材料力学 教案笔记

第一章：绪论 第一章 绪论 $1.1 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 力学的任务 1．材料力学的任务 在满足强度、刚度、稳定性的要求下，为设计既经济又安全的杆件，提供必要的理论基础和计算方法。 2．强度、刚度、稳定性的概念 强度是指构件在载荷作用下抵抗破坏的能力。 刚度是指构件在载荷作用下抵抗变形的能力。 稳定性是指构件在载荷作用下保持原有平衡形态的能力。 $1.2材料力学的基本假设 1．连续性假设 物体的结构是密实、无空隙的，因而其力学性能是连续的。 2．均匀性假设 物体内各点材料均匀分布，其力学性能是均匀一致的。 3．各向同性假设 物体内任一点处沿各个方向的力学性能都相同。 4．小变形假设 材料力学研究的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，仅限于变形的大小远小于构件的原始尺寸的情况。在小变形条件下，研究构件的平衡和运动时，可以忽略构件的变形，而按构件变形前的原始尺寸进行分析计算。 $1.3内力、应力、应变和截面法 1．内力 指构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力，称为“附加内力”，简称“内力”。构件的内力随外力增加而增大，但增加到某一限度时，构件将发生破坏，所以内力是有限度的，这一限度与构件强度密切相关。使用截面法求解内力。 2．截面法 （1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面假想把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分作为研究对象。 （2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。 （3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上内力的合力。 3．应力 即为分布内力系在 点的集度，称为截面 上 点的应力。 是个矢量。垂直于截面的应力称为“ 正应力”，位于截面内的应力称为“ 切应力”。 应力的单位是 ，称为帕斯卡或简称帕（ ）。 4．应变 设物体内MN方向线段MN长Δs变形后M＇N＇长Δs＋Δu 线应变： 剪应变：单元体的各棱边除可能有长度变化外，还可能发生相互垂直的两棱边之间的直角的改变。其改变量 称为剪应变，也是无量纲量，常用弧度来度量。 $1.4 材料力学基本变形 1．轴向拉压 杆件在大小相等、方向相反、作用线与轴线重合的一对力作用下，变形 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现为杆件的伸长与缩短。 2．剪切 杆件受大小相等、方向相反且作用线靠近的一对力的作用，在受力位置材料沿受力方向发生错动。 3．扭转 在垂直于杆件轴线的两个平面内，分别作用大小相等、方向相反的两个力偶距，造成截面绕轴线相对转动。 4．弯曲 在杆件轴线的纵向平面内，作用方向相反的两个力偶矩，或垂直轴线的横向力。变形表现为轴线由直线变成曲线。 第二章 轴向拉伸、压缩与剪切 授课学时：8学时 主要内容： 1．轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力 ，强度条件 2．胡克定律 ， 3．用切线代圆弧法求解超静定桁架结点位移 4．简单拉压静不定问题的求解 5． 剪应力、挤压应力强度条件的应用 $2.1轴向拉伸与压缩的概念 1．轴向拉伸与压缩的概念 杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。 2．力学模型 $2.2 轴力 、轴力图 1．轴力 杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用 N 表示，方向与轴线重合。 求解轴力的方法：截面法。 轴力的符号规则：N 与截面的外法线方向一致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。 2．轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据 例 AB 杆受力如图所示 , 已知 ， ， 。 试求 AB 杆各段内并作轴力图 解: (1)计算各段的轴力 对AC段，设置截面如图， 由平衡方程 得 对BC段，由平衡方程 得 (2)按比例画轴力图 3．轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件 根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。 强度条件及其应用： 例 如图所示托架，已知：AB为钢板条， 截面积100cm2，AC为10号槽钢，横截面面积为 A=12.7 cm2。若 ，求：各杆的应力。 解： （1）以节点C为研究对象，受力分析如图所示，建立平衡方程 ， 解方程可得 （2）计算各杆的应力 AB和AC的应力为 $2.3材料拉伸时的力学性能 1．低碳钢拉伸时的力学性能 材料的力学性能：就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。 试件形状： （1）弹性阶段 应力—应变曲线上当应力增加到b点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除，则b点的应力定义为弹性极限 。在拉伸（或压缩）的初始阶段应力 与应变 为直线关系直至 点，此时 点所对应的应力值称为比例极限 ，表示为 （2）屈服阶段 在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限 。到达屈服阶段时，在磨光试件表面会出现沿45度方向的条纹，这是由于该方向有最大剪应力，材料内部晶格相对滑移形成的。 （3） 强化阶段 材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。σ—ε曲线又开始上升，到最高点 处的强度 是材料能承受的强度极限。 （4）局部变形阶段 当低碳钢拉伸到强度极限时，在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小，形成缩颈现象。 （5）截面收缩率和延伸率 截面收缩率 延伸率 2．铸铁拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度极限 是衡量强度的唯一指标。 $2.4材料压缩时的力学性能 1．低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但压缩不会破坏，只会越压越扁，没有强度极限。 2．铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿45度方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。 $2.5失效与许用应力 1．失效原因 脆性材料在其强度极限 破坏，塑性材料在其屈服极限 时失效。二者统称为极限应力理想情形。 极限应力： ， (极限应力是材料的强度指标) 若工作应力为 因此工作应力的最大允许值低于 ， 。 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为 ， 一般工程中 。 2．强度条件 等截面杆 $2.6轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律 1．杆件在轴向方向的伸长为 2．沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为 ， 。 3．胡克定律 当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 ，这就是胡克定律。E为弹性模量。 将应力与应变的表达式带入得 4．横向应变为 横向应变与轴向应变的关系为 $2.7轴向拉（压）杆静不定问题 1．静不定问题的概念 对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。 2．静不定问题的解法 求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。 以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。 (1)列A点的平衡方程 （2）变形几何关系 （3）力与变形的关系 ＝ （４）联立补充方程和平衡方程求解未知力 ， 例 杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度EA已知，试求两端反力。 解： （1）列杆的平衡方程 杆的未知反力有 和 ，平衡方程只有一个。即 （2）变形几何关系 由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即 ， 等于AC段变形， 等于BC段变形 （3）力与变形的关系 AC段，其轴力 ，对BC段，其轴力 ， 由虎克定律 　 　　　 　　 代入变形几何关系 　　　　　　 　　　　　即 （４）联立补充方程和平衡方程求解未知力 　解得　 　应该注意， 、 方向可任意假设，但在建立补充方程时，杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。 3．装配应力 对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装配在一起，这样在未受载荷之前，杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。 以下图为例进行讲解。 1．平衡方程 2．变形几何方程 3．物理方程 ， 联立方程得 ， $2.8应力集中的概念 1．应力集中 等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的，对于构件有圆孔、切口、轴肩的部位，应力并不均匀，并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。 (原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。) 应力系中系数 ， 名义应力(平均应力) 2．应力集中对构件强度的影响 塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中有影响。 脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑其影响。 $2.9剪切和挤压 1．剪切变形与挤压 剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。 变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。可能被剪断的截面称为剪切面。 　　　 　　　　　　　　　　　 　式中 Q：剪切面上的剪力，它与P的关系由平衡方程确定。A：剪切面面积（不一定是横截面的面积，且与外载荷平行） 挤压应力 ， 式中 P：挤压面上的挤压力 ：挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。 2．剪应力与挤压力的计算 例 齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸 ，传递的力偶矩m=2kN m，键的许用应力 ，许用挤压应力 。试校核键的强度。 解： （1） 计算键所受剪力的大小 将键沿截面n-n假想切开成两部分，并把截面以下部分和轴作为一个整体来考虑。n-n截面上的剪力Q为 由平衡条件 得 （2）校核键的剪切强度 故平键满足剪切强度条件。 （3）校核键的挤压强度 键受到的挤压力为P，挤压面面积 ，由挤压强度条件 故平键满足挤压强度条件。 例 拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为20号钢， ，直径 ，厚度 ， 。试校核插销的剪切强度。 若挤压许可应力为 ，试校核插销的挤压强度。 解： （1） 计算键所受力的大小 将插销沿截面m-m和n-n假想切开（双剪切面）。列平衡方程可得 （2）校核键的剪切强度 （3）校核键的挤压强度 考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和2dt，故校核中段的挤压强度。 第三章 扭转变形 授课学时：6学时 内容： 外力偶矩的计算； 扭转剪应力推导过程； 圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度，圆轴扭转变形时的刚度和变形（相对扭转角）计算。 $3.1 扭转的概念 1．外力特征 力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。 