一道数学奥林匹克试题的巧解

一道数学奥林匹克试题的巧解一道数学奥林匹克试题的巧解 330047　南昌大学附属中学　宋　庆　　《中等数学》2006年第 9期数学奥林匹克初中训练题 ( 91)的压轴题为 : 已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0,且 - b2a≠1 (不然 , a - b = 3a > 0) ,从而 , a + b + c > 0. 令 t = a + b + c b - a ,则 t > 0,且有 a (1 + t) + b ( 1 - t) + c = 0, 由已知 ,有 a (1 -...

一道数学奥林匹克试题的巧解 330047　南昌大学附属中学　宋　庆　　《中等数学》2006年第 9期数学奥林匹克初中训练题 ( 91)的压轴题为 : 已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a < b)的图像恒不在 x 轴下方 ,且 m < a + b + c b - a 恒成立.求 m的取值范围. 本文给出一种十分简单的解法 ,较原解更贴近初中数学教学实际. 解　易知 a > 0,且 - b2a≠1 (不然 , a - b = 3a > 0) ,从而 , a + b + c > 0. 令 t = a + b + c b - a ,则 t > 0,且有 a (1 + t) + b ( 1 - t) + c = 0, 由已知 ,有 a (1 - t) 2 + b ( 1 - t) + c≥0, 所以 , a ( 1 - t) 2 - a ( 1 + t) ≥0, 即 t ( t - 3) ≥0, 因此 , t≥3 (当且仅当 - b2a = 1 - 3即 b = 4a时取等号 ) . 于是 , ( a + b + c b - a ) m in = 3. 所以 , m < 3. (收稿时间 : 20080509) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　讨论 ———感受数学思想方法 ( 1)求“比值”时 ,我们常取 AB i的特殊值 ,如在图 (1)中取 AB 1 = 2,再计算 B 1 C1 和 AC1 的值. 这种取特殊值方法的理由是什么 ? 注释 :运用“元认知提示语”发问是暗示的另一种方法. 这里主要是让学生感受一般到特殊的思想方法 ,学会求特殊锐角的“比值”的方法. ( 2)既然当 ∠A的大小变化时 ,“比值”也随之变化 ,这说明“比值”是∠A度数的函数. 试问 :刻画函数关系有几种方式 ? 各种刻画方式的优点与缺点是什么 ? 怎样用解析法来刻画 ∠A 的度数与“比值 ”之间的函数关系 ! 注释 :这里“元认知提示语 ”发问的目的是 :让学生进一步认识函数概念 :让学生意识到引进三角函数符号的必要性. 4　概括———教师给出锐角的正弦、余弦和正切及锐角三角函数的定义.并提出下列问题让学生思考 : ( 1) sinA = ∠A的对边 /斜边的意义是什么 ? ( 2)锐角三角函数的值有何特征 ? ( 3)锐角 A与“比值”的对应关系有几种 ? ( 4)锐角的正弦、余弦和正切各有什么性质 ? (借助表格观察 ) 5　应用———在解决具体问题中巩固知识例 1　求出如图 ( 4)所示的 R t△ABC中 ∠B 的三个三角函数值. 图 4 　图 5 　　例 2　在平面直角坐标系中 ,点 P的坐标是 ( 3, 4) ,设∠xOP =α,求α的三个三角函数值. 6、反思———回顾与思考 ( 1)你在学习过程中获得了哪些知识 ? ( 2)你在学习过程中学会了哪些技能 ? ( 3)你在学习过程中感受到了哪些思想方法 ? ( 4)你在学习过程中体会到了哪些有价值的经验 ? ( 5)锐角三角函数的实质是什么 ? 学习锐角三角函数有何意义 ? ( 6)锐角三角函数有六种 ,我们为什么只研究三种 ? ( 7)锐角的正弦、余弦和正切有何特性 ? 注释 :这个“问题清单”的意图是 :培养学生的科学素养 (谈收获与感受的视角与视点 ) ,提取学生的反馈信息 ,明确可进一步研究的问题. 这节课在宁波滨海学校实施后得到了听课老师的充分肯定与良好评价 ,学生不但获得了锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念 ,学会了求特殊锐角的三角函数值的方法 ,也感受到了隐含在过程中的数学思想方法和运动变化的观点 ,同时在探究的过程中发展了学生的思维能力 ,丰富了学生数学活动的经验 ,也升华了学生的情感. 笔者认为 ,这节课学生之所以能达到探究性理解水平 ,是因为教学决策之前进行了深入的分析 ,从而使定位更准确 ,过程结构更合理 ,学法指导更具有针对性. 因此 ,“前期分析”是不该被忽视的教学起点. 参考文献 [ 1 ]　全日制义务教育数学课程标准 (实验稿 ) [M ]. 北京 : 北京师范大学出版社 , 2001 [ 2 ]　义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级 (下 ) [M ]. 杭州 :浙江教育出版社 , 2006. 11 (收稿时间 : 20080407) 71·解题研究 ·　　　　　　　(2008年第 8期 ·初中版 )

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