数学通讯 一 2009年第 3期(下半月) ·课外园地·
一 道亚太地区赛题的推广
宋 庆
(江西省南昌大学附中，330047)
2004年亚太地区数学奥林匹克试题 5为：
证明对任意正实数 n，b，C，均有
(口 +2)(b2+2)(C2+2)j>9(bc+c口+ab)．
推而广之，笔者得到
定理 对任意非负实数 a，6，C，A，均有
(口 十 +1)(6 + +1)(C2十 +1)
≥ (^ +2) (6[-+ca．+ab+A一1)．
证 因a—l，b—l，C一1中必有两个非负或非
正，故不妨设(b～1)(c—1)>1o，于是，
2abc+口 +6 +c2+1—2(昆+c +ab)
= (a一1) +(b一1) +(C一1)
+2(a一1)(b一1)(C一1)
≥(口～1) 十2(b～1)(f一1)
十2(Ⅱ一1)(b一1)(c—1)
= (a～1) +2口(b一1)(C一1)≥0，
进而可得
(a2+ +1)(b + +1)(c2+ +1)
一 (A+2) ( 十Ca．+ab+A一1)
= (。 +b +c 一bc—Ca—ab) 2十[b2C2+C2Q2+
n 6 十2(。 +b +c2)一4( 十ca+ )+3] +
a2b c2+bZc2+c2a2+丑Zb2+口2+bz十c2—4(bc
+ca+ab)+5
= ÷[(b—c) 十(c一口) +(口～6) ] 十[(bc一1)
+(∞一1)2+( 6一1) +(b～f) +( 一Ⅱ) +(n
～ 6)。] 十(abc一1)。+( 一1) +(础 一1) +( b
一 1) +[2abc十口2+b2十f +1—2( 十 +
)]
>／o．
因此，定理成立．
推论 对任意非负实数n，b，C，均有
(a +1)(b +1)(c2+1)≥4(bc+cln十ab一1)．
参考文献：
[1] 宋庆．一道亚太地区赛题的加强与推广之简
证．数学通讯，2008(11)．
[2] 杨志明．“一道竞赛题的加强与推广”的简证。
数学通讯，2008(17)．
(收稿日期：2008一l0～14)
则 (alb1)”=(C—d) =( c 一C 一 d+⋯+
c2(一d) ，
(Ⅱ2b2)”=(c+d) =c +c ”一 d+⋯ +
，
(Ⅱlb1) +(a2b2) ：2(c ”十C c 一 d +
~Cn-4d +．_‘)≥ ，
当且仅当 c： ，d=0即 nl：口2 61 62
上2时，(nl61)”十(a262) = ，故 (a】61)”+
(n 6 ) 的最小值为 ，，( ： ．
(2)易得g( )=号(卜 )，
If(卅 圳 =2一弩+弩4”，
当且仅当2- ：0，即 ：3时，数列{[，( )
+ ( )]·4”}为等比数列，它的首项为 8，公比为
4．
考查目标 主要考查二项式定理，等 比数列的
通项公式以及求和等基础知识，还考查不等式的放
缩，应用所学知识推理运算的能力．
设计思路 本题根据 2008年
高考
地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
江西卷一选
择题改编而成，原题为：若 0
本文档为【一道亚太地区赛题的推广】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483