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首页 华师大三版数学分析答案(上)

华师大三版数学分析答案(上).pdf

华师大三版数学分析答案(上)

xiu_zhijun
2011-04-17 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《华师大三版数学分析答案(上)pdf》,可适用于自然科学领域

书书书!!第一章实数集与函数内容提要!一!实数!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"#!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$#!$为非负实数#称有理数$#!$为实数$的位不足近似#而有理数$$!!#称为$的位过剩近似###!#$#!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#’#!()#$#(#)$#!#)$#!()#)$中出现的()与)仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把)#()#)当作数来运算!!!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"!#存在$##’#使得$#"#则!又是’的最小上界’()!或!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意###存在$##’#使得$#!(##则!又是’的最小上界’()!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定####其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!#$$!($#$$称为的$邻域#其中$#!!$$*!*$$!($#$*!#$$$#$($,称为的空心$邻域#其中$#!!’$*!$!#,$和*(!$!(,#$分别称为的右邻域和左邻域#其中,#!$"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$!#都存在$##’#使$#$#则称!为’的上确界#记为!,$#’$!!$$下确界!若存在数#满足!$$#,$#’*$$,#都存在##’#使##则称为’的下确界#记为!$$#’!!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上!下$确界一定是惟一的!’"函数!!$函数定义给定两个非空实数集和(#若有一个对应法则,#使内每一个数$#都有惟一的一个数#(与它对应#则称,是定义在上的一个函数#记为,!$$#$##并称为函数的定义域#称,!$,!$$#$#,!($为函数的值域!!$$几个重要的函数#分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数"第一章!实数集与函数!$$!#!!$###$#(!#$’()#狄利克雷函数!$$!#当$为有理数##当$为无理数黎曼函数)!$!##当$"##"###"#为既约分数##当$##!和!##!$’()中的无理数’复合函数,!!$$$#$#其中,!$###!$$#$##$!$$#,#"!’$反函数已知函数,!$$#$#!若对,##,!$#在中有且只有一个值$##使得,!$#$##则按此对应法则得到一个函数$,(!!$##,!$#称这个函数,(!,!$为,的反函数!!*$初等函数#基本初等函数!常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初等函数!凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数!*"有界性设,!$$#$#!!$若存在数(#使,!$$$(#,$##则称,是上的有上界的函数!!$$若存在数#使,!$$#,$##则称,是上的有下界的函数!!’$若存在正数#使,!$$$#则称,是上的有界函数!!*$若对任意数(#都存在$###使,!$#$(#则称,是上的无上界函数#类似可定义无下界及无界函数!"单调性设,!$$#$##若对,$!#$$##$!$$#有!!$,!$!$$,!$$$#则称,在上是递增函数!!$$,!$!$,!$$$#则称,在上是严格递增函数!类似可定义递减函数与严格递减函数!"奇偶性设是对称于原点的数集#,!$$#$#!!!$若,$##都有,!($$,!$$#则称,!$$是偶函数!!$$若,$##都有,!($$(,!$$#则称,!$$是奇函数!#!