□ 初数新探□
关于三个几何不等式
江西省永修县第一中学 宋 庆
§1 Guba 不等式的推广
1969 年, S. G. Guba 建立了如下不等式 ( [ 1 ]中述
而未证) :
若 a、b、c、s 分别为三角形的三边长及半周长, 则
a- b
s- b +
b- c
s- c
+
c- a
s- a
≤0. ①
推广之, 笔者得到
定理 1 若 a、b、c、s 分别为三角形的三边长及半
周长, n 为自然数, 则
a
n
- bn
s- b +
bn- cn
s- c
+
c
n
- a
n
s- a
≤0. ②
证明: 由不等式②的轮换对称性, 我们不妨设
a≥b, a≥c. 于是,
bn- an
s- b +
c
n
- bn
s- c
+
a
n
- c
n
s- a
=
c
n
- bn
s- c
-
c
n
- bn
S - b +
a
n
- c
n
s- a
-
a
n
- c
n
s- b
=
(cn- bn) (c- b)
(s- b) (s- c) +
(an- cn) (a- b)
(s- a) (s- b)
=
(b- c) 2 (bn- 1+ bn- 2c+ ⋯+ cn- 1)
(s- b) (s- c)
+
(a- b) (a- c) (an- 1+ an- 2c+ ⋯+ cn- 1)
(s- a) (s- b)
≥0.
故不等式②成立.
§2 K lam k in 不等式的推广
1982 年,M. S. K lam k in 证明了一个十分有意义的
不等式 ( [1 ]中述而未证) :
若 a、b、c 为三角形的三边, k≥1, 则
a
k (b+ c) - a+
b
k (c+ a) - b+
c
k (a+ b) - c≥
3
2k - 1.
③
等号成立当且仅当 a= b= c.
经探究, 笔者发现: 当 a、b、c 为正数,
k> m ax ab+ c,
b
c+ a
,
c
a+ b 时, ③式仍成立.
进一步, 我们证得以下更好结果.
定理 2 若 a、b、c 为正数,
且- 1< Κ< m in b+ c
a
,
c+ a
b ,
a+ b
c
, 则
a
b+ c- Κa+ bc+ a- Κb+ ca+ b- Κc≥ 32- Κ, ④
等号成立当且仅当 a= b= c.
证明: 由题设, 知 b+ c- Κa, c+ a- Κb, a+ b- Κc 及
2- Κ均为正数. 于是, 在关于正数 x , y , z 的简单不等
式 (x + y + z ) ( 1
x
+
1
y +
1
z
) ≥9 中, 取 x = b+ c- Κa,
y = c+ a- Κb, z = a+ b- Κc. 可得
1
b+ c- Κa + 1c+ a- Κb + 1a+ b- Κc ≥
9
(2- Κ) (a+ b+ c) ,
∴ ab+ c- Κa+ bc+ a- Κb+ ca+ b- Κc
=
1
1+ Κ[ (a+ b+ c) ( 1b+ c- Κa+ 1c+ a- Κb
+
1
a+ b- Κc) - 3 ]
≥ 11+ Κ( 92- Κ- 3) = 32- Κ.
故不等式④成立, 当且仅当 a= b= c 时取等号.
于定理 2 中, 取 a、b、c 为三角形的三边长, Κ= 1k
(k≥1) , 便得 K lam k in 不等式③.
显见, 定理 2 还推广了一个广为流传的代数不等
式:
若 a、b、c 为正数, 则
a
b+ c+
b
c+ a
+
c
a+ b≥
3
2 . ⑤
§3 M o rghescu 不等式的类似
1986 年, Gh. M o rghescu 提出了下述不等式 ( [ 1 ]
中述而未证) :
若 a、b、c 为三角形的三边长, 则
b3+ c3- a3
b+ c- a +
c
3+ a3- b3
c+ a- b +
a
3+ b3- c3
a+ b- c ≤ bc + ca
+ ab.
这里, 笔者给出不等式⑥的一个类似.
定理 3 若 a、b、c 为三角形的三边长, 则
33中学数学教学参考 1997 年第 10 期
b2+ c2- a2
b+ c- a +
c
2+ a2- b2
c+ a- b +
a
2+ b2- c2
a+ b- c ≤a+ b+ c,
⑦
当且仅当 a= b= c 等号成立.
证明: b
2+ c2- a2
b+ c- a +
c
2+ a2- b2
c+ a- b +
a
2+ b2- c2
a+ b- c
=
(b+ c) 2- a2
b+ c- a +
(c+ a) 2- b2
c+ a- b +
(a+ b) 2- c2
a+ b- c
- 2 ( bcb+ c- a +
ca
c+ a- b+
ab
a+ b- c)
= 3 (a+ b+ c) - 2 ( bcb+ c- a +
ca
c+ a- b+
ab
a+ b- c).
因此, 不等式⑦等价于
bc
b+ c- a +
ca
c+ a- b+
ab
a+ b- c≥a+ b+ c.
由不等式⑧的对称性, 我们不妨设 a≥b≥c. 于是,
bc
b+ c- a +
ca
c+ a- b +
ab
a+ b- c - ( a + b + c )
=
(a- b) (a- c)
b+ c- a +
(b- c) (b- a)
c+ a- b +
(c- a) (c- b)
a+ b- c
≥ (a- b) (a- c)
c+ a- b +
(b- c) (b- a)
c+ a- b +
(c- a) (c- b)
a+ b- c
=
(a- b) 2
c+ a- b+
(a- c) (b- c)
a+ b- c ≥0,
故不等式⑧成立, 从而不等式⑦成立, 当且仅当 a
= b= c 时取等号.
注记 1 不等式⑧等于不等式[2 ]
a
2
b+ c- a +
b2
c+ a- b+
c
2
a+ b- c≥a+ b+ c. ⑨
注记 2 不等式⑥等价于
1
b+ c- a +
1
c+ a- b+
1
a+ b- c≥
a
bc +
b
ca
+
c
ab. βκ
不等式βκ很可能是一个新的不等式.
参考文献
1 D. S. M itrinovic, J. E. Pecaric and V. V o lenec, R e2
cen t A dvance in Geom etric Inequalit ies, K luw er A 2
cadem ic Pub lishers, 1989
2 宿晓阳. 数学问题 384. 数学教学, 1996, 1
3 李同林. W. Janous 不等式的幂指推广. 中学教研
(数学) , 1993, 11
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43 中学数学教学参考 1997 年第 10 期