短 论 荟 萃
D UAN L UN HU I CU I
数学
应用
一道高考物理模拟
试题的数学解法
330029 南昌大学附中 宋 庆 黎卫东
北京市一些著名重点中学的特级、高级
教师编写的《2001 年北京市海淀区高考模拟
试卷》(北京理工大学出版社, 2001 年 1 月) 物
理分册中有这样一道试题:
一辆小车在轨道AB 上行驶, 速度 v1 =
50km öh , 在轨道以外的平地上行驶的速度 v2
= 40km öh , 在离轨道垂直距离PM = 30km 处
有一仓库P, 这辆小车从距离M 点100km 的A
处行驶到仓库 P 至少要用多少时间?
原解答人运用光的折射定律给出了一种
物理解法.
解法 1 我们若将运动方向倒过来 (逆向
思维) 则问题变成小车从 P 点怎样行驶到A
点用时最省. 这样, 我们可把行程问题与光线
问题联系起来, 因为光总是选择用时最短的
路径传播, 所以本题转化为光的全反射的临
界状态, 作如图 1 所示的光传播图, 由光的折
射定律, 得 sinΗ= v2
v1
=
4
5 ,
在R t△PM O 中, PM = 30km ,
所以 x = 40km , PO = 50km ,
OA = 100 - 40 = 60 (km ) ,
因此 费时 t = PO
v2
+
OA
v1
=
50
40 +
60
50
= 2145 (h ).
这种物理建模的方法, 学生一般不易想
到, 下面我们给出一种纯数学的方法.
图 1 图 2
解法 2 设小车在轨道AB 上行至距M 点 xkm
的O 点处走平地驶向仓库P (如图 2) , 共行驶了 th, 则
AO = 100 - x,O P = 302 + x2 , 且有
t = 100 - x50 +
302 + x2
40 (x > 0).
令 x = 30 tan Α (0 < Α< Π2 ) , 则
t =
100 - 30 tan Α
50 +
30 sec Α
40
= 2 + 3 (5 - 4 sin Α)20 cos Α ( t > 2).
∴ 203 (t - 2) cos Α= 5 - 4 sin Α,
∴ 5 = 4 sin Α+ 203 (t - 2) cos Α
≤ 42 + [ 203 (t - 2) ]
2
,
∴ [ 203 (t - 2) ]
2 ≥ 52 - 42,
∴ t - 2 ≥ 920,
∴ t ≥ 2 + 920 = 2145 (h)
(等号当且仅当 tan Α= 43 , 即 x = 40 时取得).
所以, 这辆小车从A 行驶到仓库P 至少要用2145
小时.
(收稿日期: 20010421)
破题
策略
用加强命题法
简证两不等式
231200 安徽省肥西师范学校 万家练
有不少不等式直接证明并不容易, 可是
当我们将它适当加强, 证明起来反而容易多
了. 比如, 以下两题原证法都较繁, 现用这种
方法给以简证.
例 1 在△ABC 中, 求证
sin B sin C + 2cos B2 cos
C
2 ≤ 2 +
r
2R , (1)
cos B cos C + 2sin B2 sin
C
2 ≤ 1 -
r
2R. (2)
其中, R , r 为△ABC 外接圆、内切圆半径.
(《数学通报》2001 年第 2 期第 1298 数学
问题)
证明 为证明不等式 (1) , 将 (1) 加强为
sin B sin C + cos2 B2 + cos
2 C
2 ≤2 +
r
2R (3)
而不等式 (3) Ζ - 12 [cos (B + C) - cos (B - C) ]
742001 年第 6 期 中学数学
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