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称!"周期性!!$设,!$$#$##若存在正数#使,!$$,!$$#,$#!则称,!$$为周期函数#称为,的一个周期!!$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期!典型例题与解题技巧例!!设,!$$在((#’上有定义#证明,!$$在((#’上可表示为奇函数与偶函数的和!分析!本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题!证明!设,!$$!$$!$$#其中!$$#!$$分别为奇"偶函数#于是,!($$!($$!($$(!$$!$$而,!$$!$$!$$由之可得!!!!$$,!$$(,!($$$#!$$,!$$,!($$$这里!$$#!$$分别是奇函数和偶函数!例"!求数集’!$!(!$!#,的上"下确界!解题分析!当$时#$!$$!$$!!$$!#容易看出!时#$!!$!$是偶数项中的最大数!当$!时#$!!$(!$!!$$!!!$$!!!#当充分大时#奇数项与数!充分靠近!因为$!!$!$!是’中最大数#于是,’!#由上面分析可以看出’!!解题过程!因为!是’中最大数#于是,’!!再证’!#这是因为!!$,#!$!(!$!!*!"$设$!!!$$!!#由等式(!!(!$!(!($!$可知$!!!$$!!(!!$$!$$(!!$!$$!于是,#####只要#!$$!#(!!$!$$#使得$#!!!$$#!!(!$!$$#!#即$#!!!$$#!!!#例#!设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$#:#及’#!##!$#恒有,(’$!!!(’$$$’$’,!$!$!!(’$,!$$$!证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界!分析!本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等$第一章!实数集与函数式#以证出结论!证明!,(#’:#,$#!#$#则存在’#!##!$#使$’!($有!$’!!(’$由已知不等式有,!$$,(’!!(’$’$’,!$!!(’$,!$$’(!!(’$((#其中(:,!$$#,!,$,$#(#’#令!$($#那么$$$,!$$,!$$$$$!$,!$$!$,!$$!$,!$$!$(<,!$$$,!$$((<!$由##$两式可知<!$,!$$$(#,$#!#$再由(的定义#可知,!$$$(#,$#(#’若令!<,!$#,!$#<!,#则<$,!$$$(#,$#(#’即,!$$在(#’上有界!历年考研真题评析!题!!!北京大学#$##年$设,!$$在(#’上无界#求证)#(#’#使得对,###,!$$在!#(##=#$(#’上无界!分析!本题采用闭区间套定理证明!证明!取#中点$#则(#$’#($#’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任取一个$#记为(!#!’!再取中点!!$#又可得区间($#$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有(#’(!#!’($#$’(#’使,!$$在每个区间上无界!由区间套原理#存在))#则#(#’#而对,###当充分大时#有!=(##=#$(#’(#’故,!$$在!=(##=#$(#’上无界!题"!!甘肃工业大学#$##年$有下列几个命题)!!$任何周期函数一定存在最小正周期!!$$($’是周期函数!!’$!$不是周期函数!!*$$=$不是周期函数!其中正确的命题有!!!$!>"!个!!!"$个!!!"’个!!!A"*个!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$解题分析!本题主要考察周期函数的定义B解题过程!选!其中)!!$错B比如,!$$#B那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B!$$错B设,!$$($’的周期为C##并设(C’#当#时#则C!(#其中#!#那么(C’!#(’#!!!<(C’"(’这与C为周期矛盾B!!!<"#当#时#(C!’!#(!’!!!!<(!C’"(!’#也矛盾B<($’不是周期函数B!’$对BD若,!$$是定义域上周期函数#那么存在函数>#使,$#都有,!$>$,!$$!这必须有$>#!而本题定义域(##)$#若是周期函数#则###必须(>##但(>#故不是周期函数!!*$对B用反证法#设,!$$$=$的周期为>##则,!#$#,!