Euler不等式的加强
湖南数学通讯 1998年第4期
=案 - e 《 瓜 ⋯ 可
， =半 知( ¨肌
sin20+sin29+sin2 ≤
E ule
互
r
予
~
参 考 文 献
采 庆
(江西省永修一中 330304)
本文记aABC的半周长、外接圆和内切
圆半径分别为 P、R
．
和 r-
1967年，LJ Ba日kc 一 洛杉l矶的一名牙
科医生在《Mat}I Ma 上将F_,ule 不等式粤≤2
I ‘
，
’
加强为 ‘
点+古≤{． ‘ 一 t—...
湖南数学通讯 1998年第4期
=案 - e 《 瓜 ⋯ 可
， =半 知( ¨肌
sin20+sin29+sin2 ≤
E ule
互
r
予
~
参 考 文 献
采 庆
(江西省永修一中 330304)
本文记aABC的半周长、外接圆和内切
圆半径分别为 P、R
．
和 r-
1967年，LJ Ba日kc 一 洛杉l矶的一名牙
科医生在《Mat}I Ma 上将F_,ule 不等式粤≤2
I ‘
，
’
加强为 ‘
点+古≤{． ‘ 一 t—1) ≤ ‘ ，
不久前，笔者在证明(I)式时发现了与其
类似的 个结果． ．
定理 1 在AABC中，有 _1
+言≥ ， (2)
当且仅当AABC为iE---角形时取等号．
证明 根据常见不等式 P≥3 3，及均
值不等式，可得
．
+言= 27r+( + t
J
26 2 28
≥丁 了 ⋯
证毕． ．
由常见不等l式曼≥ P和‘(2)式，我们
可将 Euler不等式加细为：
＼ ＼
) ／
≥ ≥寺 + )≥2 (3)
井旦，我们带测下式成立-
．古≥ ． (4) ≥ ‘ L ，
19 年，浙江张善立在<中等效群》上给
出了在条件lA≥鼻 c下成立构不等式：
c0s(A—c)≤吉+素． (5)
受其证明之启发，笔者得到 ，-
liEti2 在 ABC中，有
≥z一{雠2譬 ， ， ，
： 、 (6)
证明 不妨设。ec2 {兽是(6)式大括号
● ’ ●
内的撮大者，故只要证
粤≥2 c2 (7)
根据常见恒等 c?搴A+eost~+ccsC=1
+亩r，知(7)式等价 ．
÷墨≥2(cosA+∞s占+o0 c—I)
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1998年第4期 湖南数学通讯
甘 c 尘 ≥4sin号cos 一4s 号 cos(A—B)≥4瓦r—l (8)
- 2sin弘 o． sin2孚 n2
因此，(6)式字立_证毕- ≤3(1一等)． (9) 式可推得以下两式。
等茂 i 、 ．2 明， 暂
一 个不等式猜想的证明
0 陈真雄 陈 仁 P—————～—————’ 、～
(瑚南教育学院数学系 22班 4lo0l2)
文[1]提出如下不等式猜想：
猜想一 设 aI>0，i=I，2，---， ，3≤n∈N，证明或否定
，(n)= ——— —． ．．—— ．．．————．—————．．— !j ——————————— ————————————— —一
l 4-口【4- l02+⋯ 4-口i'a2⋯ n 一2+010．2⋯ 口n一
+ =『
+ ÷ 等 +
Ⅱ JL— I’
■
_■ 一，+。 I⋯
文[1]作者指出：当 n=3时已给出初等
证明，当 ≥4时仍为猜想，文【2)否定了该
猜想，并进一步提出如下的猜想：
猜想二 设 d1>0， 1，2，⋯，n，4≤n
∈Ⅳ．证明或否定：
(i (n)《1 (当口I≥l，i=1，2，⋯，n
时)．
(1l ( )≥l (当nI≤l， =1，2，⋯，n
时)．
文[3]否定了猜想(_I)．证明了当 n≥4
≤ 1
x
(n∈Ⅳ)时，猜想(i)成立，井将猜想< ¨ 归
纳为如下的猜想 ：’ ·‘
猜想三 设 1≤nI≤4，i=1，2 ⋯，n，4
≤ ∈Ⅳ．证明或否定：，(口)≤1．
笔者将猜想一、二、三综合一起，改为如
下的猜想四，井午以证明
猜想四 设 n≥l， =l，2，3，⋯，n，3≤n
∈N，则^。)≤1．
证明 不妨设 L≤口I≤。2≤啦≤⋯≤
‰一l≤n ，则
一
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