2005-数三真题、标准答案及解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）极限 1 2sinlim 2 +∞→ x xx x = ______. 【答】 2 【详解】 令 2 2 1 xy x = + ，因 lim 0,x y→∞ = 故 原式＝ 1 2sinlim 2 +∞→ x xx x = sinlim lim x x yxy y→∞ →∞ 2 2 2 sinlim lim 2 1 2. 1x x x y x y→∞ →∞ = = ⋅ =+ （2） 微分方程 0=+′ yyx 满足初始条件 2)1( =y 的特解为 __ . 【答】 2y x = 【详解】 微分方程 0xy y′ + = 的充分必要条件为 ( ) 0,xy ′ = ，积分得 Cxy = ，故 微分方程 0xy y′ + = 的解是 Cy x = ，利用初始 2)1( =y 可确定常数 2C = ，故所求特解为 2y x = . （3）设二元函数 )1ln()1( yxxez yx +++= + ，则 = )0,1( dz ___________ . 【答】 ( )2 2 .edx e dy+ + 【详解】 利用全微分方程的四则运算法则与一阶微分形式不变性直接计算，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ln 1 1 1 ln 1x y x ydz e dx xd e y d x x d y+ += + + + + + + + ( ) ( ) ( )ln 1 1 1 x y x y dye dx xe d x y y dx x y + += + + + + + + + ( ) ( ) ( )1ln 1 1 x y x y x dye dx xe d x y y dx y + + += + + + + + + , , ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 于是 = )0,1( dz ( ) 2 ( 2)edx e dx dy edx e dy+ + = + + . （4）设行向量组 )1,1,1,2( ， ),,1,2( aa ， ),1,2,3( a ， )1,2,3,4( 线性相关，且 1≠a ，则 a= ________ 【答】 1 2 【详解】 由题设，有 2 1 1 1 0 0 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 1 2 0 0 1 2 4 3 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 a a a a a a a − − = = = − − − − 0)12)(1( =−− aa , 由于 题设规定 1≠a ，故 . 2 1=a （5）从数 1,2,3,4中任取一个数，记为 X, 再从 X,,2,1 L 中任取一个数，记为 Y, 则 }2{ =YP = ________ . 【答】 13 48 【详解 1】 由于事件 { } { } { } { }1 , 2 , 3 , 4X X X X= = = = 是一个完备事件组，且 { } 1 , 1,2,3,4. 4 P X i i= = = 条件概率 { }2 | 1 0,P Y X= = = { } 12 | , 2,3,4P Y X i i i = = = = 4 1 { 2} { } { 2 } i P Y P X i P Y X i = = = = = =∑ 1 1 1 1 130 . 4 2 3 4 48 ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 【详解 2】 根据乘法 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 { } { } { }, | , , 1, 2,3, 4,P X i Y j P X i P Y j X i i j= = = = = = = 容易写出 ( ),X Y 的联合密度概率分布为 X Y 1 2 3 4 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 1 1 0 0 0 4 2 1 1 1 1 8 8 8 8 3 1 1 1 1 12 12 12 12 4 1 1 1 1 16 16 16 16 { } 4 1 1 1 1 132 2 . 8 12 16 48i P Y pi = = = = + + =∑ （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 }0{ =X 与 }1{ =+YX 相互独立，则 a= , b= . 【答】 0.4, 0.1 【详解】 从 0.4 0.1 1,ij i j p a b= + + + =∑∑ 或知 0.5.a b+ = 从事件 }0{ =X 与 }1{ =+YX 相互独立，于是有 依题意 }1{}0{}1,0{ =+===+= YXPXPYXXP ， { 0, 1} { 0} { 1} ,P X X Y P X P X a= + = = = = = { }{ 1} { 0, 1} 1, 0 0.5,P X Y P X Y P X Y A B+ = = = = + = = = + = { }{ 0} { 0, 0} 0, 1 0.4 ,P X P X Y P X Y a= = = = + = = = + 解方程组 ( )0.5 0.4 , 0.5, a a a b + =⎧⎪⎨ + =⎪⎩ 得 a=0.4, b=0.1 二、选择题 （7）当 a取下列哪个值时，函数 axxxxf −+−= 1292)( 23 恰好有两个不同的零点. ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 【 】 【答】[ B ] 【详解】 令函数 ( ) 3 22 9 12 ,g x x x x= − + 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2) 0,g x x x x x′ = − + = − − = 可得 ( )g x 恰有两个驻点 1 2,x x= =与 利 用， ( ) ( )lim , lim , x x g x g x→−∞ →+∞= −∞ = +∞ 即知 (1) 5, (2) 4g f= = 分别是函数 ( )g x 的惟一极 大值与惟一极小值，且函数 ( )g x 的单调性如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ： x ( ),1−∞ 1 ( )1, 2 2 ( )2,+∞ ( )g x′ ＋ 0 － 0 ＋ ( )g x 从−∞ ↑ 极大值 5 ↓ 极小值 4 ↑到+∞ 由此可见曲线 ( )y g x= 与 4y = 恰有两个不同的交点即当 a=4时， 函数 axxxxf −+−= 1292)( 23 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设 σdyxI D ∫∫ += 221 cos , σdyxI D ∫∫ += )cos( 222 , σdyxI D ∫∫ += 2223 )cos( ,其中 }1),{( 22 ≤+= yxyxD ，则 (A) 123 III >> . （B） 321 III >> . (C) 312 III >> . (D) 213 III >> . 【 】 【答】[ A ] 【详解】 在积分区域 }1),{( 22 ≤+= yxyxD 上，有 ( )22 2 2 2 2 2 ,x y x y x y+ ≤ + ≤ + 且等号仅在区域D的边界 2 2{( , ) 1}x y x y+ = 上成立，从而积分区域D上有 ( ) ( )22 2 2 2 2 2cos cos cos ,x y x y x y+ ≤ + ≤ + ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 且等号也仅仅在区域D的边界 2 2{( , ) 1}x y x y+ = 上成立。此外，三个被积含函数又都 在区域D上连续，按二重积分的性质，即得 123 III >> ，故应选(A). （9）设 ,,2,1,0 L=> nan 若∑∞ =1n na 发散，∑∞ = −− 1 1)1( n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ = − 1 12 n na 收敛，∑∞ =1 2 n na 发散 . （B） ∑∞ =1 2 n na 收敛，∑∞ = − 1 12 n na 发散. (C) )( 1 212∑∞ = − + n nn aa 收敛. (D) )( 1 212∑∞ = − − n nn aa 收敛. 【 】 【答】 [ D ] 【详解】 级数 ( )2 2 1 1 n n n a a ∞ − = −∑ 是把收敛级数∑∞ = −− 1 1)1( n n n a 各项不改变顺序且相邻两 项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选（D）。 （10）设 xxxxf cossin)( += ,下列命题中正确的是 (A) f(0)是极大值， ) 2 (πf 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 (πf 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 (πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 (πf 也是极小值 【 】 【答】 [ B ] 【详解】 注意函数 ( )f x 在区间 0, 2 π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦上可导，且 ( ) sin cos sin cos 0f x x x x x x x′ = + − = > ， 在 0, 2 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 上 成 立 ， 故 函 数 ( )f x 在 区 间 0, 2 π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 上 单 调 增 加 ， 从 而 ( ) ( )0 2 f f x f π⎛ ⎞< < ⎜ ⎟⎝ ⎠，即 ( )0f 是最（极）小值,显然 0)2(,0)0( =′=′ πff ， ) 2 (πf 是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 (A) 若 )(xf ′ 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 )(xf 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 )(xf ′ 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 )(xf 在（0，1）内有界，则 )(xf ′ 在（0，1）内有界. 【 】 【答】 [ C ] 【详解 1】 举例否定错误的命题. 设函数 ( ) lnf x x= ，它的导函数 ( ) 1f x x ′ = 在（0，1）内连续，但 ( )f x 在（0，1） 内无界，着表明命题 (A)不正确.同样，设函数 ( ) lnf x x= ，在（0，1）内连续，但 ( )f x 在 （0，1）内无界，这表明（B）不正确.设函数 ( )f x x= ，它在（0，1）内有界，但它的 导函数 x xf 2 1)( =′ 在（0，1）内无界，这表明(D)不正确.由此可见，应选(C). 【详解 2】 用拉个朗日中值定理直接证明命题（C）正确. 因 ( )f x′ 在 ( )0,1 内有界，可知存在整数M，使得当 ( )0,1x∈ 时 ( )f x M′ ≤ 成立，由题设， 对任何 ( )0,1x∈ 有位于 x与 1 2 之间的ξ，使 ( ) ( )1 1 2 2 f x f f xξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( )1 1 2 2 f x f f xξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′⇔ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 故 ( ) ( ) ( )1 1 1 1 , 0,1 . 