8-3-三重积分的计算

《微积分 A》习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答 习题 8.3(P133) 1．把三重积分 化为直角坐标系下的累次积分，其中积分区域V 为如 下区域： ∫∫∫= V dVzyxfI ),,( (1)由抛物面 ，平面22 yxz += 1=+ yx 及三个坐标面围成的区域. 解：V 在 平面上的投影xOy 0,0,1: ≥≥≤+ yxyxDxy ，又 ， 220 yxz +≤≤ 故 ∫∫∫∫∫∫ +−+ == 2222 010100 ),,(),,( yxxyx D dzzyxfdydxdzzyxfdxdyI xy (2) 由曲面 及 围成的区域 22 2 yxz += 22 xz −= 解：两个曲面的交线为 ⎩⎨ ⎧ −= += 2 22 2 2 xz yxz V 在 平面上的投影 ， xOy 1: 22 ≤+ yxDxy 故 ∫∫∫∫∫∫ −+−−−−−+ == 2 22 2 2 2 22 2 2 1 1 1 1 2 2 ),,(),,( x yx x x x yx D dzzyxfdydxdzzyxfdxdyI xy (3) 由曲面 xyz = ， 和平面222 Ryx =+ 0=z 围成的区域在第一卦限的部分. 解：V 在 平面上的投影 ， xOy 222: RyxDxy ≤+ 0,0 ≥≥ yx 故 ∫∫∫∫∫∫ −== xyxRRxy D dzzyxfdydxdzzyxfdxdyI xy 0000 ),,(),,( 22 2. 在直角坐标系下计算下列积分. (1) ∫∫∫ +++V dVzyx 3)1( 1 ，其中V 是由平面 1=++ zyx 及三个坐标面围成的区域. 解： 在 平面上的投影 V xOy z 1: ≤+ yxDxy ， 0,0 ≥≥ yx ∫∫∫ +++V dVzyx 3)1( 1 O x∫∫∫ −− +++= yx D dz zyx dxdy xy 1 0 3)1( 1 y 1 1 1 xyD 第 8章第 3节 1/8 《微积分 A》习题解答 ∫∫∫ −−− +++= yxx dz zyx dydx 10 3 1 0 1 0 )1( 1 ∫∫ − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −++ = x dy yx dx 1 0 2 1 0 4 1)1( 1 2 1 ∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−+= 1 0 )1(4 1 2 1 1 1 2 1 dxx x ) 8 52(ln 2 1 −= (2) ,其中V 是由平面∫∫∫ ++ V zyx dVe 0=x , xy −= , 1=y 和 0=z , xz −= 围成的区域. 解：V 在 xoy平面上的投影区域 的边界方程为xyD 0=x ， xy −= , 1=y ， 所以 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤− ≤≤ xz xy y V 0 0 10 : y 或 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤− ≤≤− xz yx x V 0 1 01 : 故 ∫∫∫∫∫∫∫∫ − −−−++ −== 0100010 )1(y xxyx zy xy V zyx dxeedyedzedxedyedVe edyeye yy −=+−= ∫ − 3)1(10 或 ∫∫∫∫∫∫ −−−++ = x zx yx V zyx dzedyedxedVe 0 10 1 (3) ,其中∫∫∫ V zdV ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ +≥ 21 : 22 z yxzV 解：轴截面法：V 往 z轴上投影， 则 222: zyxDz ≤+ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ == zDzDV dxdyzdzzdxdydzzdV 21 2 1 4 152 1 2 ππ =⋅= ∫ dzzz 3．在柱坐标系或球坐标系下计算下列三重积分. (1) ， 是由上半球面 及抛物面∫∫∫ V zdV V )0(4222 ≥=++ zzyx )( 3 1 22 yxz += 围成的 x xyD o 1 1 y x 1= y = − − z o 1 2 V y x 第 8章第 3节 2/8 《微积分 A》习题解答 区域. 解：两个曲面的交线为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += =++ )( 3 1 4 22 222 yxz zyx ，即 ⎩⎨ ⎧ =+ = 3 1 22 yx z V 在 平面上的投影 ，由柱坐标变换， xOy 3: 22 ≤+ yxDxy ∫∫∫ V zdV πρρρρπρρθ ρ ρ π 4 13) 9 14( 2 12 30 424 3 1 3 0 2 0 2 2 =−−== ∫∫∫∫ −− dzdzdd (2) ，其中 ∫∫∫ + V dVyx )( 22 ⎩⎨ ⎧ ≥ ≤++≤ 0 : 22222 z bzyxaV 解：V 在球坐标变换下 braVr ≤≤≤≤≤≤ ,20,20: πϕπθθϕ ∫∫∫ + dVyx )( 22 V ∫∫∫ ⋅= ba drrrdd ϕϕϕθ ππ sinsin 222220 0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫∫ ba drrd 42 30 sin2 π ϕϕπ )( 15 4 53 22 5 2 55 5555 3 ab ababI −=−⋅⋅=−⋅= πππ (3) ，其中∫∫∫ ++ dVzyx )( 222 V 22222: yxRzyxV −−≤≤+ 解：V 在球坐标变换下 RrVr ≤≤≤≤≤≤ 0,40,20: πϕπθθϕ ∫∫∫ ++ V dVzyx )( 222 ( ) 5 0 44 0 224 2 0 5 22sin2sin 00 Rdrrddrrrdd RR πϕϕπϕϕθ πππ −=⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⋅= ∫∫∫∫∫ (4) ，其中∫∫∫ + V dVyx )( 22 2)( 2 1: 22 ≤≤+ zyxV 解：V 在柱坐标变换下 2 2 1,20,20: 2 ≤≤≤≤≤≤ zVz ρρπθθρ ∫∫∫ + V dVyx )( 22 πρρρπρρθ ρ π 3 16) 2 12(2 2 0 232 2 1 32 0 2 0 2 =−== ∫∫∫∫ ddzdd 第 8章第 3节 3/8 《微积分 A》习题解答 (5) ∫∫∫ + V dVyx 22 ，其中V 是由抛物面 与锥面)(3 22 yxz += 224 yxz +−= 围 成. 解：两个曲面的交线为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= += 22 22 4 )(3 yxz yxz ，即 ⎩⎨ ⎧ = =+ 3 122 z yx V 在 平面上的投影 ， xOy 1: 22 ≤+ yxDxy V 在柱坐标变换下 ， ρρρπθθρ −≤≤≤≤≤≤ 43,10,20: 2 zVz ∫∫∫ + V dVyx 22 πρρρρπρρρθ ρρ π 30 29)34(2 1 0 224 3 1 0 2 0 2 =−−=⋅= ∫∫∫∫ − ddzdd (6) ,其中∫∫∫ V zdV ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤+ −−≤≤ xyx yxzV 2 40: 22 22 解：V 在柱坐标变换下 240,cos20, 22 : ρθρπθπθρ −≤≤≤≤≤≤− zVz ， ∫∫∫ V zdV ∫∫∫∫∫ −=⋅= −−− θ π π ρθπ π ρρρθρρθ cos20 32 2 4 0 cos2 0 2 2 )4( 2 12 dddzzdd ∫∫∫ −=−= − 20 420 22 2 42 cos4cos8)cos4cos8( 2 1 πππ π θθθθθθθ ddd 4 5 22 1 4 34 22 18 πππ =⋅⋅⋅−⋅⋅= (7) ∫∫∫ −−− V dVzyx 2221 , ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +≥ ≤++ 22 222 1 : yxz zyx V 解：V 在球坐标变换下 10, 4 0, 2 0: ≤≤≤≤≤≤ rVr πϕπθθϕ ∫∫∫ −−− V dVzyx 2221 ∫∫∫ ⋅−= 10 22420 sin10 drrrdd ϕϕθ ππ ∫∫ ⋅−= 10 224 1sin2 0 drrrd π ϕϕπ 16 )22( 162 212 2 −=⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅= πππ (8) ,∫∫∫ V zdV ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +≥ ≤++ 22 222 2 : yxz zzyx V 第 8章第 3节 4/8 《微积分 A》习题解答 解：V 在球坐标变换下 ϕπϕπθθϕ cos20,40,20: ≤≤≤≤≤≤ rVr ∫∫∫ zdV V ∫∫∫ ⋅= ϕππ ϕϕϕθ cos20 2420 sincos0 drrrdd ∫= 4 5 0 sincos42 π ϕϕϕπ d ∫−= 4 5 0 )(coscos8 π ϕϕπ d 6 7π= 4．选取适宜的坐标计算下列三重积分. (1) ,V 是球体 在第一卦限的部分. ∫∫∫ V xyzdV 2222 Rzyx ≤++ 解：V 在球坐标变换下 RrV r ≤≤≤≤≤≤ 0,20,20: πϕπθθϕ V ∫∫∫ xyzdV ∫∫∫ ⋅⋅⋅= R drrrrrdd 0 2220 sincossinsincossin0 ϕϕθϕθϕϕθ ππ ( )∫∫∫ ⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= R drrdd 0 52 320 0 cossincossin ππ ϕϕϕθθθ 66 481614121 RR =⋅⋅= (2) ，V 由曲面 ，∫∫∫ zdV V 822 =+ yx 22 2 yxz += 及平面 0=z 围成. 