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材料力学 教案笔记.doc

材料力学 教案笔记

ole618
2011-04-19 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《材料力学 教案笔记doc》,可适用于高等教育领域

第一章:绪论第一章绪论$材料力学的任务.材料力学的任务在满足强度、刚度、稳定性的要求下为设计既经济又安全的杆件提供必要的理论基础和计算方法。.强度、刚度、稳定性的概念强度是指构件在载荷作用下抵抗破坏的能力。刚度是指构件在载荷作用下抵抗变形的能力。稳定性是指构件在载荷作用下保持原有平衡形态的能力。$材料力学的基本假设.连续性假设物体的结构是密实、无空隙的因而其力学性能是连续的。.均匀性假设物体内各点材料均匀分布其力学性能是均匀一致的。.各向同性假设物体内任一点处沿各个方向的力学性能都相同。.小变形假设材料力学研究的问题仅限于变形的大小远小于构件的原始尺寸的情况。在小变形条件下研究构件的平衡和运动时可以忽略构件的变形而按构件变形前的原始尺寸进行分析计算。$内力、应力、应变和截面法.内力指构件在外力的作用下内部相互作用力的变化量即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力称为“附加内力”简称“内力”。构件的内力随外力增加而增大但增加到某一限度时构件将发生破坏所以内力是有限度的这一限度与构件强度密切相关。使用截面法求解内力。.截面法()欲求构件某一截面上的内力时可沿该截面假想把构件切开成两部分弃去任一部分保留另一部分作为研究对象。()在保留部分的截面上加上内力以代替弃去部分对保留部分的作用。()根据平衡条件列平衡方程求解截面上内力的合力。.应力即为分布内力系在点的集度称为截面上点的应力。是个矢量。垂直于截面的应力称为“正应力”位于截面内的应力称为“切应力”。应力的单位是称为帕斯卡或简称帕()。.应变设物体内MN方向线段MN长Δs变形后M'N'长Δs+Δu线应变:剪应变:单元体的各棱边除可能有长度变化外还可能发生相互垂直的两棱边之间的直角的改变。其改变量称为剪应变也是无量纲量常用弧度来度量。$材料力学基本变形.轴向拉压杆件在大小相等、方向相反、作用线与轴线重合的一对力作用下变形表现为杆件的伸长与缩短。.剪切杆件受大小相等、方向相反且作用线靠近的一对力的作用在受力位置材料沿受力方向发生错动。.扭转在垂直于杆件轴线的两个平面内分别作用大小相等、方向相反的两个力偶距造成截面绕轴线相对转动。.弯曲在杆件轴线的纵向平面内作用方向相反的两个力偶矩或垂直轴线的横向力。变形表现为轴线由直线变成曲线。第二章轴向拉伸、压缩与剪切授课学时:学时主要内容:.轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力强度条件.胡克定律.用切线代圆弧法求解超静定桁架结点位移.简单拉压静不定问题的求解.剪应力、挤压应力强度条件的应用$轴向拉伸与压缩的概念.轴向拉伸与压缩的概念杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合变形是沿轴线方向的伸长和缩短。.力学模型$轴力、轴力图.轴力杆在轴向拉压时横截面上的内力称为轴力。轴力用N表示方向与轴线重合。求解轴力的方法:截面法。轴力的符号规则:N与截面的外法线方向一致为正反之为负。轴力为正杆件受拉轴力为负杆件受压。.轴力图:用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置即确定危险截面位置为强度计算提供依据例AB杆受力如图所示,已知。试求AB杆各段内并作轴力图解:()计算各段的轴力对AC段设置截面如图由平衡方程得对BC段由平衡方程得()按比例画轴力图.轴向拉(压)时横截面上的应力强度条件根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设可得横截面上只存在正应力。又因为材料均匀连续并且纵向纤维的伸长相同所以横截面上的正应力均匀分布。强度条件及其应用:例如图所示托架已知:AB为钢板条截面积cmAC为号槽钢横截面面积为A=cm。若求:各杆的应力。解:()以节点C为研究对象受力分析如图所示建立平衡方程解方程可得()计算各杆的应力AB和AC的应力为$材料拉伸时的力学性能.低碳钢拉伸时的力学性能材料的力学性能:就是材料在外力作用下所表现出来的变形和破坏等方面的特性。试件形状:()弹性阶段应力应变曲线上当应力增加到b点时再将应力降为零则应变随之消失一旦应力超过b点卸载后有一部分应变不能消除则b点的应力定义为弹性极限。在拉伸(或压缩)的初始阶段应力与应变为直线关系直至点此时点所对应的应力值称为比例极限表示为()屈服阶段在应力增加很少或不增加时应变会很快增加这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限。到达屈服阶段时在磨光试件表面会出现沿度方向的条纹这是由于该方向有最大剪应力材料内部晶格相对滑移形成的。()强化阶段材料经过屈服阶段以后因塑性变形使其组织结构得到调整若需要增加应变则需要增加应力。