中学数学杂志 (高中) 2004年第 l期 39
十个新的分式不等式
南昌大学附属中学 330029 宋 庆
江西师大教育学院 330027 虞秀云
受文[1]之启发，通过荚比、 察，我tfJ
发现了十个新的分式不等式，今介绍于下．
定理 若 a、b、C为满足a+b+c=1
的正数，则
+ +南 > 1
+ + >三
8； T 十 i． _ 十 1+n)／ ’
-
+ + ≥ 3b ca ab a bc 4 3) + 。 C + 。 + ’ 、
+ ‰+ b≥三4； T 十 r 十n(1+) ’
(4)
丽 + + b ≥ 旦
4； i_ 十 十n(1+ ) ’
(5)
+ + ≥ 一9b ca ab a bc 4； (6) + 。C + 。 + ’ 、
+ +b 南 ≥旦4； 十 r 十(1+c) ’
(7)
+ + > 一9bc b ca c ab 10； (8) n + 。 + 。 +
+丽 + > 4； T 十 十c(1+n)／ ’
(9)
b—c+ b ca + c ab·>型4 ．(10) n + 。 + 。 + 、
证明 因为 a、b、C∈ (0，1)，
所以 n 十b +c < a+b十C= 1．
因为南2+ ej≥ ， 斗
≥ 6， + ≥ c，
所以南2+ b 2+南 ≥ 3(n
+6+f)_ 1(az+6 +c )> 3一 1： 1
．
因为 + 6(1+6)≥ n，
+ +c)≥ 3 6
， +
9 n(1+n)≥ 3 c
，
所以 + +
≥ (n+6+c)一 (n )>x5
16
9 3
一
。
2 + + ≥ 15(n+6
而 十而 十 16 ’
+c)一9(bc+cn+n6)≥ 15—916·了1(n
+6+c) =丢．
仿上，易证(4)式(从略)
因为n6(1+c)+t,c(1+n)+ca(1+6)
： +cn+n6+3n6c≤ 1(n+6+c) +
3( ) =吾，
所以由 f=式及柯西不等式，可得
} + 《_j÷ }丽 ≥ 十 i+6)
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中学数学杂志 (高中) 2004年第 1期
詈[口6(1+ )+bc(1+n)+ca(1+6)]·
[b 1 + + 1 b]≥ 4(口+ ( 十f)。f(1+口)。口( + ) ，／ “。
6+f) = 9
．
因为 [m(1+口)+口6(1+b)+6f(I+
c)]’南 + + ≥(口
+b+f) ： l，
所以要证(6)式，只需证明
4≥9[Ca(1+口)+口6(1+b)+6f(1+
C)] 4(口+b+C) ≥ 9(bc+m +ab)(a+
b+f)+9(ab +bc +Ca． ) 4(口 +b +
f )+12[口 (b+C)+b (C+口)+C (a+
b)]+24口6f≥ 9[口 (b+C)+b (C+口)+
C2(口+ b)]+ 27abc+ 9(ab + bc +
)∞4(0．3+b +C3)+3(0．2 b+b C+C2口)
一 6(口b +bc +Ca )一3abc≥ 0∞3[b(a一
6) +C(b—C) +口(C一口) ]+口 +b +C
一 3abc≥ 0，
最后这一不等式成立，故(6)式成立．
仿上，可证(7)式(从略)．
=a +3口缸
口 十 D 十 十
[n(n + 6c)+ b(b + m)+ c(c +
口6)]( + + )≥ (口+6
+c) = 9
．
1 。 1 。 1
+ +
口 。 b 。 C 。 b + C
r 十 (_r 十 r 十 r
+ C 1 + 1 b≥ 旦4+1+1+1= 。( +口)。口( + )，／ 。 。 。 一
21
4 ‘
仿上，易证(10)式(从略)．
参考文献
[1]吴善和．两个不等式猜想的解决[J]．中学数学
壹 堂 2003 3
用换元法证明分母带根号的不等式
广东教育学院 510303 吴光年 刘 熠
证明不等式是现在的数学竞赛的热点
和考点，近来每年的冬令营、IMO等各级数
学竞赛，几乎都要涉及有关不等式的题 目．
由于分母带根号的不等式证明的难度大，因
而近年来的出现频率增加．下面，就介绍解
决这类问题的一个很实用的方法 —— 换元
法．
首先来看一个例题：
例 l (1994年罗马尼亚集训题改编)对
所有正实数 ， ，z，求证：
等 十 +南 · 。 啊 。~／=研 一
这一道目不少书上都有，但这些书上都
是用证法一介绍的方法来解决这道题．
证明一：不妨设 ≥ ≥ z，
因为 + 等≥2， 因为 + ≥2， 、／V 十Z V Z 十
只露 证 明 ．
+ + 弓 >
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