2 2 2 2 f x f f x f M xξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′≤ + − ≤ + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 这表明 ( )f x 在 ( )0,1 内有界. （12）设矩阵 A= 33)( ×ija 满足 TAA =* ，其中 *A 是 A的伴随矩阵， TA 为 A的转置矩阵. 若 131211 ,, aaa 为三个相等的正数，则 11a 为 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 (A) 3 3 . (B) 3. (C) 3 1 . (D) 3 . 【 】 【答】 [ A ] 【详解】 因为 TAA =* 即 11 21 31 11 21 31 12 22 23 12 22 23 31 32 33 31 32 33 , A A A a a a A A A a a a A A A a a a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 由此可知 , , 1, 2,3.ij ija A i j= ∀ = 那么 2 2 2 2 11 11 12 12 13 13 11 12 13 113 0A a A a A a A a a a a= + + = + + = > 又由 TAA =* ，两边取行列式并利用 1* nA A −= 及 TA A= 得 2A A= ，从而 1A = . 因为 2113 1,a = 故 .3 3 11 =a 故应选为(A). （13）设 21 ,λλ 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 21,αα ，则 1α ， )( 21 αα +A 线性无关的充分必要条件是 (A) 01 =λ . (B) 02 =λ . (C) 01 ≠λ . (D) 02 ≠λ . 【 】 【答】 [ D ] 【详解】 按特征向量的定义，有 ( )1 2 1 2 1 1 2 2.λ λ+ = + = +A A Aα α α α α α ( )1 1 2+, Aα α α 线性无关 ( )1 1 2 1 2 1 20, ,k k k k⇔ + =+ Aα α α 恒为 0, ( )1 1 2 1 2 2 1 20, ,k k k k kλ λ⇔ + =2+α α 恒为 0, 由于不同特征值的特征向量线性无关，所以 1 2,α α 线性无关. 于是 ⎩⎨ ⎧ = =+ .0 ,0 22 121 λ λ k kk 1 2,k k 恒为 0 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 而齐次方程 ⎩⎨ ⎧ = =+ .0 ,0 22 121 λ λ k kk 只有零解 1 2 2 1 0 0. 0 λ λλ⇔ ≠ ⇒ ≠ 所以应选（B）. （14） 设一批零件的长度服从正态分布 ),( 2σµN ，其中 2,σµ 均未知. 现从中随机抽 取 16个零件，测得样本均值 )(20 cmx = ，样本 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差 )(1 cms = ，则µ的置信度为 0.90 的置信区间是 (A) )).16( 4 120),16( 4 120( 05.005.0 tt +− (B) )).16(4 120),16( 4 120( 1.01.0 tt +− (C) )).15( 4 120),15( 4 120( 05.005.0 tt +− (D) )).15(4 120),15( 4 120( 1.01.0 tt +− 【 】 【答】 [ C ] 【 详 解 】 根 据 一 个 正 态 总 体 方 差 未 知 ， 关 于 µ 的 置 信 区 间 公 式 ( , ),S SI x x n n λ λ= − + 其中λ满足： { } ( ), ~ 1 ,P t nλ α> = −T T 对于 t分布的双侧邻界值表 ( ){ } ,P nαλ α> =T 应选（D），对于 t分布的上侧分位数表 ( ){ } ,P nαλ α> =T 应选（C）。 三 、解答题 （15）求 ).1 1 1(lim 0 xe x xx −− + −→ 【详解】 利用洛必达法则可得 0 0 1lim lim 1, 1 x x x x e e x→ → − = = 于是又有 0 1lim 1. x x e x→ − = 从而 ( ) 0 0 11 1lim( ) lim 1 (1 ) x x xx x x x x ex e x x e − − −→ → + − ++ − =− − ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 ( ) ( ) 2 0 0 1lim lim 1 1 x x xx x x x e x e x e − − −→ → − += +− − 20 0 0 1lim lim lim 1 1 x x xx x x x x e x e x e − − −→ → → − += +− − 20 0 1 1 31 lim 1 lim 1 2 2 2 x x x x x e x e x x − − → → − + −= + = + = + = （16）设 f(u)具有二阶连续导数，且 )()(),( y xyf x yfyxg += ，求 .2 2 2 2 2 2 y gy x gx ∂ ∂−∂ ∂ 【详解】 利用多元复合函数求偏导数的链销法则直接计算，得 2 x x g y y x x y y xf yf f f x x x y y x x y ′′ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′= + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 22 2 2 2 1 x g y y y y yf f f x x x x x y x ′∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′ ′′= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠， 2 3 4 2 1y y y x xf f f x x x y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′′ ′′= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y y g y y x x xf f yf y x x y y y ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ， 1 y x x xf f f x x y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 3 1g y x y x x x xf f f f y x x y x y y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′ ′ ′′= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠， 2 2 3 1 y x xf f x x y y ⎛ ⎞⎛ ⎞′′ ′′= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 由此可得 2 2 2 2 2 2 y gy x gx ∂ ∂−∂ ∂ = )()()(2 2 2 2 y xf y x y xf x y x yf x y ′′+′′+′ )()( 2 2 2 y xf y x x yf x y ′′−′′− ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 = ).(2 x yf x y ′ （17）（本题满分 9分） 计算二重积分 σdyx D ∫∫ −+ 122 ，其中 }10,10),{( ≤≤≤≤= yxyxD . 【详解】 将积分区域分块，如图， 设 2 2 1 {( , ) 1}D x y x y D= + ≤ I ， 2 2 2 {( , ) 1} ,D x y x y D= + > I ， 则 1 2D D D= + ,且可以分块计算二重积分 σdyx D ∫∫ −+ 122 1 2 2 2 2 21 1 D D x y d x y dσ σ= + − + + −∫∫ ∫∫ 1 2 2 2 2 2(1 ) ( 1) , D D x y d x y dσ σ= − − + + −∫∫ ∫∫ 用极坐标 cos , sinx r y rθ θ= = 计算第一个二重积分，由于 ( )1 , | 0 ,0 1 ,2D r r πθ θ⎧ ⎫= ≤ ≤ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭ 故 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 ( ) 1 12 2 22 0 0 1 1(1 ) 1 . 2 2 4 8D x y d d r rdr π π πσ θ ⎛ ⎞− − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ 用直角坐标系计算第二个二重积分.由于 ( ){ }22 , | 0 1, 1 1 ,D x y x x y= ≤ ≤ − ≤ ≤ 故 ( ) ( )2 2 1 12 2 2 2 0 1 1 1 x D x y d dx x y dyσ −+ − = + −∫∫ ∫ ∫ ( ) ( )( )231 2 2 20 1 1 1 1 13 x x x dx⎡ ⎤− −⎢ ⎥= + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( ) ( )31 12 2 2 0 0 1 21 1 3 3 x dx x dx= + − + −∫ ∫ 1 2 3 1 1 . 3 3 4 2 2 8 3 π π= − + = − 最后可得 2 2 11 . 4 3D x y d πσ+ − = −∫∫ （18）求幂级数∑∞ = −+1 2)1 12 1( n nx n 在区间(-1,1)内的和函数 ( )S x . 【详解】 不难发现 ( )0 0.S = 从而只需求出当 0 1x< < 时和函数 ( )S x 的表达式，注 意 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 1) 2 1 2 1 n n n n n n xS x x x n n ∞ ∞ ∞ = = = = − = −+ +∑ ∑ ∑ ， ( )2 1 22 2 1 2 1 0 1 1 , 2 1 1 n n n n x xx x S x x n x x +∞ ∞ = = = − = −+ −∑ ∑ 其中 ( )21 1 1( ) , 1,1 2 1 n n S x x x n ∞ = = ∈ −+∑ 逐项求导，得 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 ( )221 2 1 ( ) , 1,1 . 1 n n xS x x x x ∞ = ′ = = ∈ −−∑ 将上式两端的 x分别改写称 t，并分别从 0到 ( )1,1x∈ − 求定积分，可得 ( )21 1 20 1 1( ) (0) ln , 1,1 .1 2 1 x t xS x S dt x x t x +− = = − + ∈ −− −∫ 又因为 0)0(1 =S ，于是 ( )1 1 1( ) ln , 1,1 .2 1 xS x x x x += − + ∈ −− 综合以上讨论，即得 2 1 1 1ln ,0 1, ( ) 2 1 1 0.0, x x S x x x x x +⎧ − < <⎪= − −⎨ =⎪⎩ （19）设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, 0)( ≥′ xf , 0)( ≥′ xg .