σε曲线又开始上升到最高点处的强度是材料能承受的强度极限。()局部变形阶段当低碳钢拉伸到强度极限时在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小形成缩颈现象。()截面收缩率和延伸率截面收缩率延伸率.铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时没有屈服和颈缩拉断时延伸率很小故强度极限是衡量强度的唯一指标。$材料压缩时的力学性能.低碳钢在压缩时弹性摸量和屈服极限与拉伸相似但压缩不会破坏只会越压越扁没有强度极限。.铸铁压缩时在较小变形时就会破坏并沿度方向破坏说明铸铁因剪切破坏。$失效与许用应力.失效原因脆性材料在其强度极限破坏塑性材料在其屈服极限时失效。二者统称为极限应力理想情形。极限应力:(极限应力是材料的强度指标)若工作应力为因此工作应力的最大允许值低于。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为一般工程中。.强度条件等截面杆$轴向拉伸或压缩的变形弹性定律.杆件在轴向方向的伸长为.沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为。.胡克定律当应力低于材料的比例极限时应力与应变成正比即这就是胡克定律。E为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得.横向应变为横向应变与轴向应变的关系为$轴向拉(压)杆静不定问题.静不定问题的概念对于杆件的轴力当未知力数目多于平衡方程的数目仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。.静不定问题的解法求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等这要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外还要建立若干个补充方程使其个数等于静不定次数。以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。()列A点的平衡方程()变形几何关系()力与变形的关系=(4)联立补充方程和平衡方程求解未知力例杆的上、下两端都有固定约束若抗拉刚度EA已知试求两端反力。解:()列杆的平衡方程杆的未知反力有和平衡方程只有一个。即()变形几何关系由于杆的上、下两端均已固定故杆的总变形为零即等于AC段变形等于BC段变形()力与变形的关系AC段其轴力对BC段其轴力由虎克定律      代入变形几何关系           即(4)联立补充方程和平衡方程求解未知力 解得  应该注意、方向可任意假设但在建立补充方程时杆件所受的力必须与产生的变形一致才能得到正确答案。.装配应力对于静定问题不存在装配应力但在静不定结构中由于杆件的尺寸不准确强行装配在一起这样在未受载荷之前杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。以下图为例进行讲解。.平衡方程.变形几何方程.物理方程联立方程得$应力集中的概念.应力集中等截面直杆受轴向拉伸或压缩时横截面上的应力是均匀分布的对于构件有圆孔、切口、轴肩的部位应力并不均匀并在此区域应力显著增大这种现象称为应力集中。(原孔洞应力向两旁分配造成应力分配不均匀。)应力系中系数名义应力(平均应力).应力集中对构件强度的影响塑性材料:由于塑性引起应力均布对静强度极限影响不大。对疲劳强度应力集中有影响。脆性材料:塑性材料没有屈服阶段载荷增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷也应考虑其影响。$剪切和挤压.剪切变形与挤压剪切变形的受力特点:作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力大小相等方向相反作用线相距很近。变形特点是:两个力之间的截面沿剪切面相对错动。可能被剪断的截面称为剪切面。               式中Q:剪切面上的剪力它与P的关系由平衡方程确定。A:剪切面面积(不一定是横截面的面积且与外载荷平行)挤压应力式中P:挤压面上的挤压力:挤压面面积(与外载荷垂直)过圆柱直径的横截面面积。.剪应力与挤压力的计算例齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=mm键的尺寸传递的力偶矩m=kNm键的许用应力许用挤压应力。试校核键的强度。解:()计算键所受剪力的大小将键沿截面nn假想切开成两部分并把截面以下部分和轴作为一个整体来考虑。nn截面上的剪力Q为由平衡条件得()校核键的剪切强度故平键满足剪切强度条件。()校核键的挤压强度键受到的挤压力为P挤压面面积由挤压强度条件故平键满足挤压强度条件。例拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为号钢直径厚度。试校核插销的剪切强度。若挤压许可应力为试校核插销的挤压强度。