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首页 华师大三版数学分析答案(下)

华师大三版数学分析答案(下).pdf

华师大三版数学分析答案(下)

xiu_zhijun
2011-04-17 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《华师大三版数学分析答案(下)pdf》,可适用于自然科学领域

书书书!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!号连接起来的表示式!"!!#!!"!!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!##总存在自然数#使得当#和任意的自然数’#都有$!!"!!!#!!!!’$!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!#对任何自然数#都存在#和自然数’#有$!!"!!!#!!!!’$!由此易得)若级数!收敛#则’()’!$*)*,三!正项级数收敛性的判别方法"正项级数!"!!#!!!"!收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有(")##比较判别法比较原则的极限形式达朗贝尔判别法’或称比较判别法(比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#柯西判别法’或称根式判别法(根式判别法的极限形式积分判别法拉贝判别法"拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##莱布尼兹判别法阿贝尔判别法狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!")"收敛’*"#(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!*"!")""#*#"!"")#’("易知)"$"$#"")#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#""")#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!")"收敛’*"#(#$例"!设’,(在点,的某一邻域内具有连续的二阶导数#且’(,’’,(,#证明)级数"$"$"’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由’(,’’,(,#又’,(在,的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出’(#!’(将’,(在,的某邻域内展成一阶泰勒公式’,(’(!’(,!"#’"(,#"#’"(,#!’"在与,之间(又由题设’,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()##使$’,($)!#于是$’,($"#$’"($,#)!#,#令,""#则$’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!!’中山大学##年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列"####"#都有’("’!$’*"!"!*"!#!!*"!"(#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!##(##当"#及*#有$*"!"!*"!#!!*"!’$!特别地$*"!"!*"!#!!*"!"$!所以’("’!$’*"!"!*"!#!!*"!"(充分性!用反证法#若"*"发散#则(!##*##("#及自然数’#使$*""!"!!*"!’$!特别地""#(""#"及自然数"使$*"!"!!*""!"$!#(!""##"#("####及自然数##使$*""!"!!*"#!#$!这与’("’!$’*"!"!*"!#!!*"!"(的假设矛盾#$题"!’同济大学##年(证明)级数"$"$"’"("’),"*,,都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,##则(,##当"#,时#,"###此时’),"##且’),!""为单调递减数列#且’("’!$’),"#由莱布尼兹判别法知"$"$"’"("’),"收敛#而当"#,时#’"("’),"’),"##’("’!$’),",""#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"’),"也发散#所以*,,#级数"$"$"’"("’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!"!级数的收敛性"证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*"*"""""*""’"(’""(’#(’"#"(’"##"#(’"#"""(’(""$"$""’""(’"#(’(""$"$’"!##"!"!"(’(""$"$#""#"!分析!’"