>$>=><=>##>#(($###E#且##,!($>$,!(#($!#!$(=(!#!$(’,!($$($=($##由,!($>$,!($$<=!#!$(##矛盾B即$=$不是周期函数!课后习题全解!!!F!!实数!!设为有理数#$为无理数!证明)!!$$是无理数*!!!!!!$$当"#时#$是无理数!!分析!根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证!!证明!!!$假设$是有理数#则!$$A$是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故$是无理数!!$$假设$是有理数#则当"#时#$A$是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故$是无理数!$!试在数轴上表示出下列不等式的解)!!$$!$$!$#*!!$$B$!BB$’B*!’$$!!$$!!’$!$!解!!!$由原不等式有$#$$!#!或!$#$$!#前一个不等式组的解集是CA$B$!,#后一个不等式组的解集是DA$B!$#,!故!!$的解集是C*D!如图!E!!第一章!实数集与函数图!E!!$$由原不等式有$!$’!#于是!$$’!!所以!!$$’!#即#!’$!#则’$!#$$!故!$$的解集为!)#$$!如图!E$!图!E$!’$由原不等式应有’$!$##$!!$$!!##从而对原不等式两端平方有$!$$!$!$!$!$$!!$’$$因此有$!$!$!$$!!$$##所以!$!$!$$!!$A##由此得$A!#或$A!$!但检验知$A!和$A!$均不符合原不等式!所以原不等式的解集为!!小结!在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点集!若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$!#但这时不等式左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为!’"设"#$!证明)若对任何正数#有BB##则A!!分析!用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可!!证明!假设"#则根据实数集的有序性#必有或!不妨设#令#A##则BBAA##但这与BBA#矛盾#从而必有A!*"设$"##证明$!$$#并说明其中等号何时成立!!分析!由!$$A$$$##有$$$!!证明!因$"##则$与!$同号#从而有$!$AB$B!B$B$B$B!B$!BA$等号当且仅当B$BA!B$B#即$AF!时成立!"证明)对任何$#$有!!$B$!BB$$B!*!!!!!$$B$!BB$$BB$’B$!!证明!直接由绝对值不等式的性质#对任意的$#$有!!$B$!BB$$BB!$!$!$$$BAB!BA!!$$B$!BB$$BB$’BB$!BB$’BB!$!$!$’$BA$"设""=#$!$表示全体正实数的集合$!证明B$!$$=!$B$B=B!’!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$你能说明此不等式的几何意义吗!分析!用分析法证明!!证明!欲证B$!$$=!$B$B=B只需证!$!$$=!$$$$!=$$即证!$$$!$$$!$=$!$$$=只需证$=$!$$$!$=$!$只需证!!$=$$$!$$$!$=$$即证$$=$$!$=$$由于""=#$#所以$=$$=$#$##所以有$$=$$!$=$$成立!所以原不等式成立!其几何意义为)当"=时#平面上以点C!#$"D!#=$"G!###$为顶点的三角形中#BBCGBBDGBBBCDB*当A=时#此三角形变成以点G!###$#C!#$为端点的线段!如图!’!图!E’!小结!利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷!"设$####"#证明$$介于!与之间!!分析!本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法!!证明!因$####"#则由!$$A$#$$A$!$!$$得当时#!$$*当时#$$!!故总有$$介于!与之间!!小结!通常要证某数介于另两数与=之间#可转化为证!=$!$##这种方法在与=大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中)因为$####"#则有!$!$$$!$$A$!$$!$$$#所以$$必介于!与之间!G"设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!"