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第03讲 韦达定理.doc

第03讲 韦达定理

q1946129
2011-04-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第03讲 韦达定理doc》,可适用于初中教育领域

第章韦达定理第讲韦达定理没有不能解决的问题韦达知识方法扫描韦达定理即一元二次方程的根与系数的关系是方程理论的一个重要的内容。运用这个定理我们可以不解方程就可以确定根的符号、可以求出关于两根的对称式的值可以构造以某两个数为根的一元二次方程等等在运用韦达定理解题时首先要注意运用判别式判断这个方程有没有实数根。必要时要将韦达定理与判别式综合运用。要掌握将一个关于两根的对称式如xnxn转化为两个基本对称式xx与xx的方法。在求关于两根的非对称式的值时除了运用根与系数的关系得关系外还要注意运用根的定义来解题。经典例题解析例(年全国初中数学竞赛试题)设实数s、t分别满足ss=tt=,并且st≠。求解因为s≠所以第一个等式可以变形为又因为st≠,所以t是一元二次方程xx=的两个不同的实根于是有即st=s,t=s∴例(浙江省第二届初中数学竞赛题)设方程xpxq=的两实数根为a、b且有I=ab,I=ab,…In=anbn,求当n≥时InpInqIn的值。分析直接求解犹如“海底捞针”若利用方程根的意义求解不仅能以简驭繁且有出奇制胜之妙我们知道x=x是方程axbxc=的根利用它显得思路清晰运算简捷。解InpInqIn=(anbn)p(anbn)q(anbn)(n≥)=(anpanqan)(bnpbnqbn)=(apaq)an(bpbq)bn==例(年第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)已知α、β是方程xx=的两根且α>β不解方程利用根与系数的关系求的值分析待求式是已知一元二次方程根的非对称式我们可以设法构造一个待求式相应的代数式一起参与运算从而使问题迅速获得解决解设∵α、β是方程xx=的两根且α>β∴αβ=αβ=βα=∴AB==(βα)αβ=①AB==②①②得:A=∴A=故例(年山东省初中数学竞赛试题)设方程x·x=的较大根是r方程xx=的较小根是s求rs的值解因·=故是方程x·x=的根由根与系数的关系知两根之积为负所以是方程x·x=的较大根,r=因xx=,故也是方程xx=的根由根与系数的关系知两根之积为所以是方程的较小根s=故rs==例(年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知关于x的一元二次方程axbxc=没有实数根甲由于看错了二次项系数误求得两根为和乙由于看错了某项系数的符号误求得两根为和求的值解甲看错了二次项系数设他所解的方程为a′xbxc=于是有:故 ①设乙看错了一次项系数的符号则他所解的方程为axbxc=于是=  ②由①②知△=bac=b··(b)=b≥与题设矛盾故乙看错的只是常数项即他所解的方程为axbxc=则=  ③由①③可知:例(年全国初中数学竞赛预选赛黑龙江预赛试题)设aa=bb=,且ab≠求的值。解将aa=bb=分别整理得(b)b=于是可以得到以,b(≠b)为两根的一元二次方程:xx=。所以b=,•b=故==()=例(年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)设方程xpxq=的两根分别比方程xqxp=的两根大且方程xpxq=的两根之差与方程xqxp=两根之差相等求这两个方程的解。解设方程xqxp=两根为αβ则方程xpxq=的两根为α,β,由韦达定理得:②×③,得:αβαβ=⑤①④×,得:αβ(αβ)=⑥⑤×⑥得αβ=⑥⑤得:αβ=故α=β=α=β=。∴xqxp=的解为xpxq=的解为例(年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题)已知实数abc满足:abc=abc=()求abc中的最大者的最小值()求的最小值解()不妨设a是abc中的最大者即a≥ba≥c由题设知a>且于是bc是一元二次方程的两实根≥即≥≥.所以a≥.又当a=b=c=时满足题意故abc中最大者的最小值为()因为abc>所以abc为全大于或一正二负①若abc均大于则由()知abc中的最大者不小于这与abc=矛盾②若abc为一正二负设a>b<c<则由()知a≥故a≥当a=b=c=时满足题设条件且使得不等式等号成立故的最小值为同步训练一.选择题.(年重庆市初中数学竞赛试题)设方程xax=的两根之差的绝对值为则a等于(A)(B)(C)±(D)±.(第七届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)若m、n是二次方程xx=的两根那么(mm)(nn)等于(A)(B)(C)(D).(年江苏省初中数学竞赛试题)已知m–m=,nn=,其中m、n为实数则|m|=(A)(B)(C)(D)或.