解:()计算键所受力的大小将插销沿截面mm和nn假想切开(双剪切面)。列平衡方程可得()校核键的剪切强度()校核键的挤压强度考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和dt故校核中段的挤压强度。第三章扭转变形授课学时:学时内容:外力偶矩的计算扭转剪应力推导过程圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度圆轴扭转变形时的刚度和变形(相对扭转角)计算。$扭转的概念.外力特征力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。.扭转变形受力特点杆件的两端作用着大小相等方向相反且作用面垂直于杆件轴线。.力偶变形特点各轴线仍为直线杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。.工程实例方向盘轴、传动轴。$扭矩和扭矩图.外力偶矩的计算N:功率:转速.扭矩和扭矩图()内力偶矩:杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号()内力偶矩计算截面法用截面将轴分成两部分按右手螺旋法则把T表示为矢量列出左部分平衡方程得到当矢量方向与截面外法线方向一致时T为正反之为负。对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况任一截面的内力偶矩等于其一侧所有外力偶矩的代数和()扭矩图表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形反应出值及其截面位置从而进行强度计算(危险截面)。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置纵轴表示扭矩大小。例传动轴如图主动轮A输出功率从动轮B、C、D输出功率分别为轴的转速为。试作轴的扭矩图。解:()求外力偶矩()求截面内扭矩在BC段内在CA段内在AD段内()画扭矩图$薄壁圆筒的扭转.薄壁圆筒的扭转实验试验前后比较现象:①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。得出结论:纵向截面和过轴线的截面上无正应力只有切于纵向截面的切应力。.薄壁圆筒的扭转的切应力应用截面法并考虑左侧的平衡方程得出.剪应力互等定理:由得由上式得出:在单元体相互垂直的两个平面上切应力必然成对存在且数值相等两者都垂直于两平面的交线方向则共同指向或背离该交线。.切应变剪切胡克定律切应变剪切胡克定律式中半径扭转角圆筒长度剪应变G剪切弹性模量。$圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算.变形几何关系圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设:圆轴扭转变形前的横截面变形后仍保持为平面形状和大小不变半径保持为直线且相邻两截面间距离不变。.物理关系胡克定律.力学关系其中称为抗扭截面模量是仅与横截面尺寸有关的量。.扭转强度和刚度分析为了保证圆轴安全可靠地工作应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力即根据圆轴扭转的强度条件可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。圆轴扭转时的刚度条件:为了消除长度的影响用表示扭转变形的程度令距离为的两个横截面之间的相对扭转角为对于阶梯轴(各段的极惯性矩不同)或轴上有几个外力偶作用时应分段计算每段的饿扭转角然后求代数和即为两端面间的扭转角例传动轴上有三个齿轮齿轮为主动轮齿轮和齿轮消耗的功率分别为和。若轴的转速为材料为钢。根据强度确定轴的直径。解:()计算力偶距()根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出齿轮与间的扭矩绝对值最大。例若上题规定且已知按刚度条件确定轴的直径并求齿轮对齿轮的转角。解:$扭转变形能.扭矩作功.扭转变形能和能密度$圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形.弹簧丝横截面上的应力修正公式:式中.弹簧的变形弹簧的变形是指弹簧在轴向压力(或拉力)作用下沿轴线方向的缩短量(或伸长量)用表示在弹性范围内压力P与变形成正比。令变形能等于外力作功即U=W于是有其中第四章平面图形的几何性质授课学时:学时内容:静矩和形心惯性矩惯性积平行移轴定理。$静矩和形心.静矩对于图形其面积为A。和为图形所在平面的坐标轴。则微面积在整个图形面积上对坐标轴的积分为称为图形对轴和轴的静矩或一次矩。.形心设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。则重心与平面图形的形心一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标和分别为从上式可以看出若图形对某一轴的静矩等于零则该轴必然通过图形的形心反之若图形对某一轴通过图形的形心则图形对该轴静矩等于零。