关于三个几何不等式

　　□ 初数新探□ 关于三个几何不等式 江西省永修县第一中学　宋　庆 　　§1　Guba 不等式的推广 1969 年, S. G. Guba 建立了如下不等式 ( [ 1 ]中述 而未证) : 若 a、b、c、s 分别为三角形的三边长及半周长, 则 a- b s- b + b- c s- c + c- a s- a ≤0. ① 推广之, 笔者得到 定理 1　若 a、b、c、s 分别为三角形的三边长及半 周长, n 为自然数, 则 a n - bn s- b + bn- cn s- c + c n - a n s- a ≤0. ② 证明: 由不等式②的轮换对称性, 我们不妨设 a≥b, a≥c. 于是, bn- an s- b + c n - bn s- c + a n - c n s- a = c n - bn s- c - c n - bn S - b + a n - c n s- a - a n - c n s- b = (cn- bn) (c- b) (s- b) (s- c) + (an- cn) (a- b) (s- a) (s- b) = (b- c) 2 (bn- 1+ bn- 2c+ ⋯+ cn- 1) (s- b) (s- c) + (a- b) (a- c) (an- 1+ an- 2c+ ⋯+ cn- 1) (s- a) (s- b) ≥0. 故不等式②成立. §2　K lam k in 不等式的推广 1982 年,M. S. K lam k in 证明了一个十分有意义的 不等式 ( [1 ]中述而未证) : 若 a、b、c 为三角形的三边, k≥1, 则 a k (b+ c) - a+ b k (c+ a) - b+ c k (a+ b) - c≥ 3 2k - 1. ③ 等号成立当且仅当 a= b= c. 经探究, 笔者发现: 当 a、b、c 为正数, k> m ax ab+ c, b c+ a , c a+ b 时, ③式仍成立. 进一步, 我们证得以下更好结果. 定理 2　若 a、b、c 为正数, 且- 1< Κ< m in b+ c a , c+ a b , a+ b c , 则 a b+ c- Κa+ bc+ a- Κb+ ca+ b- Κc≥ 32- Κ, ④ 等号成立当且仅当 a= b= c. 证明: 由题设, 知 b+ c- Κa, c+ a- Κb, a+ b- Κc 及 2- Κ均为正数. 于是, 在关于正数 x , y , z 的简单不等 式 (x + y + z ) ( 1 x + 1 y + 1 z ) ≥9 中, 取 x = b+ c- Κa, y = c+ a- Κb, z = a+ b- Κc. 可得 1 b+ c- Κa + 1c+ a- Κb + 1a+ b- Κc ≥ 9 (2- Κ) (a+ b+ c) , ∴ ab+ c- Κa+ bc+ a- Κb+ ca+ b- Κc = 1 1+ Κ[ (a+ b+ c) ( 1b+ c- Κa+ 1c+ a- Κb + 1 a+ b- Κc) - 3 ] ≥ 11+ Κ( 92- Κ- 3) = 32- Κ. 故不等式④成立, 当且仅当 a= b= c 时取等号. 于定理 2 中, 取 a、b、c 为三角形的三边长, Κ= 1k (k≥1) , 便得 K lam k in 不等式③. 显见, 定理 2 还推广了一个广为流传的代数不等 式: 若 a、b、c 为正数, 则 a b+ c+ b c+ a + c a+ b≥ 3 2 . ⑤ §3　M o rghescu 不等式的类似 1986 年, Gh. M o rghescu 提出了下述不等式 ( [ 1 ] 中述而未证) : 若 a、b、c 为三角形的三边长, 则 b3+ c3- a3 b+ c- a + c 3+ a3- b3 c+ a- b + a 3+ b3- c3 a+ b- c ≤ bc + ca + ab. 这里, 笔者给出不等式⑥的一个类似. 定理 3　若 a、b、c 为三角形的三边长, 则 33中学数学教学参考　　　1997 年第 10 期 b2+ c2- a2 b+ c- a + c 2+ a2- b2 c+ a- b + a 2+ b2- c2 a+ b- c ≤a+ b+ c, ⑦ 当且仅当 a= b= c 等号成立. 