是无理数!!分析!本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论!!证明!用反证法!假设!"为有理数#则存在正整数<"使!"A<#且<与互质!于是<$A(第一章!实数集与函数"$#<$A!"$#可见能整除<$!由于<与互质#从而它们的最大公约数为!#由辗转相除法知)存在整数"H使<HA!#则<$<HA<!因既能整除<$又能整除<H#故能整除其和#于是能整除<#这样A!#所以"A<$!这与"不是完全平方数相矛盾!!小结!本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系!F$!数集"确界原理!"用区间表示下列不等式的解)!!$B!$B$#*!!$$$!$$*!’$!$$!$$!$=$#!##=为常数#且=$*!*$$!$$!!解!!!$原不等式等价于下列不等式组$!!!$$$#!或!$!!$!$$#前一个不等式组的解为$$!$*后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集为)#!’!$!!$$绝对值不等式$!$$等价于$$!$$!这又等价于不等式组$#$$$$!$$!或!$#$$$$!$$而前一个不等式组的解集为(’!$$#’!$$’#后者的解集为(’!$$#’!$$’!因此原不等式的解集为(’!$$#’!$$’*(’!$$#’!$$’!’$作函数,!$$A!$$!$$!$=$#$#$!则由=知,!$$##当$#!)#$*!#=$A##当$A##=##当$#!#$*!=#)’()$因此,!$$##当且仅当!!!!$#!#$*!=#)$故原不等式的解集为!#$*!=#)$!*$若#$$$$(#则当且仅当$#(*#’*(’(时#$!$$!再由正弦函数的周期性知)$!$$的解集是$((*#$(’*(’(#其中为整数!$"设’为非空数集!试对下列概念给出定义)!!$’无上界*!!!!!$$’无界!)!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!解!!!$设’是一非空数集!若对任意的(##总存在$##’#使$#(#则称数集’无上界!!$$设’是一非空数集!若对任意的(##总存在$##’#使B$#B(#则称数集’无界!’"试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界!!证明!由!’$式所确定的数集’ABA$$$#$#$,#对任意的$#$#A$$$$$#所以数集’有上界$!而对任意的(##取$#A’!(#$#存在#A$$$#A$’(A!(#’#而#(#因此数集’无下界!*"求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证)!!$’A$B$$$,*!!$$’A$B$A##,*!’$’A$B$为!##!$内的无理数,*!*$’A$B$A!!$##,!!解!!!$,’A!$#’A!$#下面依定义加以验证!因$$$#等价于!$$!$#所以对任意的$#’#有$!$且$!$#即!$"!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#!$$#于是存在$#A!$#$"$!A!$#$#使$#"$!#’#使$#!$##$!!$##所以由上"下确界的定义,’A!$#’A!$!!$$,’A)#’A!#下面依定义验证!对任意的$#’#!$$)#所以!是’的下界!因为对任意的(##令A((’!#则(#故’无上界#所以,’A)*对任意的###存在$!A!A!#’#使$!!##所以’A!!!’$,’A!#’A##下面依定义验证!对任意的$#’#有#$!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的###不妨设#!#由无理数的稠密性#总存在无理数!#!###$#则有无理数$#A!!#’#使$#A!!!#*有无理数$!A!#’#使$!A!###所以,’A!#’A#!!*$,’A!#’A!$#下面依定义验证!对任意的$#’#有!$$$!#所以!"!$分别是’的上"下界!对任意的###必有正整数##使!$###则存在$#A!!$##’#使$#!##所以,’A!!又存在$!A!!$A!$#’#使$!!$##所以’A!$!"设’为非空有下界数集#证明)’A#’A’!!证明!:$!设’A#’#则对一切$#’有$#而#’#故是数集’中最小的数#即A’!$!设A’#则#’*下面验证A’)!!$对一切$#’#有$#即是’的下界*!"$对任何#只需取$#A#’#则$#!从而满足A’的定义!*!第一章!实数集与函数"设’为非空数集#定义’A$B$#’,!证明)!!