当一个图形A由…等个图形组合而成的组合图形时由静距的定义得同理得$惯性矩、惯性半径和惯性积.惯性矩.惯性半径.惯性积$平行移轴公式图形对型心轴和的惯性距和惯性积分别为图形对型心轴和的惯性距和惯性积分别为由于上式得同理可得$转轴公式主惯性轴.两种坐标的转换.转轴公式的推导以和代入上式得到同理可得.主惯性轴对求导得若时得解出可以确定一对坐标轴和。上式代入到惯性积公式得。所以当坐标轴绕O点转到和位置时图形对坐标轴的惯性积等于零。这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为主惯性矩。对应着一个最大值一个最小值。第五章弯曲内力授课学时:学时主要内容:弯曲内力Q、M与q之间的微分关系Q,M方向的确定突变位置,方向,大小数值。$概述.平面弯曲受力特点是:所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。变形特点是:杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。.支承简化.静定梁的分类.载荷的简化集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶例求悬臂梁的约束反力。解:()分析受力受集中力P分布力q力偶m固定端简化为、、。()列平衡方程解得$梁横截面的内力剪力和弯矩.剪力和弯矩根据梁的平衡条件列以下方程得出静定梁在载荷作用下的支反力并将其作为已知量。作载面考虑左侧平衡列平衡方程。从上式可以看出截面上的剪力在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁轴的垂线(轴)上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力对于该截面形心的力矩的代数和。.剪力和弯矩方向的确定取梁内一小段dx其错动趋势为“左上右下”时对于剪力规定为正号反之为负号。对于弯矩在图所示的变形情况下小段的弯曲变形向下凹进截面的弯矩M规定为正号反之为负号。例已知求跨度截面中点截面E上的弯矩和截面C上的剪力。解:()求支座反力()列平衡方程求剪力和弯矩.剪力方程弯矩方程剪力图和弯矩图)剪力方程和弯矩方程一般情况下剪力和弯矩随截面位置变化则横截面上的剪力和弯矩可以表示为的函数。)剪力图和弯矩图以平行于梁轴的横坐标表示横截面的位置以纵坐标相应截面上的剪力和弯矩。例画出梁的剪力图和弯矩图解:()列平衡方程求支反力解得()求剪力和弯矩这是在AC段内的剪力方程弯矩方程这是在BC段内的剪力方程弯矩方程()画剪力图弯矩图$载荷集度、剪力和弯矩间的关系.弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系(右手坐标系)用坐标为和的两相邻截面从梁中截取出长为的微段其中为的截面的形心。在坐标为的截面上剪力和弯矩分别为和在坐标为的截面上剪力和弯矩则分别为。列出微段的平衡方程省略去上面第二式中的二阶微量整理后可得上式中就是载荷集度和剪力及弯矩间的微分关系。可以得出剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是:.Q、M图与外力间的关系)梁在某一段内无载荷作用剪力图为一水平直线弯矩图为一斜直线。)梁在某一段内作用均匀载荷剪力图为一斜直线弯矩图为一抛物线。)在梁的某一截面。剪力等于零弯矩有一最大值或最小值。)由集中力作用截面的左侧和右侧剪力Q有一突然变化弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。例外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论直接作剪力图和弯矩图。解:()求支反力。()分析剪力和弯矩A点右侧:。C点左:。C点右:。B点左:B点右:。D点左:第六章弯曲应力授课学时:学时主要内容:纯弯曲的正应力横力弯曲切应力。$梁的弯曲.横力弯曲横截面上既有Q又有M的情况。如AC、DB段。.纯弯曲某段梁的内力只有弯矩没有剪力时该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。.梁的纯弯曲实验()现象:横向线ab变形后仍为直线但有转动纵向线变变为曲线且上面压缩下面拉伸横向线与纵向线变形后仍垂直。()中性层:梁内有一层纤维既不伸长也不缩短因而纤维不受拉应力和压应力此层纤维称中性层。()中性轴:中性层与横截面的交线。$纯弯曲时的正应力.变形几何关系从梁中截取出长为的一个微段横截面选用如图所示的坐标系。图中轴为横截面的对称轴轴为中性轴。从图中可以看到横截面间相对转过的角度为中性层曲率半径为距中性层为处的任一纵线(纵向纤维)为圆弧曲线。因此纵线的伸长为而其线应变为纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。.物理关系梁的纵向纤维间无挤压只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时可由虎克定律得到横截面上坐标为处各点的正应力为该式表明横截面上各点的正应力与点的坐标y成正比。