2．扭转变形受力特点 杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线。 3．力偶变形特点 各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 4．工程实例 方向盘轴、传动轴。 $3.2扭矩和扭矩图 1．外力偶矩的计算 N：功率； ：转速 2．扭矩和扭矩图 （1）内力偶矩：杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号 （2）内力偶矩计算—截面法 用截面 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把 ，T表示为矢量，列出左部分平衡方程 ，得到 当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负。 对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况，任一截面的内力偶矩等于其一侧所有外力偶矩的代数和 （3）扭矩图 表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形，反应出 值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。 例 传动轴如图，主动轮A输出功率 ，从动轮B、C、D输出功率分别为 ， ，轴的转速为 。试作轴的扭矩图。 解： （1）求外力偶矩 （2）求截面内扭矩 在BC段内 在CA段内 在AD段内 （3）画扭矩图 $3.3薄壁圆筒的扭转 1．薄壁圆筒的扭转实验 试验前后比较现象： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 得出结论： 纵向截面和过轴线的截面上无正应力，只有切于纵向截面的切应力。 2．薄壁圆筒的扭转的切应力 应用截面法并考虑 左侧的平衡方程 ，得出 3．剪应力互等定理： 由 得 ， 由上式得出：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离该交线。 4．切应变 剪切胡克定律 ——切应变 ——剪切胡克定律 式中 —半径； —扭转角； —圆筒长度； ——剪应变；G——剪切弹性模量。 $3.4 圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算 1．变形几何关系—圆轴扭转的平面假设 圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不 变，半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。 2．物理关系——胡克定律 3．力学关系 其中 ，称为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。 4．扭转强度和刚度分析 为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力 ，即 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。 圆轴扭转时的刚度条件： 为了消除长度的影响，用 表示扭转变形的程度，令 ， 距离为 的两个横截面之间的相对扭转角为 对于阶梯轴（各段的极惯性矩不同）或轴上有几个外力偶作用时，应分段计算每段的饿扭转角，然后求代数和，即为两端面间的扭转角 例 传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为 和 。若轴的转速为 ，材料为45钢， 。根据强度确定轴的直径。 解: (1) 计算力偶距 (2) 根据强度条件计算直径 从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。 例 若上题规定 ，且已知 按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。 解： $3.5 扭转变形能 1．扭矩作功 2．扭转变形能和能密度 $3.6圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形 1．弹簧丝横截面上的应力 ， 修正公式： 式中 ， 2．弹簧的变形 弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向的缩短量（或伸长量），用 表示 在弹性范围内，压力P与变形 成正比。 令变形能等于外力作功，即U=W ，于是有 其中 第四章 平面图形的几何性质 授课学时：4学时 内容：静矩和形心；惯性矩；惯性积；平行移轴定理。 $4.1静矩和形心 1．静矩 对于图形，其面积为A。 和 为图形所在平面的坐标轴。则微面积 在整个图形面积上对坐标轴的积分为 ， 称为图形对 轴和 轴的静矩或一次矩。 2．形心 设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。则重心与平面图形的形心一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标 和 分别为 ， ， 从上式可以看出，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若图形对某一轴通过图形的形心，则图形对该轴静矩等于零。 当一个图形A由 ， … 等 个图形组合而成的组合图形时，由静距的定义得 同理得 $4.2惯性矩、惯性半径和惯性积 1．惯性矩 ， ， 2．惯性半径 ， 3．惯性积 $4.3平行移轴公式 图形对型心轴 和 的惯性距和惯性积分别为 ， ， 图形对型心轴 和 的惯性距和惯性积分别为 由于 ， 上式得 同理可得 $4.4转轴公式 主惯性轴 1．两种坐标的转换 2．转轴公式的推导 以 和 代入上式，得到 同理可得 3．主惯性轴 对 求导得 若 时 得 ，解出 ，可以确定一对坐标轴 和 。 上式代入到惯性积公式得 。 所以，当坐标轴绕O点转到 和 位置时，图形对坐标轴的惯性积等于零。这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为主惯性矩。对应着一个最大值，一个最小值。 第五章弯曲内力 授课学时：6学时 主要内容：弯曲内力；Q、M与q之间的微分关系；Q,M方向的确定；突变位置,方向,大小数值。 $5.1概述 1．