(进行积分和差的转化#’(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"$"""’(’"($""$""’"""($"’""""(于是($’("’$("$"#故级数收敛且其和为"’#(("$"$""’"#"($"$"""#"$"""$"#"#""""#""""""$#"#""#"于是($’("’$("$##故级数收敛且其和为#’(("$"$"""’"(’#($"#"$"","’"("’"(’#($"#,"#"’""(’"#(于是($’("’$("$"#故级数收敛且其和为"’(("$"$""’!##!"!($"$""’!#!"("$""’!"!($’"!#!#(’"!""($"!#""!#"!"于是("$’("’$("$"!##故级数收敛且其和为"!#’(("$#("("$"$""#"#""$""#"#$""$#"#"#""$""#"#$""$"""###""#"*$*第十二章!数项级数$"""#""""##""#"$"#"##""#"’"#(于是($’("’$("$#故级数收敛且其和为#证明)若级数"!"发散#,#则"!"也发散!证明!因为级数"!"发散#即(!##对任何:#总有:和’:使!"!#!’!所以!"!#!’$!"!#!’!于是"!"亦发散设级数"!"与""都发散#试问"’!""(一定发散吗又若!"与"’"$"###(都是非负数#则能得出什么结论!解!若"!"#""都发散#则"’!""(不一定发散例如#""和"’"(是发散的#但"’"’"((是收敛的""和"#是发散的#"’"#($"亦是发散的若"!"#""都发散且!#"#则"’!""(发散由柯西收敛准则#知(!#!"##对任何的:#总存在#’#":#使!"!#!’$!"!#!’!和"""#"’"$"""#"’"!"故’!""(’!##(’!’’($’!"!#!’(’"#’(!即"’!""(必发散证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"*""($*"*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即’("’$*"$*#故("$"$""’**"($*"*""从而($’("’$("$’("’$’*"*""($*"’("’$*""$*"*证明)若数列!""有’("’$"$$#则’"(级数"’"""(发散’#(当",时#级数"""""’("$""分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"$""’"($"""($’("’$("$’("’$’"""($$**!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’"""(发散’#(当",时("$"$""""’("$"""""即($’("’$("$""’("’$"""$""故级数"""""’("收敛于""应用第#题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*""(’*"(!!!!!!’#(""$"$’"(""#"""’""(’(""$"$#""’"#"(,’""(#"!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’(识记’("’$""#$#!解!’"(因为""$"$"’*""(’*"($""$"$"*"""*’("而数列"*"!""收敛于#故由第题的结论#可知""$"$"’*""(’*"($"*""$"*’*,(’#(因为""$"$’"(""#"""’""($""$"$,’"(""’’"(""""(而数列’"("!""收敛于#故""$"$’"(""#"""’""($’"(""$"’(因为""$"$#""’"#"(,’""(#"$""$"$,""#""’""(#"而数列""#!""收敛于#故""$"$#""’"#"(,’""(#"$""#"$"#应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("’)#"#"!!!!’#("’"("""##"#"’("’"(""’(""""!#分析!’"(运用柯西准则进行判别#’(注意取"时#应考虑合适的取法#**第十二章!数项级数解!’"(由于!!"!#!’$’)#"#"’)####’)#’#’!!"#""##"#’$"#"#’"#因此#对任意的!#取$<#",!使得当#及*’:#由上式就有!"!#!’!成立#故由柯西准则可推出"’)#"#"收敛’#(因’("’$’"("""##"#"$"##"#故取!$"对任一:#总存在##和’$"#有!"$’"(##’"(#"#"$!由柯西准则可知"’"("""##"#"发散’(由于数列"!""单调减小#故!"!#!’$"""#’"(’""’"""因此#*!##取$",!"当#及’:时#都有!"!#!’!成立由柯西准则可知级数"’"("""收敛’(取!$"!##*:#及取$##’$#则当#时#就有"$"’"’(’(!##"$"’"#’(!#$"’$""!#’(#"$"’"!#’($"!##由柯西准则知""""!#发散证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数#对一切"#总有!!"!"!!分析!由结论!!""的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!##(":使得*"##"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#!"!#!"!取#""#则*"##有!!"!"!充分性!若*!##(:#*"##总有!!"!"!