证明: b 2+ c2- a2 b+ c- a + c 2+ a2- b2 c+ a- b + a 2+ b2- c2 a+ b- c = (b+ c) 2- a2 b+ c- a + (c+ a) 2- b2 c+ a- b + (a+ b) 2- c2 a+ b- c - 2 ( bcb+ c- a + ca c+ a- b+ ab a+ b- c) = 3 (a+ b+ c) - 2 ( bcb+ c- a + ca c+ a- b+ ab a+ b- c). 因此, 不等式⑦等价于 bc b+ c- a + ca c+ a- b+ ab a+ b- c≥a+ b+ c. 由不等式⑧的对称性, 我们不妨设 a≥b≥c. 于是, bc b+ c- a + ca c+ a- b + ab a+ b- c - ( a + b + c ) = (a- b) (a- c) b+ c- a + (b- c) (b- a) c+ a- b + (c- a) (c- b) a+ b- c ≥ (a- b) (a- c) c+ a- b + (b- c) (b- a) c+ a- b + (c- a) (c- b) a+ b- c = (a- b) 2 c+ a- b+ (a- c) (b- c) a+ b- c ≥0, 故不等式⑧成立, 从而不等式⑦成立, 当且仅当 a = b= c 时取等号. 注记 1　不等式⑧等于不等式[2 ] a 2 b+ c- a + b2 c+ a- b+ c 2 a+ b- c≥a+ b+ c. ⑨ 注记 2　不等式⑥等价于 1 b+ c- a + 1 c+ a- b+ 1 a+ b- c≥ a bc + b ca + c ab. βκ 不等式βκ很可能是一个新的不等式. 参考文献 1　D. S. M itrinovic, J. E. Pecaric and V. V o lenec, R e2 cen t A dvance in Geom etric Inequalit ies, K luw er A 2 cadem ic Pub lishers, 1989 2　宿晓阳. 数学问题 384. 数学教学, 1996, 1 3　李同林. W. Janous 不等式的幂指推广. 中学教研 (数学) , 1993, 11 欢　迎　订　阅 《中学生物教学》杂志 　　《中学生物教学》原名《中学生物教学参考》, 1994 年通过邮局公开发行. 三年多来, 在许许多 多读者、作者朋友的积极参与和具体帮助下,《中学生物教学》这棵出土的小苗已逐渐成长为枝 繁叶茂的大树, 并以其信息量大、内容充实、可读性强、图文并茂为特色, 在全国同类期刊中独领 风骚, 倍受读者青睐, 被誉为: 生物教师的参谋助手, 中学生的良师益友. 《中学生物教学》常设栏目有: 生物学研究进展、专题讲座、奥赛之窗、教改动态、教学研究、 教学视野、教材讨论、教学点滴、实践教学、命题研究、 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 评析、学法指导、教学资料、生物天地、 卫生保健、中学生之窗、生物学史等. 1998 年, 本刊将在上述栏目的基础上, 进一步加大“生物学 研究进展”、“奥赛之窗”以及“中学生之窗”3 个栏目的力度, 目的在于使广大读者通过本刊及时 了解生物学发展的动态, 欲以突出的实用性力助奥赛选手取得优异成绩, 进一步启迪和激励广 大青年学生学科学、爱科学、用科学、探索未来、创造未来的精神, 从而为今后从事生物科学研究 打下坚实的基础, 迎接生命科学世纪的到来. 在此, 竭诚欢迎广大中学师生积极撰写幻想和预测 未来生物科学发展方面的文章. 本刊为双月刊, 邮发代号是 52—124. 逢双月 15 日出版. 如果您因忙于事务而错过订阅时 间, 还可直接与我们编辑部联系, 届时我们也会为您提供及时、满意的服务. 本刊联系电话: (029) 5308009. 陕西师大　中学生物教学编辑部 43 中学数学教学参考　　　1997 年第 10 期