nullnull第三篇 动力学引 言 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
动力学中所研究的力学模型是质点和质点系（包括刚体）。
动力学的两类问题：（1）已知物体的运动规律，求作用在物体上的力；（2）已知作用在物体上的力及运动的初始条件，求物体的运动规律。第九章 质点动力学基本方程第九章 质点动力学基本方程动力学基本定律
质点运动微分方程
null9.1动 力 学 基 本 定 律 第一定律（惯性定律）
任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态不变。
质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为平衡力系，则等效于质点不受力。
该定律
表
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明：力是改变质点运动状态的原因。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。null9.1动 力 学 基 本 定 律 由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式为动力学基本方程。
当质点同时受几个力的作用时上式中的 应理解为这些力的合力。
该定律表明：
1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。
2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。null9.1动 力 学 基 本 定 律null9.1动 力 学 基 本 定 律 必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。null9.2质 点 运 动 微 分 方 程 将动力学基本方程用微分形式表示所得到的方程称为质点运动微分方程。于是可得：这就是矢径形式的质点运动微分方程。 二、直角坐标形式的质点运动微分方程这就是直角坐标形式的质点运动微分方程。null9.2质 点 运 动 微 分 方 程 三、自然坐标形式的质点运动微分方程或这就是自然坐标形式的质点运动微分方程。
四、动力学两类问题的求解
第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。 第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。null9.2 下面就力是一个变量的函数的首次积分加以介绍：质 点 运 动 微 分 方 程 下面举例说明质点动力学两类问题的求解方法。null 例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为
求作用在质点上的力 。可见质点作椭圆运动。 将运动方程对时间求两阶导数得：null 代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。
小球在水平面内作匀速圆周运动。 9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 建立如图所示的自然坐标系。由自然坐标形式的质点运动微分方程得：代入数据，联立求解得： 下面再对本题作进一步的分析讨论，由（1）、（2）式可得：9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 例3 从某处抛射一物体，已知初速度为 ，抛射角为 ，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。 解：以抛射体为研究对象，将其视为质点。任一瞬时受力如图，建立如图的坐标。
由直角坐标形式的质点运动微分方程得积分后得9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 再积分后得 轨迹方程为：由此可见，物体的轨迹是一抛物线。9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 例4 垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。
解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。质点在任一位置受地球引力的大小为： 由直角坐标形式的质点运动微分方程得：9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 分离变量得：所以物体在任意位置的速度为：9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度，称为第二宇宙速度。9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 例5 在重力作用下以仰角 初速度 抛射出一物体。假设空气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即 ， 为阻力系数。试求抛射体的运动方程。解：以物体为研究对象，将其视为质点。建立图示坐标。在任一位置质点受力如图。由直角坐标形式的质点运动微分方程得9.2质 点 运 动 微 分 方 程null这是两个独立的线性二阶常系数常微分方程，由常微分方程理论可知，它们的解为9.2质 点 运 动 微 分 方 程null于是质点的运动方程为9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 质点的速度公式为9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 解：以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知：
在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 将其代入（2）式，得 下面将计算结果作进一步的讨论：9.2质 点 运 动 微 分 方 程null9.2质 点 运 动 微 分 方 程null 9.2质 点 运 动 微 分 方 程null11.3质点动力学的两类问题 9.3牵连运动为转动时点的加速度合成定理结 束
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