#则*#及’:有!!"!#!’)!!"!’!!"!!#!#$!由柯西准则知级数"!"收敛!小结!"#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件’("’$’!""!"’($#此级数仍可能不收敛!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有’("’$"""""#""’(’$’("’$"""’("’$""#’("’$""’$但该级数""#是发散的"设级数"!"满足)加括号后级数"$"$’!""!"#!""(收敛’""$(#且在同一括号的!""#!"###!""符号相同#证明"!"亦收敛分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"$"$’!""!"#!""(收敛#则有’("’$’!""!"#!""($所以*":#总存在:#使"$"’"))"""(时#有("$":$""!"$":$""’!":"!":#!":"(’!""!"#!"($("’!""!"#!"(其中("表示加括号级数的前"项之和当"’$时#"’$#从而有($’("’$("$’("’$("’("’$’!""!"#!"($’("’$("故"!"收敛#其和不变小结!此题根据’$时和(与("的极限一样得出结论##正项级数"应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#*#!!!!!!!!!!’#("#"’)#"’(""""!#’(""$#$"’)"("’("’"=""(’(""""!"’("’"!*"(’*#"(’(""$#$"’)"()"’("’*""*""#(’*#(!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑’)#"*#"$#’#("#’(识记"""数列是发散的#’(先做代换$""#!解!’"(因为)""#*#""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#*#收敛’#(因为#"’)#"$#’(#"!’"’$(而正项级数"#’(#"收敛#所以级数"#"’)#"收敛’(因为"""!#"""而正项级数""""发散#所以级数""""!#发散’(因为"’)"(""#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’)"("收敛’(因为"=""$"#"’("#’"’$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""="’("收敛’(因为’("’$"!"$"#故(:#当"#时#有"!"#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散所以级数""""!"发散’(因为’("’$"!*"""令$""’(’*"$’(’*)*"$)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*"(发散’(因为"’)"()"$">)’)"()"$"’>)"()’)"($"")’)"(""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’)"()"收敛’(因为’("’$*""*""#’"#"(#$’("’$’*"#"*"#"(#’"#"(#令$"#"’(’**’(#$’#)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""*""#(收敛#用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""***’#""("!!!’#("’""(""’("’"#""("’(""""’(""##"’(""*"""’("*’(""’其中*"’*’"’$(*"##*##且#*,(分析!’(运用到’(,’’",(",$>知识点#’(根据*不同取值情况考虑#解!’"(因为!’("’$!""!"$’("’$"***’#""(’""(*""***’#""($’("’$#""""$#所以由比式判别法知正项级数""***’#""("发散’#(因为’("’$!""!"$’("’$’"#("""*""’""($’("’$"#"$$所以由比式判别法知正项级数"’""(""发散’(因为’("’$"’"#""(!"$’("’$"#""$"#"所以由根式判别法知正项级数"’"#""("收敛’(因为’("’$!""!"$’("’$’""(’""(""*"""$’("’$"’"""("$">"所以由比式判别法知正项级数""""收敛’(因为’("’$"!!"$’("’$""!##$’("’$’"!"(##$"#"**!*第十二章!数项级数所以由根式判别法知正项级数""##"收敛’(因为’("’$!""!"$’("’$""’""(’""(""*""""$’("’$’"""("$>#"所以由比式判别法知正项级数"""""发散’(因为’("’$"!!"$’("’$*"$*所以由根式判别法知#当*#时#正项级数"’*"("收敛当*时#正项级数"’*"("发散设"!"和""为正项级数#且存在正数#对一切"##有!""!")"""证明)若级数""收敛#则级数"!"也收敛若"!"发散#则""也发散!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若""收敛#由题意#知当"#时#有!""