$’A,’*!!$$,’A’!!证明!!!$A’#由下确界的定义知#对任意的$#’#有$#且对任意的#存在$##’#使$#!由’A$B$#’,知#对任意的$#’#$$#且对任意的#存在$##’#使$##由上确界的定义知,’A#存在$##’#使$##即’A,’!同理可证!$$成立!"设C"D皆为非空有界数集#定义数集CDAIBIA$#$#C##D,!证明)!!$,!CD$A,C,D*!!$$!CD$ACD!!证明!!!$设,CA!!#,DA!$!对任意的I#CD#存在$#C##D#使IA$!于是$$!!#$!$!从而I$!!!$!对任意的###必存在$##C###D#使$#!!#$##!$#$#则存在I#A$###CD#使I#!!!!$$#!所以,!CD$A!!!$A,C,D!同理可证!$$成立!G"设##"!#$为有理数!证明$A,JBJ为有理数#J$,#当!#JBJ为有理数#J$,#当!!!分析!利用指数函数的单调性#把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来证此题!!证明!只证!的情况#!的情况可以类似地加以证明!设CAJBJ为有理数#J$,!因为!#J严格递增#故对任意的有理数J$#有J$#即$是C的一个上界!对任意的"$#由$#及有理数的稠密性#不妨设"#且为有理数!于是必存在有理数J#$#使得"J#$!事实上#由$严格递增知)#"$等价于"$A$#由有理数的稠密性#存在有理数J#使得"J#$#所以"A"J#$!故$A,CA,JBJ为有理数#J$,#!!!小结!关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#主要利用确界的定义#进一步加深读者对数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析建立在坚实的基础上是十分重要的!F’!函数概念!"试作下列函数的图象)!!$A$$!*!!!!!!!$$A!$!$$*!’$A!!$!$$*!*$A!$$*!$A’$#B$B!#$’#B$B!#’#B$BA!’()!!解!利用描点作图法#各函数的图象如图!E*至图!EG!$"试比较函数A$与A$分别当A$和A!$时的图象!!!!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$图!E*!!!!!!!!!!图!E图!E!!!!!!!!!!图!E图!EG!分析!利用指数函数与对数函数性质#注意$在A$与A$的定义域上的取值范围是不同的!!解!当A$时#A$是单调递增函数#当A!$时#它是单调递减函数*当$A#时#!$!$$A$$A!#即两函数的图象都过点!##!$*当$#时#!$!$$!$$#A$$的图象在A!$!$$的图象上方*当$#时#!$!$$!$$#A!$!$$的图象在A$$的图象上方*对任意的$#$#两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且A$$的图象与A!$!$$的图象关于轴对称!"!第一章!实数集与函数A$是A$的反函数!当A$时#是单调递增的#当A!$时#是单调递减的*当#$!时#!$$#$$*当$A!时#!$$A$$A#*当$!时#!$$#$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在轴右方#且过点!!##$!A!$$与A$$的图象关于$轴对称!A$$与A$$的图象"A!$!$$与A!$$的图象皆关于直线A$对称!如图!EH!图!EH!!!!!!!!!!!!!图!E!#’"根据图!E!#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!$$的解析表达式!!解!利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到,!!$$A*$##$$$!$**$#!$$$’()!,$!$$A!$##$$$!*G!$#!*$$!$##!$$$’()!*"确定下列初等函数的存在域)!!$A!$$*!!!!!$$A!$$*!’$A:I=$!$!#*!*$A:I=$!$!#!!解!!!$因为$的存在域为$#所以A!$$的存在域为$!!$$因$#等价于$!#所以A!$$的存在域是!!#)$!!’$因为A:I=的存在域是(!#!’#而!$$!#$!等价于!$$$!###所以A:I=$!$!#的存在域是(!#!##’!!*$因A的存在域是!##)$#而A:I=$!#的值域为($#((’$#由#$($#!!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$有#$!#$!#即#$$!