中性轴上各点的正应力均为零中性轴上部横截面的各点均为压应力而下部各点则均为拉应力。.静力关系横截面上坐标为的点的正应力为截面上各点的微内力组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量即平行轴的轴力对轴的力偶矩和对轴的力偶矩分别为考虑左侧平衡得横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩式中积分是横截面对中性轴的惯性距上式可写成为式中越大则曲率越小。因此称为梁的抗弯刚度。将该式代入即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式即以梁的中性层为界梁的凸出一侧受拉压力凹入的一侧受压。则截面上的最大正应力为$横力弯曲时的正应力.横力弯曲时的正应力横力弯曲时的细长梁即截面高度远小于跨度的梁横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式能够满足精度的要求。横力弯曲时弯矩随截面位置变化。一般情况下在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式引入符号则截面上最大弯曲正应力可以表达为强度条件为称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为:高为宽为的矩形截面:直径为的圆截面:.例题受均布载荷作用的简支梁如图所示试求:()截面上、两点的正应力()此截面上的最大正应力()全梁的最大正应力解:画M图求截面弯矩求应力$弯曲切应力.矩形截面中的弯曲切应力)矩形截面中的弯曲切应力假设大小:矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。方向:高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。)研究方法:分离体平衡。在梁上取微段dx在微段上再取一块如图列平衡方程:()()()()带入()、()得由剪应力互等得于是并时有.工字钢截面工字形截面可以看作由三个矩形截面组成因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式。将此式代入弯曲剪应力公式可得腹板上弯曲剪应力的计算公式将时在截面中性轴上时在腹板与翼缘的交带入上式得.圆形截面梁$梁的正应力和剪应力强度条件、提高弯曲强度的措施.弯曲正应力和剪应力强度条件梁在弯曲时横截面上一部分点受拉应力另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料其抗拉和抗压能力相同为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力常将这种梁做成矩形圆形和工字形等对称于中性轴的截面对于拉压强度不等的材料拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为例求T形截面梁的最大切应力。解:()求支反力()作剪力图()求最大切应力.提高弯曲强度的措施)梁的合理受力(降低最大弯矩)()合理放置支座(从设计方案考虑)双杠等强以剪支梁为例最大弯矩为若两端支座各向中心移动最大弯矩减小为()合理布置载荷(从使用方案考虑))合理设计截面形状(增大抗弯截面模量)()梁的截面优化对于宽高为的矩形抗弯截面模量。因此高度越大越大越小。在外边缘达到许用应力时中性轴附近的应力很小造成材料的浪费。例如:圆形截面。理想的情况是将面积之半分布于距中性轴为处。a塑性材料上、下对称抗弯更好抗扭差。b脆性材料采用T字型或上下不对称的工字型截面。)等强度梁截面沿杆长变化恰使每个截面上的正应力都等于许用应力这样的变截面梁称为等强度梁。由得若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h高度为x的函数b=b(x)。则得出按剪切强度确定截面宽度的最小值。由于变截面梁并不节省材料且加工麻烦因此采用阶梯梁(加工方便)。第七章弯曲变形授课学时:学时主要内容:推导积分法的求解过程边界条件的建立光滑连续条件的确定叠加法。$挠曲线近似微分方程.概念挠曲线:当梁在面内发生弯曲时梁的轴线由直线变为面内的一条光滑连续曲线称为梁的挠曲线。挠度:横截面的形心在垂直于梁轴(轴)方向的线位移称为横截面的挠度并用符号表示。转角:横截面的角位移称为截面的转角用符号表示。从图中可以看到截面的转角等于挠曲线以点的切线与轴的夹角。综上所述求梁的任一截面的挠度和转角关键在于确定梁的挠曲线方程.挠曲线近似微分方程梁轴的曲率半径与弯矩的关系为将微分弧段放大有如下关系:。由于挠度很小上式可以写成考虑到弯矩的符号与一致上式写成将代入上式得出$积分法求弯曲变形.转角和挠曲线方程对两侧积分可得梁的转角方程为再积分一次即可得梁的挠曲线方程式中和为积分常数它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。.