!")"""#即!"""")!""))!""故!"")!""*""!’"#(而!""是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛若正项级数"!"发散#同理可证正项级数""亦发散设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛试问反之是否成立!证明!由正项级数"*"收敛可知!!’("’$*"$即(:#当"#时#有!!)*""从而)*#"*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散设*"#"$"####且!"*""有界#证明"*#"收敛!分析!注意条件$!"*""有界#可由此设)"*")再进行证明#!证明!由题意可知()##*":#有)"*")*!!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#即)*")"从而)*#")#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#(也收敛!证明!对*"#及任意正整数"#有*"")"#*#"""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"!"也收敛!分析!注意运用!*)"#’*(#!证明!对!"##及任意正整数"#有)!"!"!")"#’!"!""(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"!"收敛利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(’("’$""’"(#$!!!’#(’("’$’#"(*"$!’*#"(!解!’"(设!"$""’"(##则正项级数"!"$"""’"(#是收敛的#这是因为’("’$!""!"$’("’$’""("",’""(#*’"(#""$’("’$"""""’(""$故由柯西准则可知’("’$!"$’("’$""’"(#$’#(设!"$’#"(*"则正项级数"!"$"’#"(*"是收敛的#这是因为’("’$!""!"$’("’$’#’""((*’""(**"’#"($’("’$’#""(’#"#(*""$故由柯西准则知’("’$!"$’("’$’#"(*"$用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#"!!!!!!!’#("""#"’(""$""")")’)"(’(""$$""’)"(’’))"(<#!分析!’(运用积分判别法#’(分别讨论’<的不同取值情况#!解!’"(设’,($",#"*"!*第十二章!数项级数则’,(在,"#$(上为非负递减函数#而$",",#$#故由积分判别法知"""#"收敛’#(设’,($,,#"则’,(在,"#$(上为非负递减函数#而’(,’$,*,,#"$"由$",,#",发散#于是由积分判别法知"""#"发散’(设’,($",),)’),(则’,(在,#$(上为非负递减#而$’,(,$$,,),)’),($$))!!$$故由积分判别法知""$""")")’)"(发散’(设’,($",’),(’’)),(<则’,(在,#$(上非负递减$(若’$"#这时有$,,),’)),(<$$))!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散(若’,"#这时有$,,’),(’’)),(<$$))!>’’"(!!<对任意的<#当’"#时#取#"#有’(!’$!*">’’"(!!<$即该积分收敛#当’"时#有’(!’$!*">’’"(!!<$$即该积分发散即对任意的<#当’#"时级数收敛当’"时级数发散"设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#*#同时收敛或同时发散!分析!首先证明(")="#即可证="收敛("收敛证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#*#的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#("$*"’*#*(’****(*")*"’*#*(’****(’*#*#""()*"#*##*#$=!’")#(故若正项级数"#*#收敛#则正项级数"*"亦收敛反之当"#时#则("*"*#’**(’*#""*#(#"#’*"#*#*#*#($"#=故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#*#亦收敛发散的情况类似可证!小结!需要对"的取值分类讨论#""用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""***’#""(#***’#"(*"#""’#(""’,"(’,#(’,"(!’,#(!解!’"(因为!’("’$""!""!’("$’("’$,""***’#""(#***’#"#(*’#"(*#***’#"(*’#""("***’#""($’("’$"’"(’#"#(’#"($##"所以由拉贝判别法知级数收敛’#(因为!’("’$""!""!’("$’("’$""’""(’,"(’,#(’,""(’,"(’,#(’,"(",$’("’$",,""$,所以由拉贝判别法知当,#"时级数收敛当,)"时级数发散"#用根式判别法证明级数"#"’"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#"’"("#则’("’$"!!"