##所以A:I=$!$!#的存在域是!##!#’!"设函数,!$$A$$#$$##$$#$#!求)!!$,!’$#,!#$#,!!$*!!$$,!)$$,!#$#,!)$$,!#$!)$#$!!解!!!$,!’$A$!’$A!,!#$A$#A$,!!$A$!A$!$$因为)$##所以有,!)$$,!#$A$)$!$#$A$)$$,!)$$,!#$A$!)$$!$#$A)$"设函数,!$$A!!$#求,!$$$#,!$$$#,!$$$#,!,!$$$#,!,!$!$$!!解!,!$$$A!!!$$$A!’$,!$$$A!!$$*,!$$$A!!$$,!,!$$$A!!!!$A$!$$,!,!$!$$A!!!,!$$A!!!!$$A!$$"试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成)!!$A!!$$$#*!!$$A!:I=$$$$*!!’$A!!!$!$$*!!*$A$$$!!解!!!$A$##AH!H$#H!A!#H$A$!$$A$#A:I=H#HA$$!’$A#AH!H$#H!A!#H$A!’#’AH!K#KA$$!*$A$#AH$#HA$G"在什么条件下#函数A$=$L的反函数就是它本身!分析!先把反函数求出#分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数!!解!首先="L#由A$=$L#解得$AL=#交换$与得AL$=$!当="#时#原函数的定义域为$"L=#反函数的定义域为$"=!因此#要使二函数相同#必须AL#这时原函数为$=$LAL$=$#即为反函数!另外#当A=A##且AL"#时亦满足!故当="L且AL或A=A#且AL"#时#该函数的反函数就是其本身!H"试作函数A:I=!$$的图象!$!第一章!实数集与函数!解!A:I=!$$是以$(为周期的函数#其定义域为$#值域为($#((’$的分段函数#其在一个周期区间((#(’上的表达式为A($#($$$($#($$$$($!($$#($$(’()$其图象如图!E!!!图!E!!!#"试问下列等式是否成立)!!$J:!:I=J:$$A$#$#$*!$$:I=J:!J:$$A$#$"(($#A##F!#F$#!!解!!!$由J:$与:I=J:$的定义知#!!$式成立!!$$因为J:$的定义域为$"(($#A##F!#F$##而:I=J:$的值域仅为($#(!$$!所以!$$式不成立!例如当$A’*(时#:I=J:!J:$$A:I=J:!!$A(*"$!!!"试问AB$B是初等函数吗!解!因AB$BA$!$是由A!与A$$复合而成的#所以AB$B是初等函数!!$"证明关于函数A($’的如下不等式)!!$当$#时#!$$!(’$$!*!$$当$#时#!$$!(’$!$!!证!由定义知!(’$是不超过!$的最大整数#故有#$!$!(’$!所以!!!!!!!!!!!!$!!(’$$!$#!!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!!$当$#时#给#两端同乘以$得!$$!(’$$!!$$当$#时#给#两端同乘以$得!$$!(’$!$F*!具有某些特性的函数!"证明,!$$A$$$!是$上的有界函数!!证明!利用不等式$B$B$!$$有#对一切$#$都有B,!$$BAB$B$$!A!$$B$B$$!$!$成立#故,!$$是$上的有界函数!$"!!$叙述无界函数的定义*!$$证明,!$$A!$$为!##!$上的无界函数*!’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数!!解!!!$设,!$$为定义在上的函数#若对任意的正数(#都存在$###使B,!$#$B(#则称函数,!$$为上的无界函数!!$$证明)对任意的正数(#存在$#A!(!!#!##!$#使B,!$#$BA!$$#A(!(#所以,!$$A!$$是!##!$上的无界函数!!’$设,!$$A!$$#$#!##!’!#$A’()#!由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数!’"证明下列函数在指定区间上的单调性)!!$A’$!在!)#)$上严格递增*!$$A$在($#((’$上严格递增*!’$A=$在(##(’上严格递减!!分析!!$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及傅里叶级数时都会用到!!证明!!!$任取$!"$$#!)#)$#$!$$#则有,!$!$,!$$$A’!$!!$!’$$!$A’!$!$$$#可见,!$!$,!$$$#所以,!$$A’$!在!)#)$上严格递增!!$$任取$!#$$#($#((’$#$!