(年黄冈市初中数学竞赛试题)若实数a,b,c满足abc=,abc=c>,则()(A)ab<(B)|a||b|≥(C)|a||b|≥(D)<|a||b|≤.(年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题)已知实数且满足则的值为()(A)(B)(C)(D)二.填空题.(年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知实数xx满足xx=和xx=求的值为.(年全国初中数学竞赛预选赛辽宁赛区试题)已知方程mx(m)x=有两个不相等的实数根x、x设S=则S的取值范围是.(年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)若xx的两个根为α、β它也是方程xpxq=的两个根则p=.(年全国初中数学通讯赛试题)设a、b是整数方程xaxb=有一个根是,则ab=.(年四川省初中数学联赛题)若方程xx=的两根α、β也是方程xpxq=的根则pq=。三.解答题.(年河北省初中数学创新与知识竞赛预赛试题)已知关于x的一元二次方程xxaa=(a>)。()​ 证明这个方程的一个根比大,另一个根比小()​ 若对于a=,,,…,相应的一元二次方程的两个根分别为,,…,,求…的值.(年昆明市初中数学竞赛试题)方程(x)×x=的较大根为m,xx=较小根为n,求mn的值。.(年河南省初中数学竞赛试题)当n=,,…,时关于x的一元二次方程n(n)x(n)x=的根为an,bn,试求:()|ab||ab|的值。()|ab||ab|…|ab|的值。.(年湖北省初中数学竞赛试题)已知关于x的方程xnxn=①x(n)xn=②问是否存在这样的n值使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?若存在求出这样的n值若不存在请说明理由。.(年山东省初中数学竞赛试题)已知方程xaxaa=与方程xaxaa=有且只有一个公共根。求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程xaxaa=的根。同步训练题参考答案C因为即a=解得a=±C∵m、n是二次方程xx=的两个根∴mm=,nn=并且有mn=,mn=于是(mm)(nn)=(mmm)(nnn)=(m)(n)=(mnmn)=,D∵n≠∴若m≠∴mm·∴|m|=,B由abc=,abc=知a,b,c三数中有一个正数两个负数。因c>,故a,b均为负数。由ab=cab=可知a,b是方程xcx=的二根。其判别式⊿=c·≥,于是c≥,c≥|a||b|=|ab|=|c|=c≥B由题设a、b是关于x的方程的两个根整理此方程得。∵∴故a、b均为负数因此.或如果x=x那么=如果x≠x那么xx是一元二次方程tt=的两根xx=xx=。于是===.S≥且S≠⊿=(m)m·≥,m≥且m≠。xx=xx=S====m,于是S≥且S≠.由题设知:αpαq=①,βpβq=②,①②,得:(αβ)p(αβ)=,(αβ)(αβp)=。∵α≠β∴αβp=,p=(αβ)αβ=.∵∴。由根与系数的关系得:∴a=,b=故ab=。.∵α、β是方程xpxq=的根故有①由于xx=的判别式△=()=>,∴α≠βα≠β,解方程组①得:。又由韦达定理得:αβ=αβ=。∴p=αβ=(αβ)αβ=,q=(αβ)=,∴pq=()设方程的两个根分别为x,x,则xx=,xx=aa,(x)(x)=xx(xx)=aa=a(a)因a>,故(x)(x)<,即方程的一个根比大,另一个根比小()对于a=,,,…,,相应的一元二次方程分别为xx×=,xx×=,xx×=,…,xx×=故=,=×=,=×=,=×…,=,=×…=…===.∵方程(x)×x=的系数和×=∴x=是方程的一个根由韦达定理得另一个根x=,故m=又∵方程xx=可化为(x)(x)=,∴方程的两个根为x=和x=故n=,∴mn=.∵△=(n)n(n)=>∴an,bn是方程的两个不相等的实数根。由韦达定理得:anbn=,an·bn=。∴|anbn|==()|ab||ab|=。()|ab||ab|…|ab|==.∵△=(n)××(n)=(n)>∴方程①有两个不相等的实数根。设方程①的两根为α、β则αβ=n,αβ=,∴(αβ)=nn,方程②的两个根:x=n,x=n,。若x为整数则nn=n,∴n=,n=,当n=时x=n=nn=n,∴n=n=,当n=时x=,∴n=,第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根。.设方程xaxaa=的两根为α、β方程xaxaa=的两根为α、γ其中α为两方程的公共根则αaαaa=,①αaαaa=②①②,得(aa)αa(aa)=,因为两个方程只有一个公共根所以a≠a,解得a=a由根与系数关系得aβ=a,aβ=aa,aγ=aa,所以β=a,γ=a,aaa=因为βaβaa=aaaaa=a(aaa)=,γaγaa=aaaaa=a(aaa)=,所以β、γ是方程xaxaa=的两根

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