平面弯曲 受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。 变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。 2．支承简化 3．静定梁的分类 4．载荷的简化 集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。 解： （1）分析受力 受集中力P，分布力q，力偶m，固定端简化为 、 、 。 （2）列平衡方程 解得 $5.2梁横截面的内力——剪力和弯矩 1．剪力和弯矩 根据梁的平衡条件，列以下方程 ， 得出静定梁在载荷作用下的支反力 ， ；并将其作为已知量。 作载面 ，考虑左侧平衡，列平衡方程。 从上式可以看出，截面上的剪力 在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁轴的垂线（ 轴）上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力对于该截面形心的力矩的代数和。 2．剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段dx，其错动趋势为“左上右下” 时，对于剪力 规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面的弯矩M规定为正号；反之，为负号。 例 已知 ，求跨度截面中点截面E上的弯矩和截面C上的剪力。 解： （1）求支座反力 （2）列平衡方程，求剪力和弯矩 3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图 1）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为 的函数。 2）剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标 表示横截面的位置，以纵坐标相应截面上的剪力和弯矩。 例 画出梁的剪力图和弯矩图 解： （1）列平衡方程，求支反力 解得 （2）求剪力和弯矩 ，这是在AC段内的剪力方程弯矩方程 ，这是在BC段内的剪力方程弯矩方程 （3）画剪力图弯矩图 $5.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系 1．弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系（右手坐标系） 用坐标为 和 的两相邻截面从梁中截取出长为 的微段，其中 为 的截面的形心。在坐标为 的截面上，剪力和弯矩分别为 和 ；在坐标为 的截面上，剪力和弯矩则分别为 ， 。 列出 微段的平衡方程 ， ， 省略去上面第二式中的二阶微量 ，整理后可得 上式中就是载荷集度 ，和剪力 及弯矩 间的微分关系。可以得出剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 弯矩与荷载集度的关系是： 2．Q、M图与外力间的关系 1）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 2）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 3）在梁的某一截面。 ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 4）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。 例 外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论，直接作剪力图和弯矩图。 解： (1)求支反力 ， 。 (2)分析剪力和弯矩 A点右侧： ， 。 C点左： ， 。 C点右： ， 。 B点左： ， B点右： ， 。 D点左： ， 第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q又有M的情况。如 AC、DB段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b变形后仍为直线，但有转动；纵向线变 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 $6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为 的一个微段，横截面选用如图所示的 坐标系。图中， 轴为横截面的对称轴， 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为 ，中 性层 曲率半径为 ，距中性层为 处的任一纵线（纵向纤维） 为圆弧曲线。因此，纵线 的伸长为 而其线应变为 纵向纤维的应变与它到中性层的距离 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限 时，可由虎克定律得到横截面上坐标为 处各点的正应力为 该式表明，横截面上各点的正应力 与点的坐标y成正比。中性轴 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为 的点的正应力为 ，截面上各点的微内力 组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行 轴的轴力 ，对 轴的力偶矩 和对轴的力偶矩 ，分别为 ， ， 考虑左侧平衡， ， ，得 ， 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩 式中积分 是横截面对中性轴 的惯性距，上式可写成为 式中， 越大，则曲率 越小。因此， 称为梁的抗弯刚度。将该式代入 ，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为 $6.3横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的细长梁，即截面高度 远小于跨度 的梁，横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式 引入符号 ，则截面上最大弯曲正应力可以表达为 ，强度条件为 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为 ，宽为 的矩形截面： 直径为 的圆截面： 2．