∈ N3 .
若无质疑追问, 也许不会发现问题. 正是
数学的求真精神, 纠正了一道流传好多年的
错题. 在此过程中, 也使学生深受感染, 无疑
地, 也培养了学生的科学态度和创新精神.
514 检验索真
例 4 经过点 P (1, 1) , 是否存在直线 l,
使得 l 与双曲线 x 2 - y
2
3 = 1 相交所得弦的中
点恰好为 P 点?如果存在, 求出直线 l 的方程:
如果不存在, 说明理由.
解 (点差法) 设直线 l 与双曲线交于
A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) , 则
x
2
1 -
y 21
3 = 1
x
2
2 -
y 22
3 = 1
(1)
(2)
(1) - (2) 得 x 21 - x 22 = 13 (y
2
1 - y 22) ,
即 (x 1 + x 2) (x 1 - x 2) = 13 (y 1 + y 2) (y 1 - y 2).
由题意知, l 不可能与 x 轴垂直, 故可设直线 l
的斜率为 k , 则 k = y 1 - y 2
x 1 - x 2
= 3, 因此所求直
线 l 的方程为 y = 3x - 2.
可靠吗?真实吗?检验是个手段, 将 y =
3x - 2 代入双曲线方程 x 2 - y
2
3 = 1 得 6x
2
-
12x + 7 = 0, 但 ∃ = 122 - 4 × 6 × 7 = - 24
< 0, 表明所求直线 l 与双曲线无公共点.
因此, 满足条件的直线 l 是不存在的.
所得的结果有待检验后方为可靠, 其原
因是点差法在运用时存在缺陷.
以上的教学环节和教学
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
, 在教学实
践中, 教师要有意识地渗透和培养, 旨在引导
学生从中得到感悟, 体会数学求真, 孕育求真
精神. 只要坚持这么做, 必将会给学生以良好
的有效的熏陶, 使数学求真精神在学生体内
打上深深烙印.
陶行知先生说过“千教万教教人求真, 千
学万学学做真人”. 在进一步深化素质教育,
推进课程改革的时代背景下, 我们应着眼于
学生的发展, 着眼于学生全面数学素养的提
升, 植根于具体的数学教育实践, 积极探索,
耕耘奉献. 笔者愿与同行用陶先生之语共勉.
(收稿日期: 20060308)
一个奥林匹克问题的简证
330047 江西省南昌大学附中 宋 庆 黄伟民
题 已知 x、y、z ∈R+ , x + y + z = 1.
求证:
( 1
x
2 - x ) ( 1y 2 - y ) (
1
z 2
- z ) ≥ (263 )
3
.
《中等数学》2006 年第 4 期P48～ 49 上刊
登的解答较繁冗. 下面, 笔者给出一种贴近中
学数学教学的简洁证明.
证明 因 1 - x = y + z ≥ 2 y z ,
1 + x + 1
x
= 1 + x + 19x +
8
9x
≥ 1 + 2 x9x +
8
9x =
1
3 (5 +
8
3x ) ,
对 1 + y + 1y , 1 + z +
1
z
有类似结论.
故 ( 1
x
2 - x ) ( 1y 2 - y ) (
1
z 2
- z )
=
(1 - x ) (1 - y ) (1 - z )
x y z
(1 + x + 1
x
) õ
(1 + y + 1y ) õ (1 + z + 1z )
≥ ( 23 )
3 (5 + 83x ) (5 +
8
3y ) (5 +
8
3z )
= ( 23 )
3 [53 + 5
2 õ 8
3 (
1
x
+
1
y +
1
z
) +
5õ 82
32 (
1
y z +
1
z x
+
1
x y
) + 8
3
33x y z ]
≥ ( 23 )
3 [53 + 5
2 õ 8
3
x y z
+
5õ 82
3 3 (x y z ) 2
+
83
33x y z ]
= ( 23 )
3 (5 + 8
3 3 x y z
) 3
≥ ( 23 )
3 (5 + 8
x + y + z
) 3 = (263 )
3
,
所以, 原不等式成立.
(收稿日期: 20060425)
52006 年第6 期 中学数学
浙公网安备 33021202002483