$$#则有($$!$$$($#!($$$!$$$#因此=$!$$$##!$!$$$#!第一章!实数集与函数从而,!$!$,!$$$A$!$$A$=$!$$$$!$$$##,!$!$,!$$$!所以,!$$A$在($#((’$上严格递增!!’$任取$!#$$#(##(’#$!$$#则有#$!$$$(#!($$$!$$$##从而有$!$$$##$!$$$##故,!$!$,!$$$A=$!=$$A$$!$$$$!$$$##从而,!$!$,!$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减!*"判别下列函数的奇偶性)!!$,!$$A!$$*$$!*!!!$$,!$$A$$*!’$,!$$A$$K$$*!*$,!$$A!$!$!$$!!解!!!$因为,!$$A!$!$$*!$$$!A!$$*$$!A,!$$#故,!$$A!$$*$$!是偶函数!!$$对任意的$#!)#)$有#,!$$A!$$!$$A$$A!$$$A,!$$#故,!$$A$$为!)#)$上的奇函数!!’$,!$$A$$K$$在!)#)$上有定义#对任意的$#!)#)$有#,!$$A!$$$K!$$$A$$K$$A,!$$#故,!$$为!)#)$上的偶函数!!*$,!$$A!$!$!$$在!)#)$上有定义#对每一个$#!)#)$有#,!$$A!$!!$$!$$A!$!$!$$A!$!$!$$A,!$$#所以,!$$A!$!$!$$为!)#)$上的奇函数!"求下列函数的周期)!!$=$$*!!$$J:’$*!!’$=$$$$’!!分析!求三角函数周期时#应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$!!解!!!$,!$$A=$$A!$!!=$$$#而!=$$的周期是(#所以,!$$A=$$的周期是(!!$$因为J:$的周期是(#所以,!$$AJ:’$的周期是(’!!’$因$"=$的周期是$(#所以=$$的周期是*(#$’的周期是(#故,!$$A=$$$$’的周期是!$(!"设函数,!$$定义在(#’上#证明)!!$M!$$A,!$$,!$$#$#(#’为偶函数*!$$!$$A,!$$,!$$#$#(#’为奇函数*’!!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和!!证明!!!$因(#’关于原点对称#M!$$在(#’上有定义#对每一个$#(#’有M!$$A,!$$,!$$A,!$$,!$$AM!$$!故M!$$为(#’上的偶函数!!$$因(#’关于原点对称#!$$在(#’上有定义#对每一个$#(#’有!$$A,!$$A,!$$A(,!$$,!$$’A!$$!故!$$为(#’上的奇函数!!’$由!!$"!$$得M!$$!$$A$,!$$#从而有,!$$AM!$$!$$$A!$M!$$!$!$$#而!$M!$$是偶函数#!$!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数!$!$$与一个偶函数!$M!$$之和!"设,"为定义在上的有界函数#满足,!$$$!$$#$#!证明)!!$,$#,!$$$,$#!$$*!!$$$#,!$$$$#!$$!!证明!!!$记!A,$#!$$#则对任意的$#有#!$$$!#又因,!$$$!$$#所以,!$$$!$$$!!因此!是,!$$的上界#而,$#,!$$是,!$$的最小上界#故,$#,!$$$!A,$#!$$!!$$同理可证!G"设,为定义在上的有界函数#证明)!!$,$#,!$$,A$#,!$$*!!$$$#,!$$,A,$#,!$$!!证明!!!$记$#,!$$A!由下确界的定义知#对任意的$##,!$$#即,!$$$#可见是,!$$的一个上界*对任意的###存在$###使,!$#$##即,!$#$##可见是,!$$的上界中最小者!所以,$#,!$$,AA$#,!$$!!$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为,!$$得#,$#,!$$A,$#!,!$$$,A$#,!$$,#两边同乘以!得$#,!$$,A,$#,!$$H"证明)J:$在($#(!$$上无界!而在($#(!$$内任一闭区间(#’上有界!!分析!要证J:$在!($#($$上无界#只需在$##!($#($$取一点#使J:$#(即可!证在!($#($$上#存在区间(#’使J:$有界#只需证J:$$(##且有J:J:$J:!!证明!对任意的(##取$#A:I=J:!(!$#(($#(!$$#有J:$#J:!:I=J:!L!$$L!L#所以,!$$J:$在(($#(!$$内是无界函数!但任取(#’($#(!$$#由于J:$在(#’上严格递增#从而当$#(#’时#J:(!