一道女子数学奥林匹克试题的再证
330047 南昌大学附属中学 宋 庆
因疏忽 ,本刊 2008. 2 (上半月刊 )登载文 [ 1 ]中
的证法 3有误 ,宋庆先生指出了错误并给出了一个
简捷的证明.
问题 已知 a、b、c≥0, a + b + c = 1, 求证 :
a +
1
4
( b - c) 2 + b + c≥ 3.
证明 原不等式等价于
( 3 - b - c) 2 ≥a + 14 ( b - c)
2Ζ b + c + 2 bc - 2 3 ( b + c) + 3
≥a + 14 ( b - c)
2Ζ 2 ( b + c) + 2 bc - 2 3 ( b + + c) + 2 ≥ 14 ( b - c) 2Ζ ( b - c) 2 + [ 3 ( b + c - 2 ]2≥ 12 ( b - c) 2.因此 ,只要证( b - c) 2 ≥ 12 ( b - c) 2Ζ ( b - c) 2 [ 2 - ( b + c2 ]≥0.因 ( b + c) 2 ≤2 ( b + c) ≤2 ( a + b + c) = 2,故最后这一不等式成立.综上 ,原不等式成立. (收稿日期 : 20080227)
得 f ( s) = f ( t) = k,即 slns = tln t = k成立.
而 a = s
1
t
,故此时 0 < a < ( 1
e
) 1t < ( 1
e
) e.
特别地 ,当 k = - 1
e
时 ,直线 y = k与函数 f ( x) =
x lnx的图象相切 ,即函数 f ( x)有两个相等的自变量
s = t =
1
e
,使得 f ( s) = f ( t) = k成立 ,从而 a = s
1
t
=
( 1
e
) e. 此时 ,函数 y = ax 与 y = loga x的图象的两交点
( s, as )与 ( t, a t )重合在对称轴 y = x上.
结论 当且仅当 a∈ ( 0, ( 1
e
) e )时 ,函数 y = ax
与 y = loga x的图象有三个交点 ,其中一个交点在直
线 y = x上 ,另外两个交点在直线 y = x外且关于直线
y = x对称 ;而 a∈ ( 1
e
) e , 1 时 ,函数 y = ax 与 y =
loga x的图象有且只有一个交点在直线 y = x上.
参考文献
1 张 芳 1数形结合思想在解题中的应用 1中学数学 ,
2007, 121
2 王克亮 1几个常见题的暗疾及诊断 1中学数学教学参
考 , 2006, 4.
3 李巧文 1“方程 ax = loga x解的个数问题 ”的问题 (续 ) 1
中学数学教学参考 , 2006, 51
(收稿日期 : 20080218)
“新题征展 (92) ”的更正
陕西省清涧中学白玉泽老师来信指出 ,本刊 2007年第 12期第 3题的答案应是 [π4 ,
π
2
) ∪ (π, 5π4 ]
∪ ( 32π, 2π) . 编者向白老师至谢 !
84 (2008年第 4期 ·
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