 在曲面设计的初级阶段，设计者对其所设计产品的外 形仅有一个非常粗略的概念。为得到满意的外形，需 要不断地修改型值点的位置。上述方法对位置尚未最 后确定的型值点构造插值曲面，显然是不合理的。 i 由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把 握，因此难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不 易控制。 i 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲 面的形状，而其形状变化又难以预测。 1414 79曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM2. Bezier曲面 用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造 Bezier曲面。 31V21V20V 13V 12V 11V 10V 00V 02V 03V 01V 23V 33V 32V 31V 双三次Bezier曲面片 可以认为控制网格是曲面P(u,w)大致形状的勾画； P(u,w)是对控制网格的逼近。 ( ) ( ) ( ) [ ]1,0, , 3 0 3 0 ,3,3, ∈=∑∑ = = wuVwBuBwuP i j ijji 80曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM Bezier曲面的特点： Bezier曲面是以逼近为基础的曲面设计方法。它 先通过控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然 后通过修改控制顶点的位置修改曲面的形状。这 种构造方法比较直观，易于为工程设计人员所接 受，因而获得了广泛的应用。 这种方法不具有局部性，即修改任意一个控制顶 点都会影响整张曲面的形状。 81曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 3. B样条曲面 用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造曲面 双三次均匀B样条曲面 片 注意:Ni,3(t)为3次均匀B样条基函数. 82曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 特点： B样条曲面构造方法是Bezier曲面方法的推广，它 用B样条基函数代替Bezier方法中的Bernstein基函 数来反映控制顶点对曲面形状的影响。它在保留 了Bezier曲面设计方法几乎所有优点的同时，解 决了Bezier曲面设计中存在的局部性修改问题。 83曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.非均匀有理B样条曲面（NURBS） 给定一张(m+1)x(n+1)的网格控制点 Pij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n),以及各控制网格点的权值Wij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n)，则其确定的NURBS曲面的表达式为： ( ) ∑∑ ∑∑ = = = == m i n j ijkjki m i n j ijijkjki WwNuN PWwNuN wuP 0 0 ,, 0 0 ,, )()( )()( , 优点：规则曲面与自由曲面精确的统一的数学表示。 有多种方式定义曲面，但构造这些曲面的数学基础以 及在造型系统中存储它们的方法是相同的。 NURBS 方法已成为众多CAD/CAM系统的基本几何表达式和 数据交换标准。 84曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.2.3 曲面的反算、拼接和互化 1. 反算 1）实际应用背景 2）反算算法 第1步：将一个参数方向上的型值点（如u方向）依次 按曲线反算方法反算出一系列点； 第2步：沿另一个参数方向（如w方向），将第一次反 算得到的点再按曲线反算方法反算出另一系列点，第 二次反算得到的点即为曲面的控制点。 1515 85曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 2. 拼接 以双三次自由曲面为例，相邻两片曲面光滑拼接的条件 为： 1）对Coons曲面：两张双三次Coons曲面片共边界且在相 邻两角点处的坐标、u向切矢、w向切矢、扭矢分别相 等。 2）对Bezier曲面：两张双三次Bezier曲面片在相邻边界的 相邻的控制网格共边且在同一平面上。 3）对B样条曲面：由于每4x4即16个控制点定义一片双三 次曲面，如果定义B样条曲面的控制顶点矩阵有M行N列 （M>=4,N>=4），则可以定义(M-3)(N-3)个曲面片。只要 4x4的子矩阵在控制顶点矩阵中是依次向右或依次向下移 动的，就能自动保证左右相邻的曲面或上下相邻的曲面片 二阶连续。 86曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 3. 互化 双三次Coons曲面、双三次Bezier曲面 和双三次B样条曲面之间可以相互转 化。 87曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 4.2.4 新的自由曲面造型技术 1. 发展现状与存在的问题 n四边域曲面的构造比较成熟。目前，主要是 基于四边域的CAD/CAM系统。 n采用NURBS方法作为基本几何表达形式和数 据交换标准 n N（N大于等于3但不等于4）边域曲面的造型 、曲面求交、光顺等问题尚未根本解决。 88曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 2. 一些新的造型方法 基于物理的造型 偏微分方程（PDE）造型 小波造型 参考资料： 朱心雄等著 “自由曲线曲面造型技术”，科学出版社，2000 89曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 习题4 4-1 说明自由曲线的插值与逼近两种方法的区 别. 4-2 用参数曲线描述曲线的特点是什么? 4-3 比较三次B样条曲线与三次Bezier曲线的特 性。 4-4 试确定通过P0(-1,0), P1(0,1),P2(1,0)这三个 型值点的平面上的三次样条曲线. 4-5 说明Coons曲面、Bezier曲面和B样条曲面 的表示方法及其优缺点。 90曲线曲面曲线曲面 CAD/CAMCAD/CAM 选做题 6-1 推导三次Bezier曲线的反求公式并写出矩阵表现形式, 讨论反求公式是否唯一. 6-2 编制三次Bezier曲线生成与绘图程序. 6-3 绘制三次B样条基函数的曲线并与Bezier曲线基函数 的图形比较. 上机实践题： 编程实现由n个控制顶点定义的三次均匀B样 条曲线的程序。 注意: 最好考虑边界控制的情况.