解：V 在柱坐标变换下 θρρπθθρ 2sin10,220,20: +≤≤≤≤≤≤ zV z ∫∫∫ V zdV ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅ ∫ 220 321) ρρθθ dd+== ∫∫∫∫ + 20 2sin1022020 sin1(2ρρθ πθρπ zdzdd 8) 2 2cos11(20 ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= ∫ π θθ d ππ 2483 =⋅= (3) ，V 是球体 和 的公共部分. ∫∫∫ V dVz 2 2222 Rzyx ≤++ Rzzyx 2222 ≤++ 解：轴截面法：两个球面的交线为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 222 4 3 2 Ryx Rz z R V 在 z轴上投影为0 ， Rz ≤≤ V O y 当 2 0 Rz ≤≤ 时， 2221 2: zRzyxDz −≤+ x 第 8章第 3节 5/8 《微积分 A》习题解答 当 RzR ≤≤ 2 时， 22222 : zRyxDz −≤+ 故 ∫∫∫ V dVz 2 ∫∫∫∫∫∫ += 21 2 22 0 2 zz D R R D R dxdydzzdxdydzz ∫∫ −+−= RR R dzzzRdzzzRz 2 2222 0 22 )()2( ππ 555 480 59 480 47 40 1 RRR πππ =+= (4) ，V 由曲面∫∫∫ + dVyx )( 22 V 22 yxz += 和 围成. 222 yxz −−= 解：两曲面交线 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−= += 22 22 2 yxz yxz ，即 ⎩⎨ ⎧ = =+ 1 122 z yx 所围立体在 xoy平面上的投影区域 ， :xyD 122 ≤+ yx V 在柱坐标变换下 22,10,20: ρρρπθθρ −≤≤≤≤≤≤ zVz ∫∫∫ + V dVyx )( 22 πρρρρπρρθ ρρ π 15 4)2(2 1 0 232 31 0 2 0 2 =−−== ∫∫∫∫ − ddzdd 5. 计算由曲面 ， 及平面xyx 222 =+ 22 yxz += 0=z 所围成立体的体积. 解：法 1（利用二重积分极坐标变换） 所围立体在 xoy平面上的投影区域 ，:xyD xyx 222 ≤+ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤−∴ ϑρ πθπ ρθ cos20 22:D 故 ∫∫∫∫∫ −− ==+= 2 2 4cos2 0 32 2 22 cos4)( π π θ π π θθρρθσ ddddyxV xyD 2 3 22 1 4 388cos8 4 2 0 4 ππθθ π =×××=== ∫ Id 法 2（利用三重积分柱坐标变换） 在柱坐标变换下， ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤− 20 cos20 22 : ρ θρ πθπ θρ z V z 第 8章第 3节 6/8 《微积分 A》习题解答 2 322 0 cos2 0 2 πρρθ ρθπ π === ∫∫∫∫∫∫ − dzdddVV V 法 2（利用三重积分柱坐标变换）:下面两个式子中 z的变化范围有变化 在柱坐标变换下， ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ ≤≤− 20 cos20 22 : ρ θρ πθπ θρ z V z 2 322 0 cos2 0 2 πρρθ ρθπ π === ∫∫∫∫∫∫ − dzdddVV V 6. 设立体 { }zyxzyxzyxV 4,5),,{ 22222 ≤+≤++= ，求V 的体积. 解：曲面 与曲面 的交线为 5222 =++ zyx zyx 422 =+ ⎩⎨ ⎧ =+ =++ zyx zyx 4 5 22 222 ， 即 ⎩⎨ ⎧ = =+ 1 422 z yx 在柱坐标系下， ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤ ≤≤ 2 2 5 4 20 20 : ρρ ρ πθ θρ z V z 故 )455( 3 2) 4 5(2 20 2 2 25 4 2 2 0 2 0 −=−−=== ∫∫∫∫∫∫∫ − πρρρρπρρθ ρρ π ddzdddVV V 7. 球体 被曲面 分成两部分，求两部分体积的比值. zzyx 4222 ≤++ 224 yxz −−= 解：球面 与曲面 的交线为 zzyx 4222 =++ 224 yxz −−= ⎩⎨ ⎧ −−= =++ 22 222 4 4 yxz zzyx ， 即 ⎩⎨ ⎧ = =+ 1 322 z yx 设曲面 上方的体积为 ，下方的体积为 ，则 在224 yxz −−= 1V 2V 2V xoy平面上的投影区 域 ， 3: 22 ≤+ yxDxy ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−+−−−=== −− −−− xyD yx yxxyDV dxdyyxyxdzdxdydVV )424( 2222 224 22422 2 第 8章第 3节 7/8 《微积分 A》习题解答 πρρρρθπ 6 37)424(30 222 0 =−+−−= ∫∫ dd πππ 6 27 6 372 3 4 3 21 =−⋅=−= VV 球体的体积 因而 372721 ：： =VV 第 8章第 3节 8/8