例题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； 解：画M图求截面弯矩 求应力 $6.4 弯曲切应力 1．矩形截面中的弯曲切应力 1）矩形截面中的弯曲切应力假设 大小：矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。 方向：高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。 2）研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段dx，在微段上再取一块如图，列平衡方程： （1） （2） （3）（3）带入（1）、（2）得 由剪应力互等得 于是 并 时有 2．工字钢截面 工字形截面可以看作由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。 仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式 。 将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式 将 时，在截面中性轴上时，在腹板与翼缘的交 带入上式，得 3．圆形截面梁 ， ， $6.5梁的正应力和剪应力强度条件 、提高弯曲强度的措施 1．弯曲正应力和剪应力强度条件 梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为 ， 例 求T形截面梁的最大切应力。 解： （1）求支反力 ， （2）作剪力图 （3）求最大切应力 2．提高弯曲强度的措施 1）梁的合理受力(降低最大弯矩 ) (1)合理放置支座(从设计 方案 气瓶 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作用，讨论它的弯曲变形。 解： ①求反力并列梁的弯矩方程 ②建立坐标系 ，分两段列出 梁的弯矩方程为： 段 段 ③对挠曲线近似微分方程积分，将 和 两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。 段 段 确定积分常数 积分常数 、 和 、 ，需要连续条件和边界条件来确定。即挠曲线在 截面的连续条件为 当 时， 即： 由上两式解得 此外，梁在 、 两端的边界条件为 时， 时， 即： 解得 梁 和 段的转角方程和挠曲线方程列于下表： AC段 CB段 ④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为 在梁右端截面的转角为 当 时，可以断定 为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面，先确定 截面的转角 若 ，则转角 。 段挠曲线为光滑连续曲线，而 ，当转角从截面 到截面 连续地由负值变为正值时， 段内必有一截面转角为零。为此，令 ，即 解得 的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。由 段的挠曲线方程可求得 梁的最大挠度为 $7.3用叠加法求弯曲变形 当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便的。 例1 起重机大梁的自重是集度为的均布载荷 ，吊重 为作用于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。 解： （1）分解载荷 均布载荷 ，集中力 （2）查表叠加 均布载荷单独作用下 集中力单独作用下 在均布载荷和集中力共同作用下 例2 将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B简化为铰支座，P1为切削力，P2为齿轮传动力。试求截面B的转角和端点C的挠度。 解： （1）分解载荷 集中力 ， （2）计算在截面B处的剪力和弯矩 ， （3）查表叠加 截面因M引起的转角 单独作用引起的转角 转角叠加 因转角引起的C处的挠度 引起的C点的挠度 C点挠度的叠加 $7.4简单超静定梁 1．求解步骤 1）判断静不定度 2）建立基本系统 解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构(一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统) 3）建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统) 4）求解静不定问题 2．求解简单静不定结构 例 求超静定梁B处的支反力及中点C的挠度。 解： 去掉支座B，代替以约束反力 。 物理关系（力与变形的关系） ， 变形协调关系 利用叠加法得 第八章 应力状态分析和强度理论 授课学时：8学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 $8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 1．应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力 斜截面上的应力 斜截面上的正应力和切应力为 可以得出 时 时 过A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为 。 $8.2二向应力状态下斜截面上的应力 1．​ 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线 。 在外法线 和切线 上列平衡方程 根据剪应力互等定理， ，并考虑到下列三角关系 ， 简化两个平衡方程，得 2．极值应力 将正应力公式对 取导数，得 若 时，能使导数 ，则 上式有两个解：即 和 。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为 代入剪力公式， 为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。 将切应力公式对 求导，令 若 时，能使导数 ，则在 所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得 求得剪应力的最大值和最小值是： 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是：若 ，则绝对值较小的 对应最大剪应力所在的平面。 3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 与 之间的关系为 这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为 。 $8.3二向应力状态的应力圆 1．应力圆方程 将公式 中的 削掉，得 由上式确定的以 和 为变量的圆，这个圆称作应力圆。 圆心的横坐标为 ，纵坐标为零，圆的半径为 。 2．应力圆的画法 建立 应力坐标系（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点 和 与轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AD为半径画圆——应力圆。 3．单元体与应力圆的对应关系 1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同 4．在应力圆上标出极值应力 $8.4三向应力状态 1．三个主应力 2.三向应力圆的画法 由 作应力圆，决定了平行于 平面上的应力 由 作应力圆，决定了平行于 平面上的应力 由 作应力圆，决定了平行于 平面上的应力 3．单元体正应力的极值为 ， 最大的剪应力极值为 $8.5复杂应力状态的广义虎克定律 1．单拉下的应力—应变关系 ， 2．复杂状态下的应力— 应变关系 三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得 3．体积胡克定律 单元体变形后的体积为 单元体变形后的体积为 体积改变为 其中 为体积模量， 是三个主应力的平均值。 为体积胡克定律。 第九章 组合变形 授课学时：4学时 主要内容：拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。 §9–1 概 述 1．定义 在复杂外载荷作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。 2．组合变形形式 两个平面弯曲的组合；拉伸或压缩与弯曲的组合；扭转与弯曲。 3．组合变形的研究方法 —— 叠加原理 对于线弹性状态的构件，将其组合变形分解为基本变形，考虑在每一种基本变形下的应力和变形，然后进行叠加。 4．解题步骤 外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解 内力分析：求出每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。 应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。 §9–2拉(压)弯组合 例 起重机的最大吊重 ， 。试为横梁AB选择适用的工字钢。 解： （1）受力分析 由 得 ， （2）作AB的弯矩图和剪力图，确定C左侧截面为危险截面。 （3）确定工字钢 型号 pcr仪的中文说明书矿用离心泵型号大全阀门型号表示含义汽车蓄电池车型适配表汉川数控铣床 按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数 查表取 的16号工字钢，其横截面积为 。 在C左侧的下边缘压应力最大，需要进行校核。 固所选工字钢为合适。 §9–3斜弯曲 1．斜弯曲概念：梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内， 2．解题方法 1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。 2）叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。 例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大应力和梁端部的位移。 解： （1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解 ， （2）外载荷在固定端两平面内的弯矩 （3）应力 由弯矩 引起任意点C处应力 由弯矩 任意点C处应力 （4）最大正应力—在C处的应力叠加为 （5）变形计算 由 引起的垂直位移 由 引起的垂直位移 将 、 几何叠加得 上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。 §9–4弯曲与扭转的组合 1．外力向杆件截面形心简化 P向轴心简化得一等值力和扭矩 平面内的弯矩 平面内的弯矩 2．画内力图确定危险截面 在危险截面上，与扭矩T对应的边缘上的切应力极值为 与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为 D点的主应力为 3．确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论，强度条件是 对于圆轴 ，其强度条件为 按第四强度理论，强度条件为 经化简得出 对于圆轴，其强度条件为 第十章 压杆稳定 学时分配：共4学时 主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数 ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式 ，使用安全系数法进行压杆稳定校核。 $10.1压杆稳定的概念 1．压杆稳定 若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。 2．临界压力 当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用 表示。 3．曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 $10.2细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系 。距原点为 的任意截面的挠度为 。于是有 2．挠曲线近似微分方程： 将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得 令 则有 该微分方程的通解为 式中A、B——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 和 时， 将其代入通解式，可解得 ， 上式中，若A=0，则 ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 满足条件的 值为 则有 于是，压力 为 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力 于是可得临界压力为 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。 此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 式中 称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。 表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。 两端铰支， ；一端固定另一端自由 ；两端固定， ；一端固定令一端铰支， 。 例：试由一端固定，一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程，导出临界压力。 解： 由挠曲线的微分方程可得 方程的通解为 固定支座的边界条件是 时， ， 时， ， 边界条件带入上面各式得 解得 作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点的横坐标为 弯矩为零的C点的横坐标 $10.4 压杆的稳定校核 1．压杆的许用压力 为许可压力； 为工作安全系数。 2．压杆的稳定条件 例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径 ，油压 。活塞杆长度 ，材料为35钢， ， ， 。试确定活塞杆的直径。 解： （1）轴向压力 （2）临界压力 （3）确定活塞杆直径 由 得出 （4）计算活塞杆柔度 对35号钢， 因为 ，满足欧拉公式的条件。 第十一章 动载荷 授课学时：4学时 主要内容：构件作匀变速运动时的应力与变形；使用能量原理计算受冲击构件的动应力、变形。 $11.1概述 1.静载荷 载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷。 2.动载荷 载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷 3.动响应 构件在动载荷作用下的各种响应（应力、应变和位移），称为动响应。 $11.2 构件作匀变速运动时的应力与变形 1．动静法 按照达朗贝尔原理，在原物体系上沿加速度相反方向加上惯性力，则惯性力与物体上原有的外力组成一平衡力系，即可按静力学方法处理动力学问题，这就是动静法。 2．匀加速杆件的动载荷 均布载荷的集度为 截面中点弯距为 应力为 加速度为零时， 动应力可以表示为 强度条件写成 3．在匀速转动圆环上的应用 沿圆环轴线均布的惯性力的集度为 。 取半圆环为研究对象，列平衡方程 ，得 4、强度条件 $11.3使用能量原理计算受冲击构件的动应力、变形 1．不考虑受撞击构件质量时的应力和变形 例 设有重量为G的重物自高度 处自由下落撞击梁上1点。求其动应力。 解：重物与梁接触时的动能与重力势能的关系： 重物至最低点时，位能减少 ，失去总能量 设在静载荷G作用下梁1处的静变形为 ，弹簧刚度系数为 梁获得的弯曲应变能为 利用U=E，得 为撞击系数，其值为 2．考虑受撞击构件质量时的应力和变形 如图，悬臂梁在自由端B受到重物 的撞击，在B端放置杆件的相当质量 。两物体碰撞后以共同速度 运动。由动量守恒得 撞击物的动能为 其中 设想重物G下落高度 时具有动能 ，则由 可知 则由 可知 。将 代替 带入 可得 确定相当质量。以在B受静力P时的挠曲线作为受冲击时的动挠曲线。 设梁单位长度的重量为 ，则 段的动能是 ，于是 即在自由端承受撞击时的相当质量是全梁质量的 。 第十二章 交变应力 授课学时：4学时 主要内容：交变应力与疲劳失效的概念；疲劳极限；构件的疲劳强度计算 $12.1交变应力与疲劳失效 1．交变应力 随时间周期变化应力。 应力比 （循环特征） 对称循环， 脉动循环， 静载荷 2．疲劳破坏 构件在交变应力下产生裂纹或断裂叫疲劳破坏。 3．疲劳破坏特点 （1）构件经过长期的交变应力作用，虽然应力远低于其静载下的极限应力，也可能发生断裂。 ，破坏。 （2）交变应力多次重复， 循环次数。 （3）构件的断裂是突然的，无任何明显的预兆。即使是塑性较好的材料，断裂前也无明显的塑性变形，呈现出脆性断裂。 （4）构件断口呈现出两个区域：粗糙区和光滑区。 $12.2交变应力的基本参数—疲劳极限 1．疲劳极限 （1） 曲线 在应力比一定的情况下，对一组（ 根）， 的试件，进行实验。分别在不同的 下施加交变应力，直到破坏，记录下每根试件破坏前经受的循环次数N。作出 曲线。此曲线为在应力比 下的 曲线。 （2）疲劳极限 经无限次应力循环而不发生破坏的最大应力值。 对于钢材， 曲线有一水平渐进线 。 为此材料在指定应力比 下的疲劳极限。 对应值 为循环基数。 ——对称循环疲劳极限 2．影响构件持久极限的主要因素。 （1）构件外形的影响 对于零件上截面有变化处，如：螺纹、键槽、轴肩等，在此处会出现应力集中，因此，会显著降低疲劳强度极限。一般用K表示其降低程度，即 ， 式中 、 分别为弯曲、扭转时光滑试件对称循环的疲劳强度极限； 、 分别为同尺寸而有应力集中因素试件的对称循环的疲劳极限。 （2）构件尺寸的影响 构件尺寸越大，材料包含的缺陷相应增多，指使疲劳极限降低，其降低程度用尺寸系数 表示，即 ， 式中 、 分别为光滑小试件在弯曲、扭转时的疲劳极限； 、 分别为光滑大试件在弯曲、扭转时的疲劳极限。 （3）构件表面质量的影响 加工精度在表面形成切削痕迹会引起不同程度的应力集中。加工表面的影响用表面加工系数 表示。 是指试件表面在不同加工情况下的疲劳极限与磨光时的疲劳极限之比。 因此，弯曲构件在对称循环下的疲劳极限是 扭转构件在对称循环下的疲劳极限为 $12.3构件的疲劳强度计算 1．对称循环下的疲劳强度计算 许用应力 强度条件为 ， 令 例 阶梯轴。材料为合金钢 ， ， ， 。轴在不变弯矩 作用下旋转。轴表面为切削加工。若规定 ，试校核轴的强度。 解：（1）最大工作应力 （2）确定应力集中系数 根据 ， ，查表得 ， 。 应力集中系数为 查表确定 ， 。 （3）求工作安全系数 满足强度要求。 2．不对称循环下的疲劳强度计算 （1）承受交变应力的工作安全系数 强度条件为 （2）对于受扭转的构件，工作安全系数为 （3）承受扭弯组合交变应力，工作安全系数为 例 上例中的阶梯轴在不对称弯矩 和 的交替作用下，并规定 。试校核轴的疲劳强度。 解：（1）求 、 、 、 。 （2）确定各种系数 ， ， ， （3）疲劳强度计算 ，故满足疲劳强度条件。