证明：对任何 a ]1,0[∈ ,有 ∫ ∫ ≥′+′a gafdxxgxfdxxfxg0 10 ).1()()()()()( 【详解 1】 利用函数的单调性来证明本题.为此引入函数 [ ]1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1), 0,1 , a F a g t f t dt f t g t dt f a g a′ ′= + − ∈∫ ∫ 由题设知，函数 ( ) ( ),f x g x 都是区间 [ ]0,1 上的单调非减函数，且 ( )f x 在闭区间 [ ]0,1 上 非负，从而 [ ]( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( )[ ( ) (1)] 0, 0,1 ,F a g a f a f a g f x g a g a′ ′ ′ ′= − = − ≤ ∈ 又 由于 ]1,0[∈x 时， 0)(,0)( ≥′≥′ xgxf ，因此 0)( ≤′ xF ，即 F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到 1 1 0 0 (1) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (1)F g x f x dx f x g x dx f g′ ′= + −∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1d f x g x f g= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 [ ] ( ) ( ) ( ) ( )10( ) ( ) 1 1 0 0 0.g x f x f g f g= − = − = 故函数 ( )F a 在区间[ ]0,1 上单调非增，且 ( ) ( )1 0F a F≥ = 当 [ ]0,1a∈ 时成立. 【详解 2】 利用直接计算定积分来证明本题.为此计算差 ( ) ( )1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a g x f x dx g x f x dx f a g′ ′+ −∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) a a a g x f x dx g x f x dx f a g g x f x dx′ ′ ′= + − +∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) a a d g x f x f a g g x f x dx′ ′= − +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 0 1 ( ) ( ) a f a g a f g f a g g x f x dx′= − − + ∫ ( ) ( ) ( ) 10 ( ) ( ) a f a g a g g x f x dx′= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a g x f x dx g x f a dx′ ′= −∫ ∫ ( ) [ ]1 0 ( ) ( ) , 0,1 .g x f x f a dx a′= − ∈⎡ ⎤⎣ ⎦∫ 注意到函数 ( )f x 在区间[ ]0,1 上单调非减，而 ( )g x′ 在区间[ ]0,1 上非负，不难发现上 面最后所得定积分的被积函数非负，从而对任何 [ ]0,1a∈ 这个定积分的积分值非负，即原 不等式成立. （20）已知齐次线性方程组 （i） ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ ,0 ,0532 ,032 321 321 321 axxx xxx xxx 和 （ii） ⎩⎨ ⎧ =+++ =++ ,0)1(2 ,0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解，求 a,b, c的值. 【详解】 因为方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.， 因此方程组（i）的系数行列式必为 0,即有 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 1 2 3 2 3 5 2 0, 2. 1 1 a a a = − = ⇒ = 对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 1 2 3 1 2 3 2 3 5 0 1 1 , 1 1 a 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 可求出方程组（i）的通解是 ( 1, 1,1) .Tk − − 因为 T)1,1,1( −− 应当是方程组（ii）的界，故 有 2 1 0, 2 1 0. b c b c − − + =⎧⎨− − + + =⎩ 解出 2,1 == cb 或 .1,0 == cb 当 2,1 == cb 时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡→⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 110 101 312 211 ， 显然此时方程组（i）与（ii）同解. 当 1,0 == cb 时，对方程组（ii）为 1 2 1 3 0, 2 2 0. x x x x + =⎧⎨ + =⎩ ， 因其系数矩阵的秩为 1，从而方程组（i）与（ii）的解不相同.故 1,0 == cb 应当舍去. 所以，当 a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. （21）设 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= BC CA D T 为正定矩阵，其中 A,B分别为 m阶，n阶对称矩阵，C为 nm× 矩阵. (I) 计算 D ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt ，其中 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= − n m Eo CAE P 1 ； （II）利用(I)的结果判断矩阵 CACB T 1−− 是否为正定矩阵，并证明你的结论. ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 培训网：www.tsinghuatutor.com 【详解】 （I） 因 1 1 mT m T nn E OE A C P C A EO E − − ⎡ ⎤− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦ ，所以 DPPT = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − nT m EAC oE 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ BC CA T ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − n m Eo CAE 1 1T A C o B C A C− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − n m Eo CAE 1 = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − CACBo oA T 1 . （II）因为 D是对称矩阵，知 DPPT 是对称矩阵，所以矩阵 CACB T 1−− 是对称矩阵. 又因为矩阵 D与 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − CACBo oA T 1 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ，且 D正定，知矩阵 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − CACBo oA T 1 正定， 那么 0O Y ⎛ ⎞∀ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 恒有 1 1( , ) ( ) 0. T T T T T A O O O Y Y B C A C Y O B C A C Y − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − >⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ 所以 CACB T 1−− 为正定矩阵. （22）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 . ,20,10 ,0 ,1 ),( 其他 xyx yxf <<<< ⎩⎨ ⎧= 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 )(),( yfxf YX ； （II） YXZ −= 2 的概率密度 ).(zf Z ( III ) }. 2 1 2 1{ ≤≤ XYP 【详解 1】 （I） 如图 ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 )(xf X = ∫+∞∞− dyyxf ),( = . ,10,0 , 2 0 其他 << ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧∫ xdyx = . ,10 ,0 ,2 其他 << ⎩⎨ ⎧ xx )(yfY = ∫+∞∞− dxyxf ),( = . ,20,0 , 1 2 其他 << ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧∫ ydxy = . ,20 ,0 , 2 1 其他 << ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − yy （II） 记 ( )ZF z 为 Z的分布函数，区域 ( ){ }, : 0 1.0 2 ,D x y x y x= < < < < 区域 ( ){ }1 , : 0 1, 0, 2 0D x y x y x y z= < < > − > > . 由题设可知 ( ),X Y 服从区域D上均匀分布， 1D 是D的一个子区域，根据二维均匀分 布性质，有 ( ){ } 11, .D D S P X Y D S ∈ = 由图可见，区域 1D 与D都是直角三角形，其面积 ( ) 1 211, 1 2 1 . 2 2 2D D z zS S z⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 当 0z ≤ 时， 0}2{)( =≤−= zYXPzFZ ； ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 当 20 <≤ z 时， ( ){ }1( ) {2 } 1 {2 } 1 ,ZF z P X Y z P X Y z P X Y D= − ≤ = − − > = − ∈ 2 2 1 1 ; 2 4 z zz⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 当 2≥z 时， .1}2{)( =≤−= zYXPzFZ 因此 Z的概率密度为 . ,20 ,0 , 2 11)( 其他 << ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= zzzf Z （III） 如图：记区域 ( )2 1 1, : ,0 ,2 2 2 yD x y y y⎧ ⎫= < ≤ < ≤⎨ ⎬⎩ ⎭ 显然区域 2D 是一个直角三 角形，其面积 2 1 1 1 1 3 . 2 4 2 2 16D S ⎛ ⎞= + × =⎜ ⎟⎝ ⎠ 于是 21 1 3, . 