积分常数的确定边界条件和光滑连续性固定端挠度和转角都等于零铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上有唯一确定的挠度和转角。例:所示简支梁受到集中力作用讨论它的弯曲变形。解:①求反力并列梁的弯矩方程②建立坐标系分两段列出梁的弯矩方程为:段段③对挠曲线近似微分方程积分将和两段的挠曲线近似微分方程及积分结果列表如下。段段确定积分常数积分常数、和、需要连续条件和边界条件来确定。即挠曲线在截面的连续条件为当时即:由上两式解得此外梁在、两端的边界条件为时时即:解得梁和段的转角方程和挠曲线方程列于下表:AC段CB段④求梁的最大挠度和转角在梁的左端截面的转角为在梁右端截面的转角为当时可以断定为最大转角。为了确定挠度为极值的截面先确定截面的转角若则转角。段挠曲线为光滑连续曲线而当转角从截面到截面连续地由负值变为正值时段内必有一截面转角为零。为此令即解得的转角为零亦即挠度最大的截面位置。由段的挠曲线方程可求得梁的最大挠度为$用叠加法求弯曲变形当梁上有几个载荷共同作用时可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形然后进行叠加即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。应用叠加法求梁的变形时若已知梁在简单载荷作用时的变形是很方便的。例起重机大梁的自重是集度为的均布载荷吊重为作用于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。解:()分解载荷均布载荷集中力()查表叠加均布载荷单独作用下集中力单独作用下在均布载荷和集中力共同作用下例将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B简化为铰支座P为切削力P为齿轮传动力。试求截面B的转角和端点C的挠度。解:()分解载荷集中力()计算在截面B处的剪力和弯矩()查表叠加截面因M引起的转角单独作用引起的转角转角叠加因转角引起的C处的挠度引起的C点的挠度C点挠度的叠加$简单超静定梁.求解步骤)判断静不定度)建立基本系统解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构(一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统))建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统))求解静不定问题.求解简单静不定结构例求超静定梁B处的支反力及中点C的挠度。解:去掉支座B代替以约束反力。物理关系(力与变形的关系)变形协调关系利用叠加法得第八章应力状态分析和强度理论授课学时:学时主要内容:斜截面上的应力二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。$应力状态概述单向拉伸时斜截面上的应力.应力状态过构件上一点有无数的截面这一点的各个截面上应力情况的集合称为这点的应力状态.单向拉伸时斜截面上的应力横截面上的正应力斜截面上的应力斜截面上的正应力和切应力为可以得出时时过A点取一个单元体如果单元体的某个面上只有正应力而无剪应力则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零称为二向应力状态。三个主应力中都不为零称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列即为。$二向应力状态下斜截面上的应力.​ 任意斜截面上的应力在基本单元体上取任一截面位置截面的法线。在外法线和切线上列平衡方程根据剪应力互等定理并考虑到下列三角关系简化两个平衡方程得.极值应力将正应力公式对取导数得若时能使导数则上式有两个解:即和。在它们所确定的两个互相垂直的平面上正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为代入剪力公式为零。这就是说正应力为最大或最小所在的平面就是主平面。所以主应力就是最大或最小的正应力。将切应力公式对求导令若时能使导数则在所确定的截面上剪应力取得极值。通过求导可得求得剪应力的最大值和最小值是:与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是:若则绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面。.主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系与之间的关系为这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为。$二向应力状态的应力圆.应力圆方程将公式中的削掉得由上式确定的以和为变量的圆这个圆称作应力圆。圆心的横坐标为纵坐标为零圆的半径为。.应力圆的画法建立应力坐标系(注意选好比例尺)在坐标系内画出点和与轴的交点C便是圆心以C为圆心以AD为半径画圆应力圆。.单元体与应力圆的对应关系)圆上一点坐标等于微体一个截面应力值)圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍)对应夹角转向相同.