第一章!实数集与函数$J:$$J:#记(A:BJ:B#BJ:B,#则对一切$#(#’有BJ:$B$(#所以J:$是(#’上的有界函数!!小结!证明函数的有界性#往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基础#也是今后学习分析学的基础!!#"讨论狄利克雷函数!$$A!#当$为有理数###当$’()为无理数的有界性"单调性与周期性!!分析!狄利克雷函数由定义可证得有界性#单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨论!!解!由!$$的定义知#对任意的$#$#有B!$$B$!#所以!$$是$上的有界函数!由于对任意的有理数$!与无理数$$#无论$!$$还是$$$!#都有!$!$!$$$!所以!$$在$上不具有单调性!对任意的有理数J有$JA有理数#当$为有理数时无理数#当$’()为无理数时于是对任一$#$#有!$J$A!#当$为有理数时##当$’()为无理数时A!$$所以#任意有理数J都是!$$的周期!但任何无理数都不是!$$的周期!事实上#对任一无理数"#对无理数"#!"$A##而!"!"$$A!#$A!"!"$!!小结!狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地位#要特别注意!!!"证明),!$$A$$在$上严格增!!证明!任取$!"$$#!)#)$#$!$$#则,!$$$,!$!$A!$$$!$!$$$!$A!$$$!$$=$!$$$$$$!$!$$$!$$=$!$$$$$$!$!$$$!$$$$$!$A#D$$$!$B$$$!B!$$即,!$!$,!$$$#所以,!$$A$$在!)#)$上严格增!!$"设定义在(#)$上的函数,在任何闭区间(#’上有界!定义(#)$上的函数)<!$$A$$$,!$#(!$$A,$$$,!$!试讨论<!$$与(!$$的图象#其中!!$,!$$A=$#$#(##)$*!!$$,!$$A$$#$#(!#)$!)!!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!分析!在讨论上述两个函数时#首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性!!解!!!$由<!$$及(!$$的定义知#对$#当,!$在(#$’上为递增函数时#<!$$A,!$#(!$$A,!$$!当,!$在(#$’上为减函数时#<!$$A,!$$#(!$$A,!$!由此可知)对,!$$A=$#当#$$$(时#<!$$A=$#(!$$A!!而$#((#)$时#由于!$=$$!#所以#<!$$A!#(!$$A!#即有<!$$A=$##$$$(!#($$)!!(!$$<!#$#(##)$其图象见图!E!$!图!E!$!!!!!!!!!!图!E!’!$$同上理#当$#(!##’时#(!$$A!#<!$$A$$*当$#!##)$时#<!$$<#*当$#(!#!’时#(!$$<!*当$#!!#)$时#(!$$A$$!即有<!$$A$$#$#(!##’##当$#!##)’(!$$A!#$#(!#!’时$$#当$#!!#)$时其图象见图!E!’!!小结!确界理论是学习数学分析的基础#对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用!总练习题!"设##$#证明)!!$:#,A!$!BB$*!$$#,A!$!BB$!!证明!因为!$!BB$A#当时#当时!$!BB$A#当时#当时所以!:#,A!$!BB$#,A!$!BB$*"第一章!实数集与函数$"设,和都是上的初等函数!定义(!$$A:,!$$#!$$,#<!$$A,!$$#!$$,#$#!试问(!$$和<!$$是否为初等函数!解!由习题!得(!$$A!$(,!$$!$$B,!$$!$$B’A!$(,!$$!$$(,!$$!$$’!$’<!$$A!$(,!$$!$$B,!$$!$$B’A!$(,!$$!$$(,!$$!$$’!$’所以#(!$$与<!$$都是由上的初等函数,!$$"!$$经四则运算和有限次复合而成的函数!所以#(!$$和<!$$都是初等函数!’"设函数,!$$A!$!$#求),!$$#,!$!$#,!$$!#,!!$$#!,!$$#,!$$$#,!,!$$$!!解!,!$$A!$!$*!,!$!$A$$$*!,!$$!A!$!$!A$!$*,!!$$A!!$!!$A$!$!*!!,!$$A!$!$*!,!$$$A!$$!$$*,!,!$$$A!!$!$!!

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