2 2 16 D D S P X Y S ⎧ ⎫≤ ≤ = =⎨ ⎬⎩ ⎭ 记区域 ( )3 1, : 0 ,0 2 ,2D x y x y x ⎧ ⎫= < ≤ < <⎨ ⎬⎩ ⎭ 则有 ( ){ }31 1, ,2 4P X P X Y D⎧ ⎫≤ = ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭ 故 1 1 3, 1 1 32 2 16| .112 2 4 42 P Y X P Y X P X ⎧ ⎫≤ ≤⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎩ ⎭≤ ≤ = = =⎨ ⎬ ⎧ ⎫⎩ ⎭ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭ 【详解 2】 （Ⅰ）同【详解 1】 （Ⅱ） Z 的分布函数记做 ( ) ,ZF z 当 0z ≤ 时， ( ) 0;ZF z = 当 2≥z 时， .1}2{)( =≤−= zYXPzFZ 当 20 <≤ z 时， ( ) 2 1 ( ) { } ,Z x y z F z P Z z f x y dxdy − > − = > = ∫∫ ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 21 2 0 2 1 ; 4 x z z zdx dy z −= = − +∫ ∫ { } { } 2( ) 1 , 4Z zF z P Z z P Z z z= ≤ = − > = − 故 1 ,0 2( ) 2 0, Z z z F z ⎧ − < <⎪= ⎨⎪⎩ 其他. （Ⅲ） ( )1 12 2 0 0 1 12 , 2 4X P X f x dx xdx⎧ ⎫≤ = = =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫ ∫ ( ) 1 12 2 0 1 1 2, 2 2 1 1 3, , , 2 2 16y x y P X Y f x y dxdy dy dx ≤ ≤ ⎧ ⎫≤ ≤ = = =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫∫ ∫ ∫ 故 1 1, 1 1 32 2| . 12 2 4 2 P X Y P X Y P X ⎧ ⎫≤ ≤⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎩ ⎭≤ ≤ = =⎨ ⎬ ⎧ ⎫⎩ ⎭ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭ （23）设 )2(,,, 21 >nXXX nL 为来自总体 N(0, 2σ )的简单随机样本，X 为样本均值， 记 .,,2,1, niXXY ii L=−= 求：（I） iY 的方差 niDYi ,,2,1, L= ； （II） 1Y 与 nY 的协方差 ).,( 1 nYYCov （III）若 21 )( nYYc + 是 2σ 的无偏估计量，求常数 c. 【详解】 由题设 )2(,,, 21 >nXXX nL 是简单随机样本，因此 )2(,,, 21 >nXXX nL 相互独立，且与总体同分布，即 ( )2 2~ 0, , 0, ( 1, 2, , )i i iX N EX DX i nσ σ= = = L ， （I） 1 1 1 11 , n i i j i j j Y X X X X n n=≠ ⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 1 1( ) (1 ) n i i j i j i DY D X X D X X n n≠ ⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 2 21 11 n j i j i DX DX n n≠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 . n j j i n nDX DX n n n σ =≠ − −= ⋅ + =∑ （II） )2(,,, 21 >nXXX nL 相互独立，所以 , , ( , ) , 1, 2, , 0, i i j DX i j Cov X X i j n y j =⎧= =⎨ ≠⎩ L ( )1 1( , ) ,n nCov Y Y Cov X X X X= − − ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , , ,n nCov X X Cov X X Cov X X Cov X X= − − + 1 1 1 1( , ) , n i i Cov X X Cov X X n = ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ( ) 21 1 1 1 1, . n i i Cov X X DX n n n σ = = = =∑ 类似地， 21( , ) .n nCov X X DXn n σ= = 又因为 2 .DX n σ= 故 2 2 2 2 1( , ) 0 .nCov Y Y n n n n σ σ σ σ= − − + = − （III）首先计算 ( )21 2, .E Y Y 由于 ( )1 2 1 2 0,E Y Y EY EY+ = + = 所以 ( ) ( )21 1 1 1( ) 2 ,n n n nE Y Y D Y Y DY Cov Y Y DY⎡ ⎤+ = + = + +⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 1 1 2 2( 2) .n n n n n n n σ σ σ σ σ− − −= + − = = ， 若 21( )nc Y Y+ 是 2σ 的无偏估计量，c应满足下面等式 ( )2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ,n n c n E c Y Y cE Y Y n σ σ−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2 故 . )2(2 −= n nc ?????? QQ776597299 QQ?124503282 QQ ? 12 45 03 28 2