在应力圆上标出极值应力$三向应力状态.三个主应力三向应力圆的画法由作应力圆决定了平行于平面上的应力由作应力圆决定了平行于平面上的应力由作应力圆决定了平行于平面上的应力.单元体正应力的极值为最大的剪应力极值为$复杂应力状态的广义虎克定律.单拉下的应力应变关系.复杂状态下的应力应变关系三向应力状态等三个主应力可看作是三组单向应力的组合。对于应变可求出单向应力引起的应变然后叠加可得.体积胡克定律单元体变形后的体积为单元体变形后的体积为体积改变为其中为体积模量是三个主应力的平均值。为体积胡克定律。第九章组合变形授课学时:学时主要内容:拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。§–概述.定义在复杂外载荷作用下构件的变形会包含几种简单变形当几种变形所对应的应力属同一量级时不能忽略之这类构件的变形称为组合变形。.组合变形形式两个平面弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合扭转与弯曲。.组合变形的研究方法叠加原理对于线弹性状态的构件将其组合变形分解为基本变形考虑在每一种基本变形下的应力和变形然后进行叠加。.解题步骤外力分析:外力向形心简化并沿主惯性轴分解内力分析:求出每个外力分量对应的内力方程和内力图确定危险面。应力分析:画危险面应力分布图叠加建立危险点的强度条件。§–拉(压)弯组合例起重机的最大吊重。试为横梁AB选择适用的工字钢。解:()受力分析由得()作AB的弯矩图和剪力图确定C左侧截面为危险截面。()确定工字钢型号按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数查表取的号工字钢其横截面积为。在C左侧的下边缘压应力最大需要进行校核。固所选工字钢为合适。§–斜弯曲.斜弯曲概念:梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合这时杆件将在形心主惯性平面内发生弯曲变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内.解题方法)分解:将外载沿横截面的两个形心主轴分解于是得到两个正交的平面弯曲。)叠加:对两个平面弯曲进行研究然后将计算结果叠加起来。例矩形截面悬臂梁求根部的最大应力和梁端部的位移。解:()将外载荷沿横截面的形心主轴分解()外载荷在固定端两平面内的弯矩()应力由弯矩引起任意点C处应力由弯矩任意点C处应力()最大正应力在C处的应力叠加为()变形计算由引起的垂直位移由引起的垂直位移将、几何叠加得上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。§–弯曲与扭转的组合.外力向杆件截面形心简化P向轴心简化得一等值力和扭矩平面内的弯矩平面内的弯矩.画内力图确定危险截面在危险截面上与扭矩T对应的边缘上的切应力极值为与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为D点的主应力为.确定危险点并建立强度条件按第三强度理论强度条件是对于圆轴其强度条件为按第四强度理论强度条件为经化简得出对于圆轴其强度条件为第十章压杆稳定学时分配:共学时主要内容:两端铰支细长压杆的临界压力杆端约束的影响压杆的长度系数临界应力欧拉公式的适用范围临界应力总图、直线型经验公式使用安全系数法进行压杆稳定校核。$压杆稳定的概念.压杆稳定若处于平衡的构件当受到一微小的干扰力后构件偏离原平衡位置而干扰力解除以后又能恢复到原平衡状态时这种平衡称为稳定平衡。.临界压力当轴向压力大于一定数值时杆件有一微小弯曲一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后杆件不能恢复到原直线平衡位置则称原平衡位置是不稳定的此压力的极限值为临界压力。由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力的临界值称为临界压力(或临界力)用表示。.曲屈受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。$细长压杆临界压力的欧拉公式.两端铰支压杆的临界力选取如图所示坐标系。距原点为的任意截面的挠度为。于是有.挠曲线近似微分方程:将其代入弹性挠曲线近似微分方程则得令则有该微分方程的通解为式中A、B积分常数可由边界条件确定压杆为球铰支座提供的边界条件为和时将其代入通解式可解得上式中若A=则即压杆各处挠度均为零杆仍然保持直线状态这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此只有满足条件的值为则有于是压力为得到杆件保持微小弯曲压力临界压力于是可得临界压力为此式是由瑞士科学家欧拉(LEuler)于年提出的故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。此公式的应用条件:理想压杆线弹性范围内两端为球铰支座。$其他条件下压杆的临界压力欧拉公式的普遍形式为式中称为长度系数它表示杆端约束对临界压力影响随杆端约束而异。