$’("’$"#""#’"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但’("’$!""!"$’("’$#"#’"("不存在#所以比式判别法对此级数无效*$!*第十二章!数项级数"求下列极限’其中’#"()’"(’("’$"’""(’"’"#(’"’#"(,’’#(’("’$"’"""’"#"’#’("!解!’"(因为’#"#"""’收敛由柯西准则知*!##(:#当"#时#有"’""(’"’"#(’"’#"(’!所以’("’$"’""(’"’"#(’"’#"(,’$’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!##(:使得对一切"#时#有"’"""’"#"’#"!所以’("’$"’"""’"#"’#’("$"设*"##证明数列!’"*"(’"*#(’"*"("与级数"*"同时收敛或同时发散!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"*"(’"*#(’"*"("与级数")’"*"(有相同的敛散性因而本题只需证"*"和")’"*"(的敛散性相同这两者之一若收敛#必有’("’$*"$且当’("’$*"$时’("’$)’"*"(*"$"故由比较原则的推论可知")’"*"(与"*"有相同的敛散性故数列!’"*"(’"*#(’"*"("与级数"*"有相同的敛散性!小结!注意运用比较原则的推论#!一般项级数"下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("’)","!!!!!!!’#("’"(""""’("’"(""’""’("’"("’)#"’("’"("!""’("’("’"(")’""(""*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’("’"("#"""’(""’("",’(""!分析!’(需要将’分为’##’#"#’"#$(三段讨论#’(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为’)",")""而"""收敛#所以"’)","为绝对收敛’#(因为’("’$’"(""""$",所以"’"(""""发散’(当’)时’("’$’"(""’"",故这时级数发散当’#"时#由于’"(""’""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛当’)"时#令!!!"$""’""则!""!"$"""’"""(’’""(""""""’"""(’""""$"""’""(’"""(’而""’("’’>’#"#"""’""(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!""!"即!!""为单调递减#又有’("’$!"$故由定理"#""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’"(""’""在’)"时条件收敛’(因为’"("’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但’)#!""是单调递减且’("’$’)#"$所以由莱布尼茨判别法可知"’"("’)#"条件收敛’(由于"""发散#"’"(""!"收敛#故"’"("!""’("发散’(因为)’""(""#"""*!*第十二章!数项级数而""""发散#即"’"(")’""(""不是绝对收敛级数#但)’""("!""是单调减且’("’$)’""(""$所以"’"(")’""(""条件收敛’(因为’("’$"#"""’("!"$#"所以"’"("#"""’(""绝对收敛’(因为’("’$!""!"$’("’$,’"""("$,>所以当,>时#原级数绝对收敛当,>时#原级数发散##应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性)’"("’"("","","!’,#(!!!’#("’)","#,’###(!’#(’("’"("=#","!分析!’"(对,进行不同取值情况的讨论#’(对原式进行逐级放大#最后得出一个上界#!解!’"(数列,"",!""#当,#时有,"",",","$"同时#当,"时有,""","","","即,"",!""严格递减且有界当,$"时#原级数为"’"("#"#满足莱布尼兹条件#即收敛,#"时#有,""",""#,"","即,"",!""严格递增且有界又由于"’"(""是收敛的#故由阿贝尔判别法知原级数收敛’#(由于当,’###(时#有"$"$’),)"’),#即"’)",的部分和数列有界#而数列""!"*’*#(单调减#且*’!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’("’$""*$故由狄利克雷判别法知原级数收敛’(由于"$""’"(=#,$"$""’"(#"#"$""’"(=#,)"$""’"(#"#"$""’"(=#,)"#"#"$""=’##,($"#"#’)’""#(’##,(#’)##,#"#)""’)##,#即"’"("=#",部分和有界#而数列"!""单调递减且’("’$""$故由狄利克雷判别法知原级数收敛设*"##*"#*""’"$"##(且’("’$*"$证明级数"’"(""*"*#*""是收敛的!证明!设!"$*"*#*""则由所给条件知!"!""##即数列!!""单调递减#且’("’$!"$’("’$*"*#*""$故由莱布尼茨判别法可得出交错级数"’"(""*"*#*""收敛设’"#<"如’(式所定义#证明)若"!"条件收敛#则级数"’"与"<"都是发散的!分析!将’"#<"用!"表示出来再进行证明即可#!证明!式’(为’"$!"!"##!<"$!"!"#由已知得"!"发散#又"’"$"#"’!"!"(得知"’"发散若不然#由""#!"$"’""!"可得"!"收敛#与题意矛盾同理亦可知"<"是发散的*(!*第十二章!数项级数写出下列级数的乘积)’"(’""$"$",""(’""$"$’"(""",""(’#(’""$$""(’""$$’"(""(!分析!分别先求#与#"#再进行综合#!解!’"(级数""$"$",""和""$"$’"(""",""#当,"时绝对收敛#由柯西定理知这两个级数的乘积也绝对收敛#从而按对角线相乘"$"$"$’,"(,’"("’""(,"$,"""$""’"("’""(当"$#时#$,#""$"#’"(#’#"($,#",’"(*’#(#’#"(’##(’"(’"(#*"’#"(*#’##(*’"("’"($,#"*$当"$#"时##"$,#"$"#"’"(#"’#""($,#"$"#"’"(#""$"#"’"(#"’#",($,#"$"#"’"("$,#,"###"#’##(#’#($’"(,#故’""$"$",""(’""$"$’"(""",""($""$$’""(,#"#,"’#(由于""$$""和""$$’"(""是绝对收敛的#故这两级数的乘积亦绝对收敛#且’""$$""(’""$$’"(""($""$$’"$"""*’"("’"(($"""$"$’"(""’"$""’"("’"(($"""$"$’"("’""(""$"!小结!’"(最关键的一步是按对角线相乘可得出"#证明级数""$$*""与""$$""绝对收敛#且它们的乘积等于""$$’*(""!证明!由于’("’$’*""’""(*"*"($’("’$*""$*)!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故级数""$$*""绝对收敛同理""$$""亦绝对收敛#且’""$$*""(’""$$""($""$$’"$"*"’"(($""$$""’"$""’"(*"($""$$’*(""重排级数"’"(""""#使它成为发散级数!分析!注意将原式展开后进行适当的重新组合#!解!将原级数展开#引用括号且适当重排为!"’"(""""$""#""’"(""""$""#"’""(’""(’"""""#""(’""""""""(!’"#"##"#"#"#(’"#""#"#""(这样#取!$"#则(#使"$##及’$#"时有!"!""!"’$"#"##"##’’"($"#"##"#"###"#’#""($"##"#"即这样重排后级数发散证明)级数"’"(,!""收敛!分析!将原级数展开再进行适当的重新组合#引进新的级数进行表示#!证明!由于"’"(,!""$""#"""""""""!"""""#""""""""""$’"(""#’("’"(#""""’("!’"(""""""""#"""""’("故引进一个级数!"’"("#"#""##’(且记!$"#"#""##则!"#"#"#$#"#**"*第十二章!数项级数故’(’$!$且!!"$"#"#""##’(!"’"(#"’"(#""’"(##’",($"$#"#"’"(#’("’"(##""’"(###$"$##"’#(,’"(#"’"(##""’"(####’#"(#’##(,’"(###’"(##"#即数列!!""单调递减#则由莱布尼兹判别法知级数"’"(!收敛#因而设""$"$’"(,!""的部分和为("#"’"(!的部分和为)#则有(")))")$!"’!’’$(因此(")’’"’$(即’("’$("$’("’$)因此级数"’"(,!""收敛!小结!利用莱布尼兹判别法可得出原级数部分和("是收敛的#总练习题"证明)若正项级数"!"收敛#且数列!!""单调#则’("’$"!"$#!分析!运用柯西准则将"!"收敛的数学表达方式表示出来#!证明!由于正项级数"!"收敛#即’("’$!"$#故数列!!""单调递减#由柯西准则知*!##(#对一切"##有!"!#!"!#又当"#时!:!"#:$"####"从而当"#时’"(!")!"!#!"!#当"###则"#!")’"(!"!#因而"!"!’"##(故’("’$"!"$#若级数"*"与""都收敛#且成立不等式*")")"!’"$"###(#证明级数""也收敛#若"*"#""都发散#试问""一定发散吗!证明!由于"*"#""收敛#可知"’"*"(亦收敛再由)"*")"*"知"’"*!"*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#*"(收敛故""$"’"*"("*"收敛但当级数"*"#""都发散时#级数""不一定发散#例如"*"$"’(""$"都发散若取""亦满足不等式*"""#而""$""是发散若取"$’"(""#亦满足不等式*"""#但级数"’"(""条件收敛#若取"$’"(""##亦有*"""#但级数"’"(""#绝对收敛若’("’$*""$,#且级数""绝对收敛#证明级数"*"也收敛#若上述条件中只知道""收敛#能推出"*"收敛吗

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