表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度称为相当长度。两端铰支一端固定另一端自由两端固定一端固定令一端铰支。例:试由一端固定一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程导出临界压力。解:由挠曲线的微分方程可得方程的通解为固定支座的边界条件是时时边界条件带入上面各式得解得作出正切曲线与从坐标画出的º斜直线相交交点的横坐标为弯矩为零的C点的横坐标$压杆的稳定校核.压杆的许用压力为许可压力为工作安全系数。.压杆的稳定条件例平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径油压。活塞杆长度材料为钢。试确定活塞杆的直径。解:()轴向压力()临界压力()确定活塞杆直径由得出()计算活塞杆柔度对号钢因为满足欧拉公式的条件。第十一章动载荷授课学时:学时主要内容:构件作匀变速运动时的应力与变形使用能量原理计算受冲击构件的动应力、变形。$概述静载荷载荷从零开始平缓地增加到最终值然后不在变化的载荷。动载荷载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷动响应构件在动载荷作用下的各种响应(应力、应变和位移)称为动响应。$构件作匀变速运动时的应力与变形.动静法按照达朗贝尔原理在原物体系上沿加速度相反方向加上惯性力则惯性力与物体上原有的外力组成一平衡力系即可按静力学方法处理动力学问题这就是动静法。.匀加速杆件的动载荷均布载荷的集度为截面中点弯距为应力为加速度为零时动应力可以表示为强度条件写成.在匀速转动圆环上的应用沿圆环轴线均布的惯性力的集度为。取半圆环为研究对象列平衡方程得、强度条件$使用能量原理计算受冲击构件的动应力、变形.不考虑受撞击构件质量时的应力和变形例设有重量为G的重物自高度处自由下落撞击梁上点。求其动应力。解:重物与梁接触时的动能与重力势能的关系:重物至最低点时位能减少失去总能量设在静载荷G作用下梁处的静变形为弹簧刚度系数为梁获得的弯曲应变能为利用U=E得为撞击系数其值为.考虑受撞击构件质量时的应力和变形如图悬臂梁在自由端B受到重物的撞击在B端放置杆件的相当质量。两物体碰撞后以共同速度运动。由动量守恒得撞击物的动能为其中设想重物G下落高度时具有动能则由可知则由可知。将代替带入可得确定相当质量。以在B受静力P时的挠曲线作为受冲击时的动挠曲线。设梁单位长度的重量为则段的动能是于是即在自由端承受撞击时的相当质量是全梁质量的。第十二章交变应力授课学时:学时主要内容:交变应力与疲劳失效的概念疲劳极限构件的疲劳强度计算$交变应力与疲劳失效.交变应力随时间周期变化应力。应力比(循环特征)对称循环脉动循环静载荷.疲劳破坏构件在交变应力下产生裂纹或断裂叫疲劳破坏。.疲劳破坏特点()构件经过长期的交变应力作用虽然应力远低于其静载下的极限应力也可能发生断裂。破坏。()交变应力多次重复循环次数。()构件的断裂是突然的无任何明显的预兆。即使是塑性较好的材料断裂前也无明显的塑性变形呈现出脆性断裂。()构件断口呈现出两个区域:粗糙区和光滑区。$交变应力的基本参数疲劳极限.疲劳极限()曲线在应力比一定的情况下对一组(根)的试件进行实验。分别在不同的下施加交变应力直到破坏记录下每根试件破坏前经受的循环次数N。作出曲线。此曲线为在应力比下的曲线。()疲劳极限经无限次应力循环而不发生破坏的最大应力值。对于钢材曲线有一水平渐进线。为此材料在指定应力比下的疲劳极限。对应值为循环基数。对称循环疲劳极限.影响构件持久极限的主要因素。()构件外形的影响对于零件上截面有变化处如:螺纹、键槽、轴肩等在此处会出现应力集中因此会显著降低疲劳强度极限。一般用K表示其降低程度即式中、分别为弯曲、扭转时光滑试件对称循环的疲劳强度极限、分别为同尺寸而有应力集中因素试件的对称循环的疲劳极限。()构件尺寸的影响构件尺寸越大材料包含的缺陷相应增多指使疲劳极限降低其降低程度用尺寸系数表示即式中、分别为光滑小试件在弯曲、扭转时的疲劳极限、分别为光滑大试件在弯曲、扭转时的疲劳极限。()构件表面质量的影响加工精度在表面形成切削痕迹会引起不同程度的应力集中。加工表面的影响用表面加工系数表示。是指试件表面在不同加工情况下的疲劳极限与磨光时的疲劳极限之比。因此弯曲构件在对称循环下的疲劳极限是扭转构件在对称循环下的疲劳极限为$构件的疲劳强度计算.对称循环下的疲劳强度计算许用应力强度条件为令例阶梯轴。材料为合金钢。轴在不变弯矩作用下旋转。轴表面为切削加工。若规定试校核轴的强度。解:()最大工作应力()确定应力集中系数根据查表得。应力集中系数为查表确定。()求工作安全系数满足强度要求。.不对称循环下的疲劳强度计算()承受交变应力的工作安全系数强度条件为()对于受扭转的构件工作安全系数为()承受扭弯组合交变应力工作安全系数为例上例中的阶梯轴在不对称弯矩和的交替作用下并规定。试校核轴的疲劳强度。解:()求、、、。()确定